Dato che i risultati ottenuti tramite campioni casuali ed esperimenti comparativi sono legati al caso, non possiamo essere certi che le nostre

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1 Campione

2 Dato che i risultati ottenuti tramite campioni casuali ed esperimenti comparativi sono legati al caso, non possiamo essere certi che le nostre conclusioni siano corrette. Quello che possiamo fare e garantire che i metodi da noi utilizzati di solito diano risposte corrette. I metodi della statistica inferenziale cercano di rispondere alla seguente domanda: Se uso questo metodo tantissime volte, quante risposte corrette avrò?. Per rispondere a questa domanda vengono anche utilizzati i principi della probabilità.

3 Parametri e Statistiche Parametro valore che descrive la popolazione. Di soluto è incognito in quanto non è possibile esaminare l'intera popolazione. Statistica un numero calcolato direttamente sulla base dei dati campionari a nostra disposizione. Di solito viene usato per la stima di parametri di cui non si conosce il valore. Le statistiche derivano dal campione, i parametri dalla popolazione.

4 Reddito delle famiglie: Il reddito medio del campione di famiglie contattate nell'indagine governativa è risultato pari a dollari. Il numero è una statistica perché descrive il campione considerato nell'indagine. La popolazione sulla quale l'indagine cerca di trarre delle conclusioni corrispondente a 110 milioni di famiglie degli Stati Uniti. Il parametro che ci interessa è il reddito medio di tutte queste famiglie e, ovviamente, non conosciamo il valore di questo parametro.

5 Con la lettera μ si indica la media della popolazione che è un parametro fisso ed è sconosciuta quando si utilizza un campione per fare inferenza. Per la media del campione si utilizza il simbolo x medio. Il valore medio del campione cambia in funzione del campione che viene considerato. La media campionaria è una stima della media della popolazione da cui il campione è stato estratto.

6 Si può descrivere il comportamento di una statistica campionaria tramite un modello probabilistico che risponda a questa domanda: Cosa succederebbe se estraessimo molte volte un campione e calcolassimo ogni volta il valore della statistica?

7 A volte nel vino sono presenti composti di solfuro come il solfato di dimetile (DMS). Il DMS causa degli strani odori nel vino, per questo i produttori vogliono conoscere l'odore soglia, ovvero la concentrazione più bassa di DMS di cui l'uomo può percepire l'odore. Persone diverse hanno soglie diverse, così incominciamo col chiederci quale sia la soglia media μ nella popolazione di tutti gli adulti. Il numero μ è un parametro che descrive questa popolazione. Per stimare μ, offriamo ai degustatori sia il vino al naturale sia lo stesso vino corretto con DMS a diverse concentrazioni; in questo modo possiamo trovare la concentrazione più bassa alla quale questi identificano il vino corretto.

8 Di seguito sono riportati i valori soglia misurati in microgrammi di DMS per litro di vino, per 10 soggetti scelti a caso: La soglia media per questi soggetti x(m) = 27,4. Sembra ragionevole usare il risultato campionario della media per stimare il valore incognito μ. Poiché un CCS dovrebbe essere rappresentativo della popolazione, la media campionaria dovrebbe essere abbastanza vicina alla media μ, e se scegliamo un altro CCS, la casualità dell'estrazione produrrà quasi certamente un valore x(m) differente.

9 Legge dei grandi numeri Supponiamo di estrarre casualmente delle osservazioni da una popolazione qualsiasi con media finita μ. Al crescere del numero delle osservazioni estratte, la media x(m) dei valori osservati tenderà alla media μ della popolazione.

10 La distribuzione dell'odore soglia tra gli adulti ha media 25. La media μ=25 è il valore reale del parametro che noi cerchiamo di stimare. La figura mostra come la media campionaria di un CCS estratta da questa cambia quando aggiungiamo soggetti al nostro campione. Vedi DMS.xls

11 Il primo soggetto dell'esempio ha soglia pari a 28, quindi la linea nella figura comincia qui. La media per i primi due soggetti è: x(m) = ( )/2 = 34 Questo è il secondo punto del grafico. Continuando ed aggiungendo nuove osservazioni ci si accorge che la media del campione x(m) si avvivina sempre di più alla media della popolazione μ. Se si ripetessero le misurazioni con un altro campione il percorso da sinistra verso destra sarebbe diverso la alla fine giungeremmo sempre alla media μ.

12 La rappresentazione in un istogramma delle medie campionarie si distribuisce secondo una curva Normale centrata sulla media delle medie campionarie che è uguale a μ. Se x(m) è la media di un CCS di numerosità n estratto da una popolazione ampia con media μ e deviazione standar σ. Allora la media della distribuzione campionaria di x(m) è pari a μ e la sua deviazione standard a σ/rad.qd n.

13 Proprietà della distribuzione campionaria di x(m) La distribuzione campionaria di x(m) è centrata su μ. La statistica x(m) è uno stimatore non distorto (cioè è mediamente corretto) di μ. La media campionaria è meno variabile delle singole medie di ogni campione. La deviazione standard della distribuzione campionaria di x(m) dipende relativamente dal numero di campioni.

14 Esempio Supponiamo di avere un esperimento ripetuto 4 volte (campione con 4 casi) con σ = 12. Che deviazione standard ha la media campionaria? Se volessimo una deviazione standard pari a 6 che numerosità dovrebbe avere il campione?

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16 Teorema del limite centrale Aumentando la numerosità campionaria la distribuzione di x(m) tende a cambiare forma e spostarsi verso una normale, indipendentemente da quale sia la distribuzione della popolazione. Tale distribuzione normale è centrata sul valore μ. Tutto questo se la deviazione standard è finita. Per tale ragione la distribuzione Normale viene utilizzata come modello comune per molte osservazioni

17 Intervalli di confidenza Facendo inferenza su un campione riguardo tutta la popolazione si cerca di dedurre il valore di un parametro della popolazione dallo stesso parametro misurato su un CCS. Ma quanto è precisa la misura eseguita sul CCS rispetto al valore reale di tutta la popolazione? In particolare parleremo di media.

18 Stima Attraverso i dati raccolti riguardo un particolare parametro sul campione stimiamo quale sia il valore reale di tale parametro. Effettuiamo una stima del valore reale. Sappiamo che x(m) è una stima della media μ e sappiamo come calcolare la deviazione standard σ del campione conoscendo la deviazione standard della popolazione. Una volta calcolata la deviazione standard campionaria applicando le regole della probabilità per una distribuzione normale ( ,7):

19 si ha che la stima di μ è pari alla media x(m) del campione più o meno 2 volte la deviazione standard del campione stesso. Con una confidenza del 95%. Cioè se io ripetessi un numero alto di volte la stima della media x(m) su diversi campioni nel 95% dei casi nell'intervallo compreso tra x(m) +- 2σ troverei il valore reale di μ. Da ciò un intervallo di confidenza è individuato dalla stima +- l'errore e da una percentuale di confidenza.

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21 Intervalli di confidenza per μ In realtà la regola del ,7 va leggermente corretta con l'utilizzo di tabelle specifiche. In particolare: Livello di Confidenza 90% 95% 99% Valore critico Quindi, dato un CCS con n pari al numero dei casi, con distribuzione normale, media pari a μ e deviazione standard σ l'intervallo di confidenza per un particolare livello di confidenza è dato da: x m ±z n

22 Un'azienda farmaceutica analizza un campione di prodotto per verificare il grado di concentrazione del principio attivo. L'analisi chimica non può essere perfettamente precisa: misurazioni ripetute sullo stesso campione producono, infatti, risultati leggermente diversi fra loro. Immaginiamo che i risultati delle misurazioni seguano una distribuzione Normale con media μ parialla concentrazione effettiva e con deviazione standard σ = 0,0068 grammi per litro. Il laboratorio analizza ogni campione tre volte e riporta anche la media dei valori ottenuti. Le tre analisi di un campione danno le seguenti concentrazioni: 0,8403; 0,8363; 0,8447.

23 Più piccola è la deviazione standard della popolazione più piccolo sarà il margine d'errore. Per ottenere margini di errore più piccoli bisogna accettare livelli di confidenza più piccoli. Più è alta la numerosità del campione più è piccolo il margine d'errore. Anche se bisogna quadruplicare le osservazioni per dimezzare il margine d'errore.

24 Numero di osservazioni m= z n n= z m 2

25 Esempio Sempre secondo l'esempio della casa farmaceutica. Supponiamo di voler produrre risultati con un livello di confidenza pari al 95% e con un margine d'errore di 0,005. Quante osservazioni mi occorrono? z m 2 = 1,96 x 0,0068 0,005 2 =7,1