Corso in Statistica Medica

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1 Corso in Statistica Medica Introduzione alle tecniche statistiche di elaborazione dati Intervalli di confidenza Dott. Angelo Menna Università degli Studi di Chieti G. d Annunziod Annunzio Anno Accademico 2008-

2 STATISTICA INFERENZIALE La statistica inferenziale è rivolta all induzione probabilistica circa la popolazione sulla base di osservazioni su un campione di unità estratte con procedure casuali dalla popolazione. I termini generali la statistica inferenziale è rivolta ad affrontare e risolvere il cosiddetto problema inverso in cui la struttura della popolazione è incognita e induttivamente si cerca di utilizzare un insieme limitato di informazioni fornite da un campione casuale estratto dalla popolazione. Popolazione Campione Argomenti fondamentali di di cui cui si si occupa l inferenza statistica: Stima dei Parametri Stima dei Parametri Intervalli di Confidenza Intervalli di Confidenza Verifica delle Ipotesi Verifica delle Ipotesi Dott. Angelo Menna, Statistico Anno Accademico 2008-

3 Nella pratica si dispone di un solo campione, per cui la stima puntuale difficilmente darà il valore esatto del parametro della popolazione. E preferibile allora stimare due estremi, entro i quali tutti i valori sono possibili stime del parametro, secondo un certo grado di plausibilità. L intervallo di confidenza è un intervallo di valori determinato sulla base di un campione che si ritiene contenere il vero parametro (incognito della popolazione) con un prefissato grado di fiducia. Se ad esempio si vuole costruire l intervallo di confidenza per la media della popolazione µ, si calcoleranno due valori (θ 1 e θ 2 ) simmetrici rispetto alla media campionaria. θ 1 θ 2 µ X X Dott. Angelo Menna, Statistico Anno Accademico 2008-

4 Dire che il livello di confidenza è prefissato significa assegnare una probabilità di questo tipo: P(θ 1 < µ < θ 2 ) = 1 - α Poiché sono gli estremi dell intervallo (θ 1 e θ 2 ) che variano al variare delle realizzazioni campionarie, mentre il parametro incognito (es. µ) è fisso, 1 - α è la probabilità che l intervallo contenga il parametro incognito. Così, se 1-α=95%, immaginando di avere tutti i possibili campioni, ci aspettiamo che il 95% di essi contenga il parametro incognito della popolazione. µ X θ 1 θ 2 X Dott. Angelo Menna, Statistico Anno Accademico 2008-

5 Vediamo come si costruisce un intervallo di confidenza con un esempio. Bisogna stimare la superficie media µ delle abitazioni di una città. Da uno studio precedente sappiamo che lo scarto quadratico medio σ=8. In un campione di 50 appartamenti si osserva una media campionaria X = 120. Si vuole determinare l intervallo di confidenza per µ al 95%, sotto l ipotesi di Normalità. Ricordiamo che la media campionaria si distribuisce normalmente con i seguenti parametri: 2 X N σ µ, n quindi possiamo scrivere x µ P α α Z 2 Z 2 = α σ 1 n Dott. Angelo Menna, Statistico Anno Accademico 2008-

6 Dalla precedente ricaviamo P x A questo punto i nostri dati sono i seguenti: X = 120; σ = 8; n = 50; 1 - α = 95% σ σ Zα 2 µ x + Zα 2 = 1 α n n Per cui manca solo il valore di Z α 2 che andiamo a cercare con l ausilio delle tavole della normale. Siccome α=0,05 allora α/2=0,025 Dalle tavole ottengo il valore Z α/2 = 1,96 α/2 α/2-1,96 0 1,96 z Dott. Angelo Menna, Statistico Anno Accademico 2008-

7 A questo punto basta sostituire i valori e otteniamo l intervallo cercato: 8 8 P , µ , = 0, ( 117, 78 µ 122, 22) 0, 95 P = CONCLUSIONE: si ha una FIDUCIA del 95% che l intervallo [117,78 ; 122,22] contenga il parametro incognito µ. Dott. Angelo Menna, Statistico Anno Accademico 2008-

8 Un caso particolare è quello in cui si deve costruire un intervallo per la media senza conoscere la varianza della popolazione. In tal caso si possono avere 2 situazioni: La La numerositàdel del campione è grande (diciamo n>30) Il Il campione è piccolo (diciamo n<=30) Si Si procede con con la la distribuzione normale. Si Si utilizza la la distribuzione tcon n-1 n-1 gradi di di libertà (G.L.) In In questo caso caso la la procedura rimane invariata, solo solo che che al al posto dello s.q.m (incognito) si si utilizzeràil il suo suo stimatore naturale, cioè cioè lo lo scarto quadratico medio campionario corretto Dott. Angelo Menna, Statistico Anno Accademico 2008-

9 Vediamo ora un esempio sulla stima della percentuale π. Una ditta farmaceutica vuole stabilire l efficacia di un nuovo farmaco. Ha condotto un esperimento su 900 pazienti, affetti dalla malattia in questione, e si è riscontrato che il farmaco è stato efficace in 740 casi. Si vuole determinare l intervallo di confidenza al 95% per la percentuale dei casi (π) in cui il farmaco è efficace nell intera popolazione dei malati. Ricordiamo che per stimare π uso la statistica p = x i n che rappresenta la frequenza relativa dei successi nel campione; quindi abbiamo: 740 p = = 900 0, 82 Dott. Angelo Menna, Statistico Anno Accademico 2008-

10 Dato che la seguente quantità ha distribuzione Normale Standardizzata Possiamo scrivere: P Z = p π π ( 1 π ) n p π Z α 2 Z α 2 = 1 π ( 1 π ) n α Dalla quale, sostituendo al parametro ignoto π sotto radice il suo stimatore p, si ha: ( Z p( p) n π p+ Z p( 1 p) ) = 1 α P p α 2 1 α 2 n Dott. Angelo Menna, Statistico Anno Accademico 2008-

11 I dati che abbiamo sono: p = 0,82; (1-p) = 0,18; 1-α = 95%; Z α/2 = 1,96 Quest ultimo valore si ricava dalle tavole con lo stesso procedimento visto per la media. Per cui facendo le sostituzioni otteniamo: ( 0, 82 1, 96 0, 82 0, π 0, , 96 0, 82 0, ) 0, 95 P = ( 0, 80 π 0, 84) 0, 95 P = CONCLUSIONE: si ha una FIDUCIA del 95% che questo intervallo contenga il valore incognito della popolazione π Dott. Angelo Menna, Statistico Anno Accademico 2008-