UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA

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1 UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA Corso di Laurea Magistrale in Scienze della Nutrizione Umana Corso di Statistica Medica, anno P.Baldi Lista di esercizi 4, 11 febbraio Esercizio 1 Una v.a. X segue una legge N(2, 4). Calcolare a1) P(X 1). a2) P(2 X 5). a3) P( X 2 3). b) Supponiamo invece che X N(2, 1). Sapreste dire, prima di fare i conti, se le quantità in a1), a2) a3) diventano più grandi o più piccole? Poi comunque calcolatele. c) Supponiamo invece che X N(2, 9). Sapreste dire, prima di fare i conti, se le quantità in a1), a2) a3) diventano più grandi o più piccole? Poi comunque calcolatele. Esercizio 2 a) Si sa che un certo carattere in una popolazione è distribuito secondo una legge normale N(10, 0.01). Dalla popolazione viene preso un campione di 400 individui e indichiamo X 1,..., X 400 i valori del carattere misurato sugli individui del campione. a1) Qual è la probabilità che un individuo del campione presenti una misurazione del carattere 9.8? a2) Qual è la probabilità che vi sia almeno un individuo nel campione con una misurazione 9.8? b) Viene invece fatta l ipotesi che la popolazione sia in realtà composta da due sotto popolazioni. Nella popolazione 1, che costituisce il 30%, il carattere ha una distribuzione N(10, 0.01), mentre nella 2, che forma il 70%, il carattere ha una distribuzione N(10, 0.09). In particolare, quindi, il carattere ha la stessa media nelle due sotto popolazioni, ma dispersioni diverse. b1) Qual è la probabilità che un individuo del campione presenti una misurazione del carattere 9.8? b2) Qual è la probabilità che vi sia almeno un individuo nel campione con una misurazione 9.8? Esercizio 3 Un generatore aleatorio produce numeri a caso indipendenti e con legge N(0, 1), che indicheremo X 1,..., X n. a) Supponiamo n = 100. Qual è la probabilità che almeno uno di questi numeri sia 2.9? b) Supponiamo sempre n = 100 e poniamo X n = 1 n (X X n ). 1

2 Qual è la probabilità P( X n 0.1)? c) Quanto grande deve essere n perché la probabilità di osservare un valore 2.9 sia più grande di 1 2? d) Quanto grande deve essere n perché la probabilità P( X n 0.1) sia pù piccola di 1 100? 2

3 Soluzioni Esercizio 1. Questo esercizio porta su applicazioni immediate delle proprietà della funzione di ripartizione della legge N(0, 1), come riportate alle pagine degli appunti e come spiegato nell Esempio L osservazione importante è comunque che una v.a. N(µ, σ 2 ) si può sempre scrivere X = σz + µ, dove Z N(0, 1). Questa relazione permette di ricondursi alle tavole della N(0, 1). Nel nostro caso possiamo supporre quindi X = 2Z + 2, Z N(0, 1). a 1) P(X 1) = P(2Z + 2 1) = P(Z 2 1 ) = ( 2 1 ). Il valore di per valori negativi non si trova. Ci si ricorda però che ( 2 1 ) = 1 ( 2 1 ). Le tavole danno ( 2 1 ) = 0.69 e quindi P(X 1) = = a2) L osservazione importante qui è che P(2 X 5) = P(X 5) P(X 2). Ora P(X 5) = P(2Z + 2 5) = P(Z 2 3 ) = (1.5) = 0.93 P(X 2) = P(2Z + 2 2) = P(Z 0) = (0) = 1 2 e dunque P(2 X 5) = = a3) Ricordiamo che dire X 2 > 3 vuole dire che o X 2 > 3 oppure X 2 < 3. Dunque P( X 2 > 3) = P(X 2 > 3) + P(X 2 < 3). Ora P(X 2 < 3) = P(2Z < 3) = P(Z 3 2 ) = 1 P(Z 3 2 ) = = = 0.07 P(X 2 > 3) = P(2Z > 3) = P(Z > 3 2 ) = 1 P(Z 3 2 ) = = = 0.07 In conclusione P( X 2 > 3) = = b) Sempre le stesse idee, solo che ora σ 2 = 1 e si deve scrivere X = Z + 2. Ora la varianza è più piccola e quindi la v.a. X tenderà a concentrarsi su valori vicini alla media, che è sempre uguale a 2. Dunque, intuitivamente, le quantità a1) e a3), che riguardano probabilità di assumere valori lontano dalla media, dovrebbero diventare più piccole, mentre a2) dovrebbe diventare più grande. Verifichiamo. b1) P(X 1) = P(Z + 2 1) = P(Z 1) = ( 1) = 1 (1) = = 0.16 b2) P(X 5) = P(Z + 2 5) = P(Z 3) = (3) = P(X 2) = P(Z + 2 2) = P(Z 0) = (0) = 1 2 3

4 b3) P(X 2 < 3) = P(Z < 3) = P(Z 3) = 1 P(Z 3) = = = P(X 2 > 3) = P(Z > 3) = P(Z > 3) = 1 P(Z 3) = = = In conclusione P( X 2 > 3) = = c) Ora σ 2 = 9 e si deve scrivere X = 3Z + 2. Dato che ora la varianza è più grande, ripetendo i ragionamenti fatti per b), dovrebbe accadere il contrario: a1) e a3) daranno probabilità pù grandi, a2) una probabilità più piccola. c1) P(X 1) = P(3Z + 2 1) = P(Z 1 3 ) = ( 1 3 ) = 1 ( 1 3 ) = = c2) P(X 5) = P(3Z + 2 5) = P(Z 1) = (1) = 0.84 P(X 2) = P(3Z + 2 2) = P(Z 0) = (0) = 1 2 c3) P(X 2 < 3) = P(3Z < 3) = P(Z 1) = 1 P(Z 1) = = = 0.16 P(X 2 > 3) = P(3Z > 3) = P(Z > 1) = 1 P(Z 1) = = = 0.16 e quindi P( X 2 > 3) = = Esercizio 2. Se indichiamo con X 1 una delle misurazioni, allora possiamo scrivere X 1 = 0.1Z + 10 (0.1 è la radice quadrata di 0.01). Dunque a1) P(X 1 9.8) = P(0.1Z ) = P(Z 2) = 1 (2) = = a2) La probabilità che almeno una delle misurazioni sia 9.8 sarà uguale a 1 meno la probabilità che tutte le misurazioni siano > 9.8, cioè 1 P(X 1 > 9.8,..., X 400 > 9.8) Dato che si possono considerare le misurazioni indipendenti, = 1 P(X 1 > 9.8)... P(X 400 > 9.8) = 1 P(X 1 > 9.8) 400 = 1 (1 P(X 1 9.8)) 400 = = = =

5 b) Indichiamo con A 1 l evento viene scelto un individuo della popolazione 1 e con A 2 il corrispondente evento per la popolazione 2. Sappiamo che per un individuo della popolazione 1 X 1 N(10, 0.01), ovvero X = 0.1Z + 10 dove Z N(0, 1). Dunque P(X A 1 ) = P(0.1Z ) = (già calcolata in a1)). Invece per un individuo della popolazione 2 X 1 N(10, 0.09) ovvero X 1 0.3Z + 10 (dato che 0.3 = 0.09). Dunque P(X A 2 ) = P(0.3Z ) = P(Z 2 3 ) = 1 P(Z 2 3 ) = Quindi con la formula delle probabilità totali = = P(X 1 9.8) = P(X A 1 )P(A 1 + P(X A 2 )P(A 2 ) = = = b2) Si possono ripetere i ragionamenti fatti in a2), cioè la probabilità che ci sia almeno una misurazione inferiore a 9.8 è uguale a 1 (1 P(X 1 9.8)) 400 solo che ora P(X 1 9.8) = Arriviamo dunque all espressione 1 ( ) 400 = che è praticamente uguale a 1 ( = ). Un errore possibile è quello di giungere a dare come risposta a b2) la probabilità 1 0.3( ) (1 875) 400 (sbagliata) In realtà questa sarebbe la risposta giusta se si fosse supposto che con probabilità 30% tutti gl individui fossero della popolazione 1 e con probabilità 70% tutti gl individui fossero della popolazione 2. Esercizio 3. a) Conviene calcolare prima la probabilità che tutti i valori X 1,..., X 100 sian più piccoli di 2.9. La probabilità che uno di questi sia 2.9 è uguale a (vedi le tavole) Poiché gli eventi {X 1 2.9},..., {X } sono indipendenti, si ha P(X 1 2.9,..., X ) = P(X 1 2.9)... P(X ) = = 0.87 e dunque la probabilità che uno almeno dei valori osservati sia più grande di 2.9 è =

6 b) La v.a. X X n segue una legge N(0, n) e la X n quindi è N(0, n 1 ), ovvero 1 N(0, 100 ) in questo caso. Sappiamo che questo vuole dire che X n = 10 1 Z, dove Z è N(0, 1). Dunque P( X n 0.1) = P( 10 1 Z 0.1) = P( Z 1) = = 1 (2 (1) 1) = 2(1 (1)) = 2( ) = c) La probabilità di avere almeno una osservazione più grande di 2.9 è (ripetendo l argomentazione di a)) n. Perché questa quantità si 1 2, cioè n 1 2, deve essere n 1 2 e, prendendo i logaritmi, n log log 1 2 e quindi, dividendo ambo i membri per log , si trova (vedi nota sotto) n log 1 2 log = Occorre quindi un campione di almeno n = 510 valori. d) Abbiamo già osservato che X n N(0, 1 n ) e dunque si può scrivere X n = 1 n Z, con Z N(0, 1). Dunque P( X n 0.1) = P( 1 n Z 0.1) = P( Z 0.1 n) = 1 (2 (0.1 n) 1) = = 2(1 (0.1 n)) Se vogliamo che questa quantità sia 100 1, dovrà dunque essere ovvero 1 (0.1 n) 1 200, cioè 2(1 (0.1 n)) (0.1 n) = = Uno sguardo alle tavole dice che (x) = per x = n 2.58 e dunque n = ovvero deve essere n 666. Dunque deve essere 6

7 Attenzione: in c) dalla relazione abbiamo ricavato n n log log 1 2 log 1 2 log = cioè e non. Questo perché il numero log è negativo, essendo il logaritmo di un numero più piccolo di 1. E quando si dividono ambo i membri per una quantità negativa bisogna cambiare il verso della disuguaglianza. (anche log 2 1 è un numero negativo). Questa è una cosa a cui bisogna fare attenzione: una probabilità è infatti sempre più piccola di 1 e il suo logaritmo è quindi sempre negativo, anche se a prima vista non si vede. 7