LA MEDIA CAMPIONARIA 14-1

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1 LA MEDIA CAMPIONARIA Prendiamo un urna e inseriamo 10 palline numerate da 0 a 9 (questa è la nostra popolazione ). La media dei 10 valori è 4.5 (questa è la media vera µ). La varianza dei 10 valori è 8.25 (questa è la varianza vera σ 2 ). Estraiamo (con rimessa) un certo numero n di palline dall urna (un campione casuale semplice) e calcoliamo la media degli n valori estratti. Chiamiamo questo valore media campionaria (o, meglio, una realizzazione della media campionaria). Vediamo cosa succede ripetendo questo esperimento più volte, facendo anche variare n (la dimensione del campione). 14-1

2 Parametri e statistiche Parametro: valore che descrive la popolazione. Di solito è incognito in quanto non è possibile esaminare l intera popolazione. Statistica: è un numero calcolato direttamente sulla base dei dati campionari a nostra disposizione. Di solito viene usato per la stima di parametri di cui non si conosce il valore. 14-2

3 > pop <- c(0:9); pr <- rep(1/10,10) > nrep <- 20; tmp <- rep(na,nrep) > > for (i in 1:20) tmp[i] <- mean(sample(pop, 2, replace = TRUE, prob = pr)); print(tmp) [1] > for (i in 1:20) tmp[i] <- mean(sample(pop, 5, replace = TRUE, prob = pr)); print(tmp) [1] > for (i in 1:20) tmp[i] <- mean(sample(pop, 10, replace = TRUE, prob = pr)); print(tmp) [1]

4 > for (i in 1:20) tmp[i] <- mean(sample(pop, 100 replace = TRUE, prob = pr)); print(tmp) [1] > for (i in 1:20) tmp[i] <- mean(sample(pop, 1000, replace = TRUE, prob = pr)); print(tmp) [1] > for (i in 1:20) tmp[i] <- mean(sample(pop, 10000, replace = TRUE, prob = pr)); print(tmp) [1]

5 LA MEDIA CAMPIONARIA Quando consideriamo il valore medio di una variabile calcolata su campione (casuale semplice), osserviamo che il risultato numerico che otteniamo dipende dal campione. Vale a dire che, a seconda del campione, la media che calcoliamo varia. Quindi la media calcolata su di un campione (media campionaria) è una variabile casuale. Essendo una variabile casuale, avrà una distribuzione di probabilità, una media e una varianza. 14-5

6 Distribuzioni campionarie La distribuzione campionaria di una statistica è la distribuzione dei valori che la statistica assume in tutti i possibili campioni con la stessa numerosità, estratti dalla stessa popolazione. 14-6

7 LA MEDIA CAMPIONARIA Al crescere della dimensione del campione (n) alcuni risultati diventano meno frequenti (quelli più estremi ), mentre altri (quelli più centrali ) diventano più frequenti. In particolare i valori osservati sembrano addensarsi intorno alla media vera, cioè a 4.5 (nel nostro esempio). 14-7

8 LA MEDIA CAMPIONARIA Ripetiamo ora lo stesso esperimento (estrazione di un campione casuale semplice di n palline) non poche volte, ma numerosissime volte (N). Annotiamo ogni volta la media delle n osservazioni (la media campionaria). Alla fine delle N ripetizioni ( repliche ) calcoliamo la media delle N medie campionarie e la varianza delle N medie campionarie. Ripartiamo da capo modificando n (la dimensione del campione). 14-8

9 pop <- c(0:9) xm <- sim(n= 1,pop,nrep=10000) xm <- sim(n= 2,pop,nrep=10000) xm <- sim(n= 4,pop,nrep=10000) xm <- sim(n= 8,pop,nrep=10000) xm <- sim(n= 16,pop,nrep=10000) xm <- sim(n= 32,pop,nrep=10000) xm <- sim(n= 64,pop,nrep=10000) xm <- sim(n=128,pop,nrep=10000) 14-9

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11 LA MEDIA CAMPIONARIA Ripetendo lo stesso esperimento numerosissime volte (N), facendo variare di volta in volta la dimensione del campione (n), la media delle N medie (medie campionarie) rimane sostanzialmente stabile (cioè non dipende da n). La media di tutte le possibili medie campionarie è sempre uguale alla media vera (cioè alla media della popolazione da cui è stato estratto il campione). Diciamo che la media campionaria è uno stimatore non distorto (unbiased) della media vera µ

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14 LA MEDIA CAMPIONARIA Ripetendo lo stesso esperimento numerosissime volte (N), facendo variare di volta in volta la dimensione del campione (n), la varianza delle N medie campionarie si riduce al crescere di n. Sembra proprio che esista una legge (una funzione) che lega la varianza della media campionaria alla dimensione del campione. Moltiplichiamo fra loro varianza (delle medie campionarie) e dimensione del campione corrispondente e vediamo il risultato su un grafico

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16 LA MEDIA CAMPIONARIA Il prodotto fra varianza e dimensione del campione è approssimativamente costante. Nell esempio questa costante è 8.25 (la varianza dei dati originali). In effetti la varianza di tutte le possibili medie campionarie calcolate su campioni di dimensione n è inversamente proporzionale alla dimensione del campione. Nel nostro esempio abbiamo: ( ) Var X n = n 14-16

17 LA MEDIA CAMPIONARIA La funzione che lega fra loro la varianza della media campionaria e la dimensione del campione è l iperbole (equilatera). Quando la dimensione del campione raddoppia, la varianza della media campionaria si dimezza. Per dimezzare la deviazione standard della media campionaria (l errore standard) occorre però quadruplicare la dimensione del campione Verifichiamo graficamente la relazione Var ( X ) = n 14-17

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20 LA MEDIA CAMPIONARIA Quanto illustrato prima con un esempio ha validità molto più generale (non dipende dall esempio scelto). Indichiamo con X una qualsiasi variabile casuale (lo stesso vale per qualsiasi insieme di dati empirici). Indichiamo con µ la media di X. Indichiamo con σ 2 la varianza di X. Consideriamo ora la media (media campionaria) di un campione casuale semplice di n osservazioni estratto da X. Indicheremo questa variabile casuale con Xn 14-20

21 LA MEDIA CAMPIONARIA Allora, la media (il valore atteso) della media campionaria è (sempre) µ (non dipende da n)

22 LA MEDIA CAMPIONARIA Allora, la media (il valore atteso) della media campionaria è (sempre) µ (non dipende da n). 2 La varianza della media campionaria è σ n 14-22

23 Una giustificazione teorica per le due regole precedenti Una media è essenzialmente una somma di quantità simili divisa per una costante (il numero degli addendi della somma). Dal punto di vista teorico, ciò che si somma sono variabili casuali (di cui il ricercatore osserva delle realizzazioni). È possibile dimostrare che la media (il valore atteso) della somma di due variabili casuali è sempre la somma delle due medie. È pure possibile dimostrare che la varianza della somma di due variabili casuali è la somma delle due varianze, se le due variabili casuali sono fra loro indipendenti

24 Una giustificazione teorica per le due regole precedenti Le due regole precedenti si generalizzano al caso della somma di un numero qualsiasi di variabili casuali: la media (il valore atteso) della somma di n variabili casuali è sempre la somma delle n medie; la varianza della somma di n variabili casualièlasommadellenvarianze,selen variabili casuali sono fra loro indipendenti

25 Una giustificazione teorica per le due regole precedenti Siano X 1, X 2,, X n, n variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite, ciascunaconmedia µevarianza σ 2. SiaS n lasommadellenvariabili.allora: Var E ( S ) = µ + µ µ = nµ n ( S ) = σ 2 + σ σ 2 = nσ 2 n 14-25

26 Una giustificazione teorica per le due regole precedenti La media campionaria (di n variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite) è la somma delle n variabili casuali divisa per n. Quindi: E S n 1 n ( ) n X = E = E( S ) = nµ = µ n n 1 n Var 1 n ( ) n X = Var = Var( S ) n S n 2 n = 1 n 2 2 nσ = σ n

27 LA MEDIA CAMPIONARIA Allora, la media (il valore atteso) della media campionaria è (sempre) µ (non dipende da n). La varianza della media campionaria è La deviazione standard (l errore standard) della media campionaria è σ n 2 σ n 14-27

28 LA MEDIA CAMPIONARIA Allora, la media (il valore atteso) della media campionaria è (sempre) µ (non dipende da n). La varianza della media campionaria è La deviazione standard (l'errore standard) della media campionaria è σ n E la forma della distribuzione della media campionaria quale sarà? Dipende 2 σ n 14-28

29 xm <- simnorm(n=1,mu=60,sigma=12,nrep=10000) 14-29

30 xm <- simunifc(n=1,nrep=10000) 14-30

31 xm <- simunifc(n=2,nrep=10000) 14-31

32 xm <- simunifc(n=10,nrep=10000) 14-32

33 xm <- simexp(n=1,nrep=10000) 14-33

34 xm <- simexp(n=50,nrep=10000) 14-34

35 xm <- simexp(n=100,nrep=10000) 14-35

36 LA MEDIA CAMPIONARIA Allora, la media (il valore atteso) della media campionaria è (sempre) µ (non dipende da n). La varianza della media campionaria è La deviazione standard (l'errore standard) della media campionaria è σ n Al crescere della dimensione del campione, la distribuzione della media campionaria tende alla distribuzione normale. Questo vale anche se consideriamo delle distribuzioni empiriche. 2 σ n 14-36

37 istogramma(laureati$voto30) 14-37

38 istogramma(laureati$votofinale) 14-38

39 La deviazione standard della media campionaria è chiamata, specie nella letteratura anglosassone, errore standard della media campionaria. Rispetto alla deviazione standard della variabile che si sta analizzando, l errore standard (della m.c.) ha un significato diverso. Infatti, mentre la deviazione standard della variabile che si sta analizzando è quella che è, la grandezza dell errore standard è, almeno in parte, sotto il controllo del ricercatore. Infatti, se facciamo crescere n, l errore standard diminuirà fino a diventare quasi zero

40 Se l errore standard fosse esattamente zero, vorrebbe dire che la nostra stima della media coinciderebbe con la media vera. In altre parole, la nostra stima avrebbe una precisione assoluta (infinita). Qualsiasi stimatore ha un errore standard che è da interpretare come una misura inversa della precisione della stima. È proprio l aumento di precisione con cui stimiamo la media vera che costringe la media campionaria fra le due barriere tracciate nel grafico che illustra la legge dei grandi numeri

41 LA LEGGE DEI GRANDI NUMERI 14-41