Le frequenze riportate in tabella possono essere considerate il risultato di un esperimento

Transcript

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 Livello di alcol Frequenza assoluta Frequenza relativa Frequenza cumulativa assoluta Frequenza cumulativa relativa 0-0, 77 0, ,773 0,-0,4 6 0, ,843 0,4-0,6 0, ,89 0,6-0,8 4 0,06 8 0,95 0,8-,0 0, ,96,0-, 4 0,07 4 0,978,-,4 0, ,987,4-,6 3 0,03 9,000 Totale 9 0, 0, 0 0-0, 0,-0,4 0,4-0,6 0,6-0,8 0,8-,0,0-,,-,4,4-,6 Le frequenze riportate in tabella possono essere considerate il risultato di un esperimento

2 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA Nell associare ai risultati di un esperimento un valore numerico si costruisce una variabile casuale (o aleatoria, o stocastica). Ogni variabile casuale ha una corrispondente distribuzione di probabilità. In caso di variabile discreta la distribuzione di probabilità specifica tutti i possibili risultati della variabile insieme alla probabilità che ciascuno di essi si verifichi. In caso di variabile continua la distribuzione di probabilità consente di determinare la probabilità associata ad intervalli di valori.

3 Si è analizzato il numero dei farmaci consumati dalle donne gravide ricoverate in un ospedale americano: evento A = numero di farmaci P(A) = probabilità di assumere quel numero di farmaci N. farmaci Frequenza Probabilità P(A) Totale 485

4 I risultati di una distribuzione di probabilità possono essere riassunti oltre che in tabella anche in grafico. 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,

5 Si osservi che la probabilità che una donna assuma per esempio 5 farmaci è data dalla frequenza relativa del verificarsi di quel risultato dopo aver eseguito un grande numero di prove (nell esempio 485). Se X è la variabile casuale che rappresenta tutti i risultati di un possibile esperimento ed x è un valore che la variabile X può assumere la P(X=x) si definisce attraverso la funzione di probabilità f(x). Si osservi che è possibile associare ad ogni valore x della variabile X la P(X=x)=f(x) 0 e che la Σf(x)=.

6 Se X è una variabile casuale con funzione di distribuzione di probabilità f(x) la funzione F(X)=Σf(x) è detta funzione di distribuzione di probabilità cumulata. La funzione di distribuzione di probabilità cumulativa si ottiene sommando in successione le probabilità P(X=x )+P(X=x )+ +P(X=x n ) Se X è una variabile continua esiste una funzione f(x) detta funzione di densità di probabilità tale che: f(x) 0 + f ( x) d( x) = Per ogni x e x tali che - x <x + allora. P(x X x ) = x f ( x) d ( x) x

7 DISTRIBUZIONE BINOMIALE La distribuzione binomiale è derivata da un processo o esperimento che può assumere solo due risultati mutuamente esclusivi, detto prova di Bernoulli. Una sequenza di prove di Bernoulli forma un processo di Bernoulli sotto le seguenti condizioni: ogni prova può assumere uno dei due possibili risultati, mutuamente esclusivi, uno dei quali è definito arbitrariamente successo e l altro fallimento; la probabilità di un successo è denotata con p e rimane costante in ogni prova; la probabilità di fallimento è denotata come q=-p; le prove sono indipendenti, cioè il risultato di una prova non influenza il risultato della successiva.

8 Si consideri l esperimento nascita i cui possibili risultati sono Nascita di sesso F; p=p(f) Nascita di sesso M; q=p(m)=-p. Si consideri la variabile casuale X=numero di nati di sesso F su n nascite. Si vuole calcolare la probabilità di osservare 5 nascite F su 8 nascite P(X=5). Si considera pertanto una sequenza generica di nascite: F e F e F e M e M e F e F e M. La probabilità che tale sequenza si verifichi è: P(F F F M M F F M). Essendo eventi indipendenti si può scrivere: P(F)*P(F)*P(F)*P(M)*P(M)*P(F)*P(F)*P(M)= p*p*p*q*q*p*p*q=p 5 q 3 Nascita F (p=0,5) Nascita M (q=0,5) Nascita F (p=0,5) Nascita M (q=0,5) Nascita F (p=0,5) Nascita F (p=0,5) Nascita F (p=0,5) Nascita M (q=0,5)

9 La sequenza che si può osservare è però una delle tante possibili combinazioni di nascite di 5 femmine e 3 maschi: FFFFMMMF FFMFFMFM Per determinare tutte le possibili sequenze si ricorre al calcolo combinatorio: n x = n! x!(n-x)! = 8 5 8! = = 56 5!(8-5)! 8 in classe 5. n!=n*(n-)* * nell esempio 8!=8*7*6*5*4*3** Essendo le sequenze mutuamente esclusive la probabilità di avere la o la sequenza o la. 56 sequenza è data dalla somma delle probabilità delle singole sequenze: 56* p 5 q 3

10 Generalizzando, indicando con n il numero di prove e con x il numero dei successi, si ha: f(x)=p(x=x) f(x) = n x * p x q n-x Per x=0,,,3,.,n f(x) = 0 altrove Si dimostra che la distribuzione binomiale, spesso indicata con il simbolo B(n, p), ha: Media = E(X) = µ = np Varianza = σ = npq = np(-p)

11 DISTRIBUZIONE DI POISSON La distribuzione di Poisson viene utilizzata per variabili discrete per eventi distribuiti casualmente nel tempo e nello spazio E una distribuzione molto usata in campo biologico e medico: conta dei batteri sulle piastre analisi di elementi in campioni di acqua conta dei globuli su un vetrino numero di interventi di urgenza in un mese presso un pronto soccorso

12 Affinché un processo possa essere descritto con una distribuzione di Poisson devono verificarsi le seguenti condizioni: in un determinato intervallo gli eventi accadono in modo indipendente - il verificarsi di un evento in un intervallo di tempo o di spazio non influenza la probabilità di verificarsi di un secondo evento nello stesso intervallo di tempo o spazio; la probabilità di un evento in un intervallo di tempo t infinitamente piccolo è direttamente proporzionale alla lunghezza dell intervallo; in una parte infinitamente piccola dell intervallo la probabilità che più di un evento si verifichi è trascurabile tempo

13 Se X è la variabile casuale che segue una distribuzione di Poisson la sua funzione di distribuzione di probabilità è f ( x) = e λ λ x! x per x=0,,,.., f(x) = 0 altrove e è la costante,783 λ è il parametro della distribuzione di Poisson e corrisponde alla media. Una proprietà importante della distribuzione di Poisson è che media e varianza coincidono: λ = µ = σ

14 E possibile approssimare la distribuzione binomiale alla distribuzione di Poisson quando n, il numero delle prove, è molto grande e p, la probabilità di successo, tende a zero: n p 0 B(n, p) Poisson(λ) n*p = λ = costante

15 DISTRIBUZIONE NORMALE (GAUSS) Quando si esegue un esperimento e si descrivono i risultati si costruisce spesso un grafico (istogramma) per mostrare l andamento del fenomeno in esame. In un istogramma: sull asse delle ascisse (x) poniamo i valori della variabile sull asse delle ordinate (y) poniamo le frequenze con le quali un determinato valore, un intervallo di valori in caso di variabili continue, si presenta. L area delle colonnine di un istogramma rappresenta la frequenza con cui i valori x e x che delimitano la base della colonnina si presentano nel nostro esperimento

16 Unendo i punti medi delle classi con una spezzata si costruisce un poligono di frequenza. Se scegliamo l intervallo tra i valori sempre più piccolo e con una quantità di prove molto grandi la forma del poligono di frequenza si avvicinerà sempre più ad una linea continua. Questa è la rappresentazione grafica della distribuzione di una variabile continua e la funzione che ne è l espressione matematica è la funzione densità di probabilità

17 Supponiamo di valutare la distribuzione dei soggetti di una popolazione per età Classe di età Frequenza assoluta Frequenza relativa Frequenza cumulativa Frequenza cumulativa relativa ,08% 33 8,08% ,38% ,46% ,09% ,55% ,35% ,90% ,05% ,95% ,05% ,00% ,00%

18 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0 0,5 0, 0,5 0, Possiamo riprodurre la distribuzione di frequenza utilizzando un istogramma. Possiamo inoltre unire i punti medi di ciascuna classe con una linea spezzata per rappresentare il fenomeno con un poligono di frequenza. Se rendiamo l intervallo di classe progressivamente più piccolo.. 0,

19 l ampiezza può ridursi al punto che il poligono di frequenza possa essere approssimato ad una curva continua 0,05 0,045 0,04 0,035 Media=43,99 Deviazione standard=9,7 0,03 Probabilià 0,05 0,0 0,05 0,0 0, Età Fre oss Prob Gauss

20 La curva di distribuzione di probabilità di una variabile continua che presenta un andamento a campana prende il nome di curva normale o gaussiana. La sua espressione matematica è f ( x) = exp σ π x µ σ - x + con exp = funzione esponenziale π = 3,4 e i due parametri della distribuzione: µ = media σ = deviazione standard

21 la distribuzione di Gauss è completamente definita dai valori di µ e σ: differenti valori di µ spostano la posizione della curva lungo l asse delle ascisse differenti valori di σ modificano l altezza della curva. 0,09 0,09 0,08 0,08 0,07 0,07 0,06 0,06 0,05 0,05 0,04 0,04 0,03 0,03 0,0 0,0 0,0 0,

22 La distribuzione di Gauss ha alcune caratteristiche tipiche: è simmetrica intorno alla sua media la media, la mediana e la moda coincidono l area sotto la curva è uguale ad (00%) l area sotto la curva compresa nell intervallo µ-σ ed µ+ σ è pari al 68% dell area totale µ- σ e µ+ σ è pari al 95% del totale µ-3 σ ed µ+3 σ è pari al 99,7% del totale

23 Esistono degli indici per misurare la normalità della curva di Gauss: asimmetria: asimmetria = 0 curva normale asimmetria < 0 coda sinistra pi lunga asimmetria >0 coda destra più lunga curtosi: curtosi = 3 curva normale curtosi < 3 code leggere, distribuzione appuntita (ipernormale o leptocurtica) curtosi > 3 code pesanti, distribuzione piatta (iponormale o platicurtica).

24 INDICE DI ASIMMETRIA Asimm = ( x x) 3 ( ( x x) ) 3 i i = 0 Distribuzione simmetrica >0 Maggiori osservazioni maggiori del valore medio Coda destra più lunga <0 Maggiori osservazioni minori del valore medio Coda sinistra più lunga

25 INDICE DI CURTOSI Kurtosi = ( ) 4 xi x ( ( x x) ) i = 3 Distribuzione gaussiana <3 Code leggere distribuzione leptocurtica appuntita - ipernormale >3 Code pesanti distribuzione platicurtica piatta - iponormale

26 Distribuzione di Gauss cumulativa teorica e distribuzione cumulativa osservata, Probabilità 0,8 0,6 0,4 0, Età Freq cum oss Prob cum Gauss

27 L ultima caratteristica enunciata ci dice che esiste una famiglia di distribuzioni di gaussiane ed ogni membro è distinto in base ai valori di µ e σ. Tra le varie curve di Gauss la più importante è la distribuzione di Gauss standard che ha media = 0 deviazione standard = L espressione matematica della distribuzione di Gauss Standard è: f ( z) z = exp π

28 Distribuzione di gauss standard: media=0 e deviazione standard= 0,45 0,4 0,35 0,3 Probabilità 0,5 0, 0,5 0, 0, µ z

29 E importante sottolineare che ogni variabile X può essere standardizzata mediante la trasformazione z = x µ σ la nuova variabile, z, è uguale alla variabile originaria meno la media, diviso la deviazione standard

30 Distribuzione di gauss standard: media=0 e deviazione standard= 0,45 0,4 0,35 0,3 P(Z>,96) =α Probabilità 0,5 0, 0,5 0, 0, µ,96 α z

31 z α z α z α z α z α z α z α z α z α z α 0,000 0,5000 0,30 0,3745 0,660 0,546,000 0,587,340 0,090,680 0,0465,00 0,0,350 0,0094,690 0,0036 3,030 0,00 0,00 0,4960 0,330 0,3707 0,670 0,54,00 0,56,350 0,0885,680 0,0465,00 0,07,360 0,009,700 0,0035 3,040 0,00 0,00 0,490 0,340 0,3669 0,680 0,483,00 0,539,360 0,0869,690 0,0455,030 0,0,370 0,0089,70 0,0034 3,050 0,00 0,030 0,4880 0,350 0,363 0,690 0,45,030 0,55,370 0,0853,700 0,0446,040 0,007,380 0,0087,70 0,0033 3,060 0,00 0,040 0,4840 0,360 0,3594 0,700 0,40,040 0,49,380 0,0838,70 0,0436,050 0,00,390 0,0084,730 0,003 3,070 0,00 0,050 0,480 0,370 0,3557 0,70 0,389,050 0,469,390 0,083,70 0,047,060 0,097,400 0,008,740 0,003 3,080 0,000 0,060 0,476 0,380 0,350 0,70 0,358,060 0,446,400 0,0808,730 0,048,070 0,09,40 0,0080,750 0,0030 3,090 0,000 0,070 0,47 0,390 0,3483 0,730 0,37,070 0,43,40 0,0793,740 0,0409,080 0,088,40 0,0078,760 0,009 3,00 0,000 0,080 0,468 0,400 0,3446 0,740 0,96,080 0,40,40 0,0778,750 0,040,090 0,083,430 0,0075,770 0,008 3,0 0,0009 0,090 0,464 0,40 0,3409 0,750 0,66,090 0,379,430 0,0764,760 0,039,00 0,079,440 0,0073,780 0,007 3,0 0,0009 0,00 0,460 0,40 0,337 0,760 0,36,00 0,357,440 0,0749,770 0,0384,0 0,074,450 0,007,790 0,006 3,30 0,0009 0,0 0,456 0,430 0,3336 0,770 0,06,0 0,335,450 0,0735,780 0,0375,0 0,070,460 0,0069,800 0,006 3,40 0,0008 0,0 0,45 0,440 0,3300 0,780 0,77,0 0,34,460 0,07,790 0,0367,30 0,066,470 0,0068,80 0,005 3,50 0,0008 0,30 0,4483 0,450 0,364 0,790 0,48,30 0,9,470 0,0708,800 0,0359,40 0,06,480 0,0066,80 0,004 3,60 0,0008 0,40 0,4443 0,460 0,38 0,800 0,9,40 0,7,480 0,0694,80 0,035,50 0,058,490 0,0064,830 0,003 3,70 0,0008 0,50 0,4404 0,470 0,39 0,80 0,090,50 0,5,490 0,068,80 0,0344,60 0,054,500 0,006,840 0,003 3,80 0,0007 0,60 0,4364 0,480 0,356 0,80 0,06,60 0,30,500 0,0668,830 0,0336,70 0,050,50 0,0060,850 0,00 3,90 0,0007 0,70 0,435 0,490 0,3 0,830 0,033,70 0,0,50 0,0655,840 0,039,80 0,046,50 0,0059,860 0,00 3,00 0,0007 0,80 0,486 0,500 0,3085 0,840 0,005,80 0,90,50 0,0643,850 0,03,90 0,043,530 0,0057,870 0,00 3,0 0,0007 0,90 0,447 0,50 0,3050 0,850 0,977,90 0,70,530 0,0630,860 0,034,00 0,039,540 0,0055,880 0,000 3,0 0,0006 0,00 0,407 0,50 0,305 0,860 0,949,00 0,5,540 0,068,870 0,0307,0 0,036,550 0,0054,890 0,009 3,30 0,0006 0,0 0,468 0,530 0,98 0,870 0,9,0 0,3,550 0,0606,880 0,030,0 0,03,560 0,005,900 0,009 3,40 0,0006 0,0 0,49 0,540 0,946 0,880 0,894,0 0,,560 0,0594,890 0,094,30 0,09,570 0,005,90 0,008 3,50 0,0006 0,30 0,4090 0,550 0,9 0,890 0,867,30 0,093,570 0,058,900 0,087,40 0,05,580 0,0049,90 0,008 3,60 0,0006 0,40 0,405 0,560 0,877 0,900 0,84,40 0,075,580 0,057,90 0,08,50 0,0,590 0,0048,930 0,007 3,70 0,0005 0,50 0,403 0,570 0,843 0,90 0,84,50 0,056,590 0,0559,90 0,074,60 0,09,600 0,0047,940 0,006 3,80 0,0005 0,60 0,3974 0,580 0,80 0,90 0,788,60 0,038,600 0,0548,930 0,068,70 0,06,60 0,0045,950 0,006 3,90 0,0005 0,70 0,3936 0,590 0,776 0,930 0,76,70 0,00,60 0,0537,940 0,06,80 0,03,60 0,0044,960 0,005 3,300 0,0005 0,80 0,3897 0,600 0,743 0,940 0,736,80 0,003,60 0,056,950 0,056,90 0,00,630 0,0043,970 0,005 3,30 0,0005 0,90 0,3859 0,60 0,709 0,950 0,7,90 0,0985,630 0,056,960 0,050,300 0,007,640 0,004,980 0,004 3,30 0,0005 0,300 0,38 0,60 0,676 0,960 0,685,300 0,0968,640 0,0505,970 0,044,30 0,004,650 0,0040,990 0,004 3,330 0,0004 0,30 0,3783 0,630 0,643 0,970 0,660,30 0,095,650 0,0495,980 0,039,30 0,00,660 0,0039 3,000 0,003 3,340 0,0004 0,30 0,3745 0,640 0,6 0,980 0,635,30 0,0934,660 0,0485,990 0,033,330 0,0099,670 0,0038 3,00 0,003 3,350 0,0004 0,330 0,3707 0,650 0,578 0,990 0,6,330 0,098,670 0,0475,000 0,08,340 0,0096,680 0,0037 3,00 0,003 3,360 0,0004

32 Distribuzione di gauss standard: media=0 e deviazione standard= 0,45 0,4 0,35 0,3 P(Z>,96) =0,05 Probabilità 0,5 0, 0,5 0, 0, µ,96 α z

33 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0, Area in rosso = 68%

34 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0, Area in rosso = 95%

35 Supponiamo che la media della capacità cranica in una certa popolazione sia di 400 cc e che la deviazione standard 5 cc. Determinare la probabilità che un individuo a caso nella popolazione abbia una capacità cranica: maggiore di 450 cc minore di 350 cc 3 compresa tra 300 cc e 450 cc

36 0,45 0,4 0,35 0,3 Probabilità 0,5 0, Probabilità 0,5 0, 0, , z z = x - µ σ = = 0,4 P(X>450) P(Z>0,4) = 0,34

37 z α z α z α z α z α z α z α z α z α z α 0,000 0,5000 0,30 0,3745 0,660 0,546,000 0,587,340 0,090,680 0,0465,00 0,0,350 0,0094,690 0,0036 3,030 0,00 0,00 0,4960 0,330 0,3707 0,670 0,54,00 0,56,350 0,0885,680 0,0465,00 0,07,360 0,009,700 0,0035 3,040 0,00 0,00 0,490 0,340 0,3669 0,680 0,483,00 0,539,360 0,0869,690 0,0455,030 0,0,370 0,0089,70 0,0034 3,050 0,00 0,030 0,4880 0,350 0,363 0,690 0,45,030 0,55,370 0,0853,700 0,0446,040 0,007,380 0,0087,70 0,0033 3,060 0,00 0,040 0,4840 0,360 0,3594 0,700 0,40,040 0,49,380 0,0838,70 0,0436,050 0,00,390 0,0084,730 0,003 3,070 0,00 0,050 0,480 0,370 0,3557 0,70 0,389,050 0,469,390 0,083,70 0,047,060 0,097,400 0,008,740 0,003 3,080 0,000 0,060 0,476 0,380 0,350 0,70 0,358,060 0,446,400 0,0808,730 0,048,070 0,09,40 0,0080,750 0,0030 3,090 0,000 0,070 0,47 0,390 0,3483 0,730 0,37,070 0,43,40 0,0793,740 0,0409,080 0,088,40 0,0078,760 0,009 3,00 0,000 0,080 0,468 0,400 0,3446 0,740 0,96,080 0,40,40 0,0778,750 0,040,090 0,083,430 0,0075,770 0,008 3,0 0,0009 0,090 0,464 0,40 0,3409 0,750 0,66,090 0,379,430 0,0764,760 0,039,00 0,079,440 0,0073,780 0,007 3,0 0,0009 0,00 0,460 0,40 0,337 0,760 0,36,00 0,357,440 0,0749,770 0,0384,0 0,074,450 0,007,790 0,006 3,30 0,0009 0,0 0,456 0,430 0,3336 0,770 0,06,0 0,335,450 0,0735,780 0,0375,0 0,070,460 0,0069,800 0,006 3,40 0,0008 0,0 0,45 0,440 0,3300 0,780 0,77,0 0,34,460 0,07,790 0,0367,30 0,066,470 0,0068,80 0,005 3,50 0,0008 0,30 0,4483 0,450 0,364 0,790 0,48,30 0,9,470 0,0708,800 0,0359,40 0,06,480 0,0066,80 0,004 3,60 0,0008 0,40 0,4443 0,460 0,38 0,800 0,9,40 0,7,480 0,0694,80 0,035,50 0,058,490 0,0064,830 0,003 3,70 0,0008 0,50 0,4404 0,470 0,39 0,80 0,090,50 0,5,490 0,068,80 0,0344,60 0,054,500 0,006,840 0,003 3,80 0,0007 0,60 0,4364 0,480 0,356 0,80 0,06,60 0,30,500 0,0668,830 0,0336,70 0,050,50 0,0060,850 0,00 3,90 0,0007 0,70 0,435 0,490 0,3 0,830 0,033,70 0,0,50 0,0655,840 0,039,80 0,046,50 0,0059,860 0,00 3,00 0,0007 0,80 0,486 0,500 0,3085 0,840 0,005,80 0,90,50 0,0643,850 0,03,90 0,043,530 0,0057,870 0,00 3,0 0,0007 0,90 0,447 0,50 0,3050 0,850 0,977,90 0,70,530 0,0630,860 0,034,00 0,039,540 0,0055,880 0,000 3,0 0,0006 0,00 0,407 0,50 0,305 0,860 0,949,00 0,5,540 0,068,870 0,0307,0 0,036,550 0,0054,890 0,009 3,30 0,0006 0,0 0,468 0,530 0,98 0,870 0,9,0 0,3,550 0,0606,880 0,030,0 0,03,560 0,005,900 0,009 3,40 0,0006 0,0 0,49 0,540 0,946 0,880 0,894,0 0,,560 0,0594,890 0,094,30 0,09,570 0,005,90 0,008 3,50 0,0006 0,30 0,4090 0,550 0,9 0,890 0,867,30 0,093,570 0,058,900 0,087,40 0,05,580 0,0049,90 0,008 3,60 0,0006 0,40 0,405 0,560 0,877 0,900 0,84,40 0,075,580 0,057,90 0,08,50 0,0,590 0,0048,930 0,007 3,70 0,0005 0,50 0,403 0,570 0,843 0,90 0,84,50 0,056,590 0,0559,90 0,074,60 0,09,600 0,0047,940 0,006 3,80 0,0005 0,60 0,3974 0,580 0,80 0,90 0,788,60 0,038,600 0,0548,930 0,068,70 0,06,60 0,0045,950 0,006 3,90 0,0005 0,70 0,3936 0,590 0,776 0,930 0,76,70 0,00,60 0,0537,940 0,06,80 0,03,60 0,0044,960 0,005 3,300 0,0005 0,80 0,3897 0,600 0,743 0,940 0,736,80 0,003,60 0,056,950 0,056,90 0,00,630 0,0043,970 0,005 3,30 0,0005 0,90 0,3859 0,60 0,709 0,950 0,7,90 0,0985,630 0,056,960 0,050,300 0,007,640 0,004,980 0,004 3,30 0,0005 0,300 0,38 0,60 0,676 0,960 0,685,300 0,0968,640 0,0505,970 0,044,30 0,004,650 0,0040,990 0,004 3,330 0,0004 0,30 0,3783 0,630 0,643 0,970 0,660,30 0,095,650 0,0495,980 0,039,30 0,00,660 0,0039 3,000 0,003 3,340 0,0004 0,30 0,3745 0,640 0,6 0,980 0,635,30 0,0934,660 0,0485,990 0,033,330 0,0099,670 0,0038 3,00 0,003 3,350 0,0004 0,330 0,3707 0,650 0,578 0,990 0,6,330 0,098,670 0,0475,000 0,08,340 0,0096,680 0,0037 3,00 0,003 3,360 0,0004

38 0,45 0,4 0,35 0,3 Probabilità 0,5 0, Probabilità 0,5 0, 0, , z z = x - µ σ = = - 0,4 P(X<350) P(Z<-0,4) = 0,34

39 0,45 0,4 0,35 0,3 Probabilità 0,5 0, Probabilità 0,5 0, 0, ,8 0, z z = x - µ σ = = - 0,8 z = x - µ σ = = 0,4 P(300<X<450) P(-0,8<Z<0,4) = -[P(z<-0,8)+P(z>0,4)] = = - (0,345+0,) = - 0,557 = 0,443

40 z α z α z α z α z α z α z α z α z α z α 0,000 0,5000 0,30 0,3745 0,660 0,546,000 0,587,340 0,090,680 0,0465,00 0,0,350 0,0094,690 0,0036 3,030 0,00 0,00 0,4960 0,330 0,3707 0,670 0,54,00 0,56,350 0,0885,680 0,0465,00 0,07,360 0,009,700 0,0035 3,040 0,00 0,00 0,490 0,340 0,3669 0,680 0,483,00 0,539,360 0,0869,690 0,0455,030 0,0,370 0,0089,70 0,0034 3,050 0,00 0,030 0,4880 0,350 0,363 0,690 0,45,030 0,55,370 0,0853,700 0,0446,040 0,007,380 0,0087,70 0,0033 3,060 0,00 0,040 0,4840 0,360 0,3594 0,700 0,40,040 0,49,380 0,0838,70 0,0436,050 0,00,390 0,0084,730 0,003 3,070 0,00 0,050 0,480 0,370 0,3557 0,70 0,389,050 0,469,390 0,083,70 0,047,060 0,097,400 0,008,740 0,003 3,080 0,000 0,060 0,476 0,380 0,350 0,70 0,358,060 0,446,400 0,0808,730 0,048,070 0,09,40 0,0080,750 0,0030 3,090 0,000 0,070 0,47 0,390 0,3483 0,730 0,37,070 0,43,40 0,0793,740 0,0409,080 0,088,40 0,0078,760 0,009 3,00 0,000 0,080 0,468 0,400 0,3446 0,740 0,96,080 0,40,40 0,0778,750 0,040,090 0,083,430 0,0075,770 0,008 3,0 0,0009 0,090 0,464 0,40 0,3409 0,750 0,66,090 0,379,430 0,0764,760 0,039,00 0,079,440 0,0073,780 0,007 3,0 0,0009 0,00 0,460 0,40 0,337 0,760 0,36,00 0,357,440 0,0749,770 0,0384,0 0,074,450 0,007,790 0,006 3,30 0,0009 0,0 0,456 0,430 0,3336 0,770 0,06,0 0,335,450 0,0735,780 0,0375,0 0,070,460 0,0069,800 0,006 3,40 0,0008 0,0 0,45 0,440 0,3300 0,780 0,77,0 0,34,460 0,07,790 0,0367,30 0,066,470 0,0068,80 0,005 3,50 0,0008 0,30 0,4483 0,450 0,364 0,790 0,48,30 0,9,470 0,0708,800 0,0359,40 0,06,480 0,0066,80 0,004 3,60 0,0008 0,40 0,4443 0,460 0,38 0,800 0,9,40 0,7,480 0,0694,80 0,035,50 0,058,490 0,0064,830 0,003 3,70 0,0008 0,50 0,4404 0,470 0,39 0,80 0,090,50 0,5,490 0,068,80 0,0344,60 0,054,500 0,006,840 0,003 3,80 0,0007 0,60 0,4364 0,480 0,356 0,80 0,06,60 0,30,500 0,0668,830 0,0336,70 0,050,50 0,0060,850 0,00 3,90 0,0007 0,70 0,435 0,490 0,3 0,830 0,033,70 0,0,50 0,0655,840 0,039,80 0,046,50 0,0059,860 0,00 3,00 0,0007 0,80 0,486 0,500 0,3085 0,840 0,005,80 0,90,50 0,0643,850 0,03,90 0,043,530 0,0057,870 0,00 3,0 0,0007 0,90 0,447 0,50 0,3050 0,850 0,977,90 0,70,530 0,0630,860 0,034,00 0,039,540 0,0055,880 0,000 3,0 0,0006 0,00 0,407 0,50 0,305 0,860 0,949,00 0,5,540 0,068,870 0,0307,0 0,036,550 0,0054,890 0,009 3,30 0,0006 0,0 0,468 0,530 0,98 0,870 0,9,0 0,3,550 0,0606,880 0,030,0 0,03,560 0,005,900 0,009 3,40 0,0006 0,0 0,49 0,540 0,946 0,880 0,894,0 0,,560 0,0594,890 0,094,30 0,09,570 0,005,90 0,008 3,50 0,0006 0,30 0,4090 0,550 0,9 0,890 0,867,30 0,093,570 0,058,900 0,087,40 0,05,580 0,0049,90 0,008 3,60 0,0006 0,40 0,405 0,560 0,877 0,900 0,84,40 0,075,580 0,057,90 0,08,50 0,0,590 0,0048,930 0,007 3,70 0,0005 0,50 0,403 0,570 0,843 0,90 0,84,50 0,056,590 0,0559,90 0,074,60 0,09,600 0,0047,940 0,006 3,80 0,0005 0,60 0,3974 0,580 0,80 0,90 0,788,60 0,038,600 0,0548,930 0,068,70 0,06,60 0,0045,950 0,006 3,90 0,0005 0,70 0,3936 0,590 0,776 0,930 0,76,70 0,00,60 0,0537,940 0,06,80 0,03,60 0,0044,960 0,005 3,300 0,0005 0,80 0,3897 0,600 0,743 0,940 0,736,80 0,003,60 0,056,950 0,056,90 0,00,630 0,0043,970 0,005 3,30 0,0005 0,90 0,3859 0,60 0,709 0,950 0,7,90 0,0985,630 0,056,960 0,050,300 0,007,640 0,004,980 0,004 3,30 0,0005 0,300 0,38 0,60 0,676 0,960 0,685,300 0,0968,640 0,0505,970 0,044,30 0,004,650 0,0040,990 0,004 3,330 0,0004 0,30 0,3783 0,630 0,643 0,970 0,660,30 0,095,650 0,0495,980 0,039,30 0,00,660 0,0039 3,000 0,003 3,340 0,0004 0,30 0,3745 0,640 0,6 0,980 0,635,30 0,0934,660 0,0485,990 0,033,330 0,0099,670 0,0038 3,00 0,003 3,350 0,0004 0,330 0,3707 0,650 0,578 0,990 0,6,330 0,098,670 0,0475,000 0,08,340 0,0096,680 0,0037 3,00 0,003 3,360 0,0004

41 Distribuzione di gauss standard: media=0 e deviazione standard= 0,45 0,4 0,35 0,3 Probabilità 0,5 0, 0,5 0, 0,05?? ,96 µ,96 P(-,96<Z<,96) = - [P(Z<-,96) + P(Z>,96)] =? z

42 z α z α z α z α z α z α z α z α z α z α 0,000 0,5000 0,30 0,3745 0,660 0,546,000 0,587,340 0,090,680 0,0465,00 0,0,350 0,0094,690 0,0036 3,030 0,00 0,00 0,4960 0,330 0,3707 0,670 0,54,00 0,56,350 0,0885,680 0,0465,00 0,07,360 0,009,700 0,0035 3,040 0,00 0,00 0,490 0,340 0,3669 0,680 0,483,00 0,539,360 0,0869,690 0,0455,030 0,0,370 0,0089,70 0,0034 3,050 0,00 0,030 0,4880 0,350 0,363 0,690 0,45,030 0,55,370 0,0853,700 0,0446,040 0,007,380 0,0087,70 0,0033 3,060 0,00 0,040 0,4840 0,360 0,3594 0,700 0,40,040 0,49,380 0,0838,70 0,0436,050 0,00,390 0,0084,730 0,003 3,070 0,00 0,050 0,480 0,370 0,3557 0,70 0,389,050 0,469,390 0,083,70 0,047,060 0,097,400 0,008,740 0,003 3,080 0,000 0,060 0,476 0,380 0,350 0,70 0,358,060 0,446,400 0,0808,730 0,048,070 0,09,40 0,0080,750 0,0030 3,090 0,000 0,070 0,47 0,390 0,3483 0,730 0,37,070 0,43,40 0,0793,740 0,0409,080 0,088,40 0,0078,760 0,009 3,00 0,000 0,080 0,468 0,400 0,3446 0,740 0,96,080 0,40,40 0,0778,750 0,040,090 0,083,430 0,0075,770 0,008 3,0 0,0009 0,090 0,464 0,40 0,3409 0,750 0,66,090 0,379,430 0,0764,760 0,039,00 0,079,440 0,0073,780 0,007 3,0 0,0009 0,00 0,460 0,40 0,337 0,760 0,36,00 0,357,440 0,0749,770 0,0384,0 0,074,450 0,007,790 0,006 3,30 0,0009 0,0 0,456 0,430 0,3336 0,770 0,06,0 0,335,450 0,0735,780 0,0375,0 0,070,460 0,0069,800 0,006 3,40 0,0008 0,0 0,45 0,440 0,3300 0,780 0,77,0 0,34,460 0,07,790 0,0367,30 0,066,470 0,0068,80 0,005 3,50 0,0008 0,30 0,4483 0,450 0,364 0,790 0,48,30 0,9,470 0,0708,800 0,0359,40 0,06,480 0,0066,80 0,004 3,60 0,0008 0,40 0,4443 0,460 0,38 0,800 0,9,40 0,7,480 0,0694,80 0,035,50 0,058,490 0,0064,830 0,003 3,70 0,0008 0,50 0,4404 0,470 0,39 0,80 0,090,50 0,5,490 0,068,80 0,0344,60 0,054,500 0,006,840 0,003 3,80 0,0007 0,60 0,4364 0,480 0,356 0,80 0,06,60 0,30,500 0,0668,830 0,0336,70 0,050,50 0,0060,850 0,00 3,90 0,0007 0,70 0,435 0,490 0,3 0,830 0,033,70 0,0,50 0,0655,840 0,039,80 0,046,50 0,0059,860 0,00 3,00 0,0007 0,80 0,486 0,500 0,3085 0,840 0,005,80 0,90,50 0,0643,850 0,03,90 0,043,530 0,0057,870 0,00 3,0 0,0007 0,90 0,447 0,50 0,3050 0,850 0,977,90 0,70,530 0,0630,860 0,034,00 0,039,540 0,0055,880 0,000 3,0 0,0006 0,00 0,407 0,50 0,305 0,860 0,949,00 0,5,540 0,068,870 0,0307,0 0,036,550 0,0054,890 0,009 3,30 0,0006 0,0 0,468 0,530 0,98 0,870 0,9,0 0,3,550 0,0606,880 0,030,0 0,03,560 0,005,900 0,009 3,40 0,0006 0,0 0,49 0,540 0,946 0,880 0,894,0 0,,560 0,0594,890 0,094,30 0,09,570 0,005,90 0,008 3,50 0,0006 0,30 0,4090 0,550 0,9 0,890 0,867,30 0,093,570 0,058,900 0,087,40 0,05,580 0,0049,90 0,008 3,60 0,0006 0,40 0,405 0,560 0,877 0,900 0,84,40 0,075,580 0,057,90 0,08,50 0,0,590 0,0048,930 0,007 3,70 0,0005 0,50 0,403 0,570 0,843 0,90 0,84,50 0,056,590 0,0559,90 0,074,60 0,09,600 0,0047,940 0,006 3,80 0,0005 0,60 0,3974 0,580 0,80 0,90 0,788,60 0,038,600 0,0548,930 0,068,70 0,06,60 0,0045,950 0,006 3,90 0,0005 0,70 0,3936 0,590 0,776 0,930 0,76,70 0,00,60 0,0537,940 0,06,80 0,03,60 0,0044,960 0,005 3,300 0,0005 0,80 0,3897 0,600 0,743 0,940 0,736,80 0,003,60 0,056,950 0,056,90 0,00,630 0,0043,970 0,005 3,30 0,0005 0,90 0,3859 0,60 0,709 0,950 0,7,90 0,0985,630 0,056,960 0,050,300 0,007,640 0,004,980 0,004 3,30 0,0005 0,300 0,38 0,60 0,676 0,960 0,685,300 0,0968,640 0,0505,970 0,044,30 0,004,650 0,0040,990 0,004 3,330 0,0004 0,30 0,3783 0,630 0,643 0,970 0,660,30 0,095,650 0,0495,980 0,039,30 0,00,660 0,0039 3,000 0,003 3,340 0,0004 0,30 0,3745 0,640 0,6 0,980 0,635,30 0,0934,660 0,0485,990 0,033,330 0,0099,670 0,0038 3,00 0,003 3,350 0,0004 0,330 0,3707 0,650 0,578 0,990 0,6,330 0,098,670 0,0475,000 0,08,340 0,0096,680 0,0037 3,00 0,003 3,360 0,0004

43 Distribuzione di gauss standard: media=0 e deviazione standard= 0,45 0,4 0,35 0,05 + 0,05 = α 0,3 Probabilità 0,5 0, 0,5 - α 0, 0,05 0, ,96 µ P(-,96<Z<,96) = - [P(Z<-,96) + P(Z>,96)] = [0,05+0,0,05]=-0,05=0,95,96 0,05 z

44 STIME E LORO AFFIDABILITA L idea chiave su cui si basa l analisi statistica è che si possono eseguire osservazioni su un campione di soggetti e che da questo si possono compiere inferenze sulla popolazione rappresentata da tutti i soggetti con caratteristiche analoghe a quelle del campione Anche se ben pianificato uno studio può dare solo una idea della risposta cercata, a causa essenzialmente della variabilità casuale del campione stesso strettamente collegata, tra l altro, al numero di soggetti inclusi in uno studio Le quantità statistiche ottenute (medie, proporzioni, odds, coefficienti di regressione, etc.) sono stime imprecise dei veri valori nella popolazione generale

45 STIMA Una misura descrittiva calcolata dai dati di una popolazione è detta parametro. Una misura descrittiva calcolata dai dati di un campione è detta stima del parametro. L insieme dei metodi che ci consentono di estendere i risultati ottenuti dal campione a tutta la popolazione oggetto dello studio costituiscono la inferenza statistica. Stima dei parametri Verifica delle ipotesi

46 La stima è il calcolo, dai dati di un campione, di una qualche statistica, ed è una approssimazione del corrispondente parametro della popolazione da cui il campione è stato estratto. Stima puntuale: si calcola un singolo valore numerico per stimare il corrispondente parametro. Es. una media, una proporzione, una deviazione standard. Stima di intervallo: si calcola un intervallo di valori che, con un certo grado di probabilità, conterrà il parametro da stimare. Popolazione (parametro) Campione (stima) Media µ x ( µˆ ) Varianza σ S ( σˆ )

47 INTERVALLI DI CONFIDENZA Le stime di intervallo forniscono informazioni sia sul valore numerico del parametro incognito che sul grado di attendibilità della stima. La procedura di calcolo degli intervalli, detti di confidenza, si basa sulla determinazione di due limiti entro i quali, con una probabilità -α, è contenuto il parametro, a partire dalle informazioni campionarie. -α = P(L θ L ) con 0 α L e L dipendenti dalla dimensione del campione -α grado di attendibilità della stima ed è detto livello di confidenza

48 STIME DI INTERVALLO Formula generica per la daterminazione di un intervallo di confidenza : Stima ± (fattore di correzione * errore della stima) Media Percentuale Valore che serve a determinare i due limiti (inferiore e superiore) tenendo in considerazione il grado di attendibilità della stima

49 L intervallo di confidenza per la media di una variabile con distribuzione di Gauss con media incognita e varianza nota x z σ µ x + n z σ n per -α=0,95 (cioè α = 0,05) z è pari a,96. per -α=0,99 (cioè α = 0,0) z è pari a,58. L intervallo di confidenza per la media di una variabile con distribuzione di Gauss con media e varianza incognita x t S µ x + n t S n t si ottiene dalla distribuzione t-student con n- gradi di libertà

50 Interpretazione probabilistica degli intervalli di confidenza: estraendo tutti i possibili campioni da una popolazione distribuita normalmente la media µ della popolazione cadrà (-α)% volte nell intervallo calcolato. Interpretazione pratica degli intervalli di confidenza: se effettuiamo il campionamento da una popolazione con distribuzione normale abbiamo una probabilità del (-α)% che l intervallo calcolato contenga la media µ della popolazione.

51 Lo scopo principale degli intervalli di confidenza è quello di indicare la Imprecisione delle stime campionarie come rappresentazione dei valori della popolazione L imprecisione della stima campionaria è indicata dall ampiezza degli intervalli: Più ampi sono gli intervalli Minore è la precisione L ampiezza dipende essenzialmente da tre fattori: dal numero di soggetti studiati (campioni poco numerosi, conclusioni inattendibili) dalla variabilità dei soggetti in studio (minore variabilità, stima più precisa) dal livello di confidenza (maggiore è il livello di confidenza, tanto più ampi sono gli intervalli)

52 48 () (,4) () (5,0) Supponiamo di analizzare il diametro di un tumore. La media è x =48 mm e la deviazione standard è σ= mm. L intervallo di confidenza per la media, con livello di confidenza al 95%: () P(4,30 µ 53,70)=95%. Se con gli stessi dati costruisco l intervallo di confidenza con livello di confidenza al 99% avrò: () P(40,49 µ 55,5)=99%. All aumentare del livello di confidenza aumenta proporzionalmente l ampiezza dell intervallo.

53 ( ) ( ) = = n n z x x n n z x x P σ σ µ µ σ σ α α α L intervallo di confidenza per la differenza di due medie Dai due campioni si determinano le medie della variabile in studio e avremo: µ -µ =differenza delle medie delle popolazioni =stima della differenza delle medie delle popolazioni σ /n +σ /n =varianza della differenza delle medie campionarie. L intervallo sarà: x x

54 Abbiamo usato z perché eravamo a conoscenza della varianza della popolazione. Nel caso non si conosca la varianza della popolazione si deve stimare dai campioni la varianza comune (pooled): ) ( ) ( + + = n n n S n S S p Gradi di libertà L intervallo di confidenza diventa: ( ) ( ) = =..,.., n S n S t x x n S n S t x x P p p l g p p l g α α µ µ α

55 INTERVALLI DI CONFIDENZA PER UNA PROPORZIONE In medicina spesso è importante quantificare un fenomeno per mezzo delle percentuali. Es.: percentuale di soggetti affetti da una certa malattia, percentuale di soggetti sottoposti ad un trattamento Il parametro da stimare diventa p la proporzione nella popolazione e per costruire lintervallo di confidenza procederemo nel seguente modo: ( ) α = P L p L

56 + = n p p z p p n p p z p P ˆ) ˆ( ˆ ˆ) ˆ( ˆ α α α L intervallo diventa: Analogamente a quanto fatto per gli intervalli di confidenza per le medie, è possibile costruire l intervallo di confidenza per la differenza tra due proporzioni. La stima di tale intervallo viene dalla seguente formula: ( ) ( ) = = ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ˆ ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ˆ ˆ n p p n p p z p p p p p p n p p n p p z p p P α α α