Metodi statistici per le ricerche di mercato

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1 Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per la comunicazione d'impresa» A proposito di rappresentatività del campione La rappresentatività di un campione è la sua conformità, ad alcune caratteristiche della popolazione. Un campione scelto casualmente è uno dei campioni possibili estraibili dall universo dei campioni, pertanto il suo grado di rappresentatività, è solo probabile. La casualità rende infatti più probabile che il campione riproduca in media le caratteristiche della popolazione, a meno di errori imputabili sia al fatto che si analizza solo una parte di quest ultima (errore campionario) sia ad altri tipi di errore (non campionari) che intervengono nell intero processo di indagine. Tuttavia se la casualità di un campione è un requisito indispensabile di rappresentatività statistica non è però un requisito sufficiente. 1

2 Errori e rilevazioni parziali Non campionari (esempi): Errore di copertura: le liste utilizzate della popolazione statistica sono incomplete. Errore di non-risposta: esclusione o auto-esclusione dei casi Errore dovuto all intervistatore. Campionari derivano dal fatto che si analizza un particolare sotto-insieme della popolazione. I valori rilevati sul campione sono una «stima» di quelli della popolazione, che presenta un errore. Se il campione è probabilistico la stima degli errori campionari viene effettuata mediante la teoria dei campioni: sono note infatti alcune relazioni che legano gli «stimatori» dell universo dei campioni ai parametri della popolazione. Che cosa è l universo dei campioni E l insieme dei campioni possibili di n unità che si possono estrarre da una popolazione attraverso una operazione di selezione. Adottando il criterio di estrazione casuale, il numero di campioni estraibili da una popolazione è determinato dal numero dei diversi modi nei quali le unità statistiche si possono combinare nel comporre il campione. Se la popolazione è infinita si possono estrarre un numero infinito di campioni. Se la popolazione è finita, di dimensione N, e si estraggono campioni di dimensione n, il loro numero dipende dal tipo di estrazione effettuata. Se ad esempio abbiamo N=100 e vogliamo estrarre un campione di 2 unità, in base al calcolo delle probabilità possiamo ottenere Con reinserimento o bernoulliana: N n = N 2 = = campioni Senza reinserimento o esaustiva tenendo conto dell ordine: D Nn = N!/(N-n)!= 100*99= campioni Senza reinserimento o esaustiva non tenendo conto dell ordine: C Nn = N!/ n!(n-n)!=100*99/2= campioni 2

3 Distribuzioni Pagina 26 Glossario Probabilità e variabile casuale Per un campione casuale ciascun possibile valore di una variabile osservata ha una probabilità di verificarsi La probabilità di un osservazione è la proporzione di volte in cui essa dovrebbe verificarsi in una lunghissima frequenza di osservazioni (impostazione frequentista) Se ad esempio la proporzione di minori che fa uso di alcol è nella popolazione pari a 0,7, allora la probabilità che un minore scelto a caso dalla stessa popolazione faccia uso di alcol sarà pari a 0,7. Variabile casuale: variabile che definisce ciascun possibile risultato di un osservazione assieme alla probabilità con cui si può verificare. La somma delle probabilità di ciascun risultato è uguale a

4 Distribuzione di probabilità E l insieme dei possibili risultati e le corrispondenti probabilità di una variabile casuale X. La distribuzione di probabilità di una variabile discreta assegna una probabilità (numero compreso tra 0 e1) a ciascun valore 0 P(y) 1 La somma delle probabilità di tutti i possibili valori è uguale a 1. La distribuzione di probabilità di una variabile continua assegna una probabilità (numero compreso tra 0 e1) a intervalli di valori. La probabilità che un valore cada in ciascun intervallo è compresa tra 0 e 1. La probabilità associata all intervallo che contiene tutti i possibili valori è pari a 1. Pagina 28 La distribuzione delle medie campionarie : il Teorema del limite centrale Sui numerosi campioni estraibili da una popolazione possono essere calcolate diverse statistiche utilizzabili per stimare i parametri della popolazione da cui sono estratti. L insieme delle medie di tutti i possibili campioni costituisce la distribuzione campionarie delle medie. Secondo il teorema del limite centrale: se si estraggono ripetuti campioni di dimensione n da un universo a distribuzione normale con media e varianza ², la distribuzione delle medie campionarie sarà normale con media e varianza ²/n. 4

5 La distribuzione campionaria delle medie campionarie : La legge dei grandi numeri In altre parole. Sia per l estrazione con ripetizione, sia per quella senza ripetizione, la media dei valori medi campionari è uguale alla media della popolazione, dunque è una stima corretta, centrata e non distorta della media della popolazione. La varianza della distribuzione campionaria delle medie rappresenta l errore medio (errore standard) che si commette nello stimare la media della popolazione mediante quella del campione. Operativamente però si opera con un solo campione e non con tutti i campioni estraibili da una popolazione! Si dovrà dunque stabilire se e di quanto la media del campione differisce da quella della popolazione. Ciò è possibile perché sappiamo quale è la distribuzione delle medie campionarie per n>30: la distribuzione normale. 5

6 Esempio La popolazione è di dimensione N=4 La distribuzione della variabile X=numero di diabetici nelle famiglie di una popolazione statistica osservata è la seguente: unità 1: u1 presenta il valore 1 unità 2: u2 presenta il valore 2 unità 3: u3 presenta il valore 3 unità 4: u4 presenta il valore 4 La distribuzione di X nella popolazione ha =2.5 e =1.118 Supponiamo di estrarre un campione di dimensione n=2 Quanti sono i campioni possibili in questo caso? Se la scelta è con ripetizione (con reimmissione) Se la scelta è senza ripetizione (senza reimmissione) o in blocco Pagina 32 Scelta con ripetizione Campioni estraibili=n n = 4 2 = 16 Campioni Dati media Campionari u1 e u1 (1;1) 1.0 u1 e u2 (1;2) 1.5 u1 e u3 (1;3) 2.0 u1 e u4 (1;4) 2.5 u2 e u1 (2;1) 1.5 u2 e u2 (2;2) 2.0 u2 e u3 (2;3) 2.5 u2 e u4 (2;4) 3.0 u3 e u1 (3;1) 2.0 u3 e u2 (3;2) 2.5 u3 e u3 (3;3) 3.0 u3 e u4 (3;4) 3.5 u4 e u1 (4;1) 2.5 u4 e u2 (4;2) 3.0 u4 e u3 (4;3) 3.5 u4 e u4 (4;4) 4.0 Pagina 33 6

7 Distribuzione campionaria della media campionaria Pagina 34 Scelta in blocco (senza ripetizione) Campioni estraibili=n!/ n!(n-n)!= (4*3*2*1)/(2*1)(2*1)=6 Campioni Dati media Campionari u1 e u2 (1;2) 1.5 u1 e u3 (1;3) 2.0 u1 e u4 (1;4) 2.5 u2 e u3 (2;3) 2.5 u2 e u4 (2;4) 3.0 u3 e u4 (3;4) 3.5 Pagina 35 7

8 Distribuzione campionaria della media campionaria Media Campionaria FA P TOT 6 1 Pagina 36 Riepilogando: Pagina 37 8

9 Ci stiamo riferendo a tre distribuzioni La distribuzione normale o di Gauss E una distribuzione teorica di notevole interesse pratico per le sue proprietà matematiche utilizzabili nell ambito dell inferenza statistica. Si ricorre a queste proprietà quando una variabile casuale continua (detta anche aleatoria o stocastica, poiché può assumere valori diversi in dipendenza da qualche fenomeno aleatorio ) è distribuita normalmente. Caratteristiche: è continua, ha una forma campanulare e simmetrica le sue misure di posizione centrale (media, moda e mediana) coincidono; è asintotica rispetto all asse delle ascisse, assume valori compresi tra - e + Presenta due punti di flesso in corrispondenza di ±1 è completamente caratterizzata dai due parametri µ e σ2; L area sottesa alle porzione di curva che si trova tra la media e l ordinata in corrispondenza dello scarto quadratico medio è costante; in particolare - il 68.26% dell area totale è compreso tra µ±1 - il 95.44% tra µ±2 - il 99,73% tra µ±3 9

10 Utilità della distribuzione normale nell inferenza Fattore di correzione o di esaustività. Al crescere di N può essere trascurato. La distribuzione normale standardizzata Oltre alle porzioni di area sottese alla curva citate precedentemente, possiamo conoscere quelle comprese tra il valore medio e qualsiasi altro valore, o tra due valori qualsiasi, utilizzando apposite tavole. Le tavole sono calcolate riferendosi ad una distribuzione normale standardizzata che ha media 0 e varianza pari a 1 Per utilizzare le tavole è necessario standardizzare i valori della nostra distribuzione, mediante la seguente relazione: ( ) z X 10

11 TAVOLA A Un numero della tavola indica la porzione di area sottesa dalla curva da - a z. Ad esempio l area sottesa fino a z=2 è di 0,97725 ossia del 97,73% dell area totale. TAVOLA B A volte si trova un altra tavola in cui ogni numero indica la porzione di area sottesa dalla curva da z=0 e una altro valore di z 0. Ad esempio l area sottesa da z=0 a fino a z=2 è di 0,4772 ossia del 47,72% dell area totale. Usare la tavola A o la B è indifferente basta tener conto del significato dei valori riportati 11

12 Uso delle tavole : esempio 1- tavola A e B Supponiamo di voler conoscere l area compresa tra la media=0 e z=1,96. Nella colonna dei punti z, si scendere fino a trovare z=1,9 e, rimanendo nella stessa riga fino a trovare quella indicata con 0,06. Il punteggio che troveremo in quel punto è 0,9750 ed indica la porzione di area compresa tra - e z=1,96. Poiché l area sotto la curva a sinistra del valore corrispondente alla media=0,00 è 0,5000, l area tra la media e z =1,96 sarà 0,9750-0,5000=0,4750 L area compresa è del 47,50% Usando la tavola B avremmo ottenuto il medesimo risultato, più velocemente! 44 Uso delle tavole : esempio 2 tavola A Supponiamo di voler conoscere l area a destra del punto z=1,96. Nella colonna dei punti z, si scendere fino a trovare z=1,9 e, rimanendo nella stessa riga fino a trovare quella indicata con 0,06. Il punteggio che troveremo in quel punto è 0,9750 ed indica la porzione di area compresa tra - e z=1,96. Poiché l area totale è uguale a 1, l area che resta alla destra del punto z=1,96 sarà (1,0000-0,9750) =0,025. L area a destra di z=1,96 sarà del 2,5% 12

13 Uso delle tavole : esempio 3 tavola B Supponiamo di voler conoscere l area compresa tra z=-1 e z=+1 Nella colonna dei punti z, si scendere fino a trovare z=1 e, rimanendo nella stessa riga fino a trovare quella indicata con 0,00. Il punteggio che troveremo in quel punto è 0,3413 ed indica la porzione di area compresa tra z=0 e z=1. Per trovare il valore compreso tra z=-1 e z=+1 possiamo moltiplicare per 2, in virtù della simmetria della distribuzione. (0,3413*2)=0,6826 L area compresa è del 68,26% 46 Uso delle tavole : esempio 4 Supponiamo di voler conoscere l area compresa tra z=0,54 e z=0,35. Per trovare l area compresa tra - e z=0,54, nella colonna dei punti z, si scendere fino a trovare z=0,5 e, rimanendo nella stessa riga fino a trovare quella indicata con 0,04. Il punteggio che troveremo in quel punto è 0,7054. Per trovare l area compresa tra - e z=0,35, nella colonna dei punti z, si scendere fino a trovare z=0,3 e, rimanendo nella stessa riga fino a trovare quella indicata con 0,05. Il punteggio che troveremo in quel punto è 0,6368. Per trovare l area compresa tra z=0,54 e z=0,35 basterà sottrarre i due valori: 0,7054-0,6368=0,0686. L area compresa è del 6,9% 47 13

14 Esercizio La spesa media per prodotti telefonici nella popolazione statistica considerata, che si distribuisce in modo normale, è di 350 euro con uno scarto quadratico medio di 50. Estraendo un campione probabilistico di 150 individui si ottiene una spesa media di 359 euro. Quale è la probabilità di ottenere un campione che ha una spesa media maggiore di quella trovata nel campione estratto? E inferiore o uguale? Facendo riferimento alla distribuzione delle medie campionarie la spesa media di tutti i possibili campioni di 150 unità estraibili dalla popolazione si distribuisce normalmente con media: E(x ) =µ =350 errore medio : Var (x ) = / n =4,082 Come procedere 1. Trovare il valore medio e l errore standard delle medie campionarie 2. Calcolare il valore standardizzato 3. Disegnare la distribuzione normale 4. Calcolare la probabilità sulla tavola della distribuzione normale 5. Trarre le conclusioni z= ,082 = 2,20 La probabilità di ottenere un campione con media -inferiore o uguale a 359 è 0,9861 -superiore 359 è di 0,0139 Esercizio Il prezzo di un prodotto sul mercato risulta, da indagini precedenti, essere di 125 euro con uno scarto quadratico medio di 30. Estraendo un campione probabilistico di 60 negozi si ottiene un prezzo medio di 130 euro. Quale è la probabilità di ottenere un campione casuale di negozi che vendono il prodotto ad un prezzo superiore o uguale? Quale è la probabilità di ottenere un campione con dei negozi che vendono il prodotto a 123 euro o meno? Z= ,87 = 1,29 La probabilità di ottenere un campione con media -superiore o uguale a 130 è (1-0,9015)=0,0984 -inferiore o uguale a 123 è (1-0,6985)=0,3015 Z= ,87 = -0,52 14

15 Stima puntuale e stima intervallare Stimatore: statistica campionaria impiegata per stimare un parametro della popolazione Stima: è il singolo valore dello stimatore ottenuto applicando lo stimatore ai dati di uno specifico campione Stima puntuale: singolo valore che rappresenta la migliore previsione del valore di un parametro della popolazione Stima intervallare: intervallo di valori che contengono la stima puntuale, all interno del quale ricade il vero valore del parametro della popolazione Pagina 50 Stima puntuale Attribuire un preciso valore numerico al parametro incognito del carattere nella popolazione Procedura Si individua uno stimatore per il parametro Il valore dello stimatore sul campione osservato costituisce la stima puntuale (il valore che si può attribuire) del parametro incognito del carattere nella popolazione Pagina 51 15

16 Statistica media campionaria Pagina 52 Proprietà di uno stimatore Un buon stimatore È centrato intorno al parametro che deve stimare Ha il più piccolo errore standard possibile Proprietà Non distorsione: la media dello stimatore è uguale al valore incognito del parametro Efficienza: tra gli stimatori non distorti del parametro, lo stimatore ha variabilità minima Consistenza: all aumentare della numerosità del campione, aumenta la probabilità che lo stimatore differisca dal valore vero del parametro meno di una quantità piccola fissata arbitrariamente Pagina 53 16

17 Stimatori di media, varianza e proporzione x 1 n xi n i 1 Media campionaria: stimatore della media; è corretto, efficiente, consistente Varianza campionaria corretta: stimatore della varianza; è corretto, efficiente, consistente Proporzione campionaria: stimatore della proporzione; è corretto, efficiente e consistente Pagina 54 Stima ad intervalli: gli intervalli di confidenza Come si stabilisce se il valore medio di un campione è una buona stima di quello della popolazione? Si fa riferimento agli intervalli di confidenza: intervalli di valori, definiti da un estremo inferiore e superiore e costruiti a partire dalla media del campione, entro i quali possiamo ritenere che con una certa probabilità, sia inclusa la media della popolazione. La probabilità che il valore vero del parametro della popolazione cada nell intervallo si definisce livello di fiducia e si indica con (1 - α) α (denominato livello di significatività) è la probabilità che il parametro si trovi al di fuori dell intervallo di confidenza. Se il livello di fiducia è (1- α)=95% α =5% Se il livello di fiducia è (1- α)=99% α =1% 17

18 Intervallo di confidenza per la media con noto xx z σ n μ x + z σ n ; A partire dalla media del campione costruiamo un intervallo di valori sottraendo e sommando z /2 moltiplicato per l errore standard. z /2 è il valore, detto critico, a cui corrisponde un area cumulata della distribuzione normale standardizzata pari a (1- /2 ). Ciò vuol dire che se vogliamo avere un livello di fiducia del 95%, dobbiamo individuare sulle tavole della curva normale il valore z che ci consente di ottenere attorno al valore medio della distribuzione il 95% dei casi, lasciando a destra dell area il 2,5% e a sinistra il 2,5%: (1,00-0,025=0,975) Questo valore è z=±1,96 Esercizio Se vogliamo avere un livello di fiducia del 99%, quale è il valore critico di z? Come procedere 1. Calcolare /2= (1-0,99)/2=0, Cercare sulla tavola della curva normale standardizzata (tav.a) l area pari a (1- /2 )=(1-0,005)=0, Individuare il valore di z corrispondente. 4. Disegnare la curva normale 18

19 Per facilitarci il compito: In statistica in genere si ritiene accettabile un rischio di non più del 5%. Pertanto i livelli di fiducia utilizzati sono quelli di almeno il 95% ossia di (1- ) 0,95, a cui corrisponde appunto un livello di significatività 0,05. Si ritengono accettabili dunque valori di Sign= 0,05, che risultano associati a valori di Z /2 1,96 Esercizio: stima ad intervallo A un campione casuale semplice di 80 clienti è stato chiesto di attribuire un punteggio da 1 a 100 a un prodotto immesso sul mercato nell ultimo anno. Il valore medio del punteggio è stato 74. Sapendo che lo scarto quadratico medio del punteggio nella popolazione è di 2,5, stimare il punteggio medio del prodotto nella popolazione di riferimento, calcolando l intervallo di confidenza al 95%, al 99% e al 99,73%. Come procedere 1. Individuare il valore di z corrispondente a (1- /2 ) 2. Utilizzare il valore z per costruire gli intervalli di confidenza xx z σ n μ x + z σ n 1 α = 95% z /2 =1, ,96 (2,5/ 80 ) μ 74+1,96 (2,5/ 80) 73,45 μ 74,55 1 α = 99% z /2 =2, ,58 (2,5/ 80 ) μ 74+2,58 (2,5/ 80) 73,28 μ 74,72 1 α = 99,73% z /2 = (2,5/ 80 ) μ 74+3 (2,5/ 80) 73,16 μ 74,84 19

20 Esercizio: stima ad intervallo (segue) Possiamo dunque affermare che a partire dal punteggio medio rilevato nel campione di 74, il punteggio medio attribuito dalla popolazione dei clienti al prodotto è compreso tra : 73,45 e 74,55, con un livello di fiducia del 95% e con una probabilità del 5% che sia esterno a questo intervallo. 73,28 e 74,72, con un livello di fiducia del 99% e con una probabilità del 1% che sia esterno a questo intervallo. 73,16 e 74,84 con un livello di fiducia del 99,73% e con una probabilità dello 0,27% che sia esterno a questo intervallo. Esercizio: stima ad intervallo Quale sarebbero gli intervalli di confidenza al 95%, al 99% e al 99,73% se, fermo restando tutti gli altri dati ( e x), il campione fosse stato di 150 unità? xx z σ n μ x + z σ n n = 80 ; 1 α = 95% 73,45 μ 74,55 1 α = 99% 73,28 μ 74,72 σ n = 0,2795 n=150 ; 1 α = 95% 74 1,96* 0,2041 ) μ 74+1,96*0,2041) 73,60 μ 74,40 1 α = 99% σ n = 0, ,58 * 0,2041 μ 74+2,58*0, ,47 μ 74,53 1 α = 99,73% 73,16 μ 74,84 1 α = 99,73% ,2041 μ 74+3*0, ,39 μ 74,61 20

21 Osserviamo che Più alto è il livello di fiducia, più ampio è l intervallo di confidenza e quindi la possibilità che contenga il vero valore del parametro Infatti, a parità di n, più alto è 1 α più grande è lo z-score più ampio è l intervallo A parità di livello di fiducia: più grande è il campione, cioè n, più piccolo è l errore standard dello stimatore, minore è l ampiezza dell intervallo e dunque la precisione della stima Scegliendo un livello di fiducia 1 α ci si attende che l 1 α % dei campioni di medesima ampiezza n fornisca una stima del parametro tale che l intervallo di confidenza attorno a tale stima contenga il vero valore del parametro Tuttavia non si sa con certezza se tale intervallo contiene effettivamente il vero valore del parametro: il livello di sgnificatività indica la probabilità che il vero valore cada fuori dall intervallo di confidenza. Pagina 62 Esercizio: stima ad intervallo Su un campione casuale semplice di 196 negozi è stato rilevato un volume di vendite settimanale di 25 mila euro. Sapendo che lo scarto quadratico medio del volume di vendite nella popolazione è di 1500 euro, stimare il volume di vendite settimanale medio nella popolazione di riferimento, con un livello di fiducia del 95%, e del 99%. Come procedere 1.Individuare il valore di z /2 corrispondente a ciascun livello di fiducia 2-Utilizzare il valore z /2 per costruire gli intervalli di confidenza (1- )=0,95 z /2 =1, ,96 (1500/14) ,96(1500/14) xx z σ n μ x + z σ n (1- )=0,99 z /2 =2, ,58 (1500/14) ,58(1500/14) 24723, ,43 21