Premessa: la dipendenza in media

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1 Premessa: la dipendenza in media Supponiamo di avere K diversi livelli di un fattore che potrebbero influire su una determinata variabile. Per esempio supponiamo di domandarci se la diversificazione (intesa come diversi gradi di diversificazione) incide sulla performance d impresa (misurata attraverso una variabile quantitativa, ad esempio ROA). Per ogni livello di diversificazione supponiamo di avere un campione. Ad ogni livello di diversificazione potremmo associare il ROA medio. Se al variare della diversificazione il ROA medio non varia possiamo dire che c e INDIPENDENZA IN MEDIA della performance rispetto alla diversificazione. Se invece il ROA medio varia (al variare del grado di diversificazione) allora potremmo provare a misurare l intensità della dipendenza. Come? Si parte dalla scomposizione della devianza. Supponiamo che su una variabile x, si abbiano n osservazioni. La varianza è data da: i (x i M 1 (x) ) 2 /n (1) e la devianza e semplicemente il suo numeratore. La varianza (come anche la devianza) misura la variabilità di un fenomeno. Risulta nulla se e solo se tutte le osservazioni sono uguali tra di loro (e quindi uguali alla media aritmetica). Supponiamo ora che le osservazioni sulla variabile x si riferiscano a K diversi livelli di diversificazione: x ij denoterà il valore della x per l i-esima osservazione del j-esimo gruppo (o livello del fattore). La devianza sarà ancora la somma dei quadrati di tutti gli scostamenti tra le osservazioni e la media generale, ma per esprimerla occorrerà utilizzare una doppia sommatoria, su tutte le osservazioni di tutti i gruppi (o livelli del fattore): j i (x ij - M 1 (x) ) 2 (2)

2 Indicando con M 1 (x j ) la media della x nel gruppo j-esimo, si può dimostrare che la (2) equivale anche alla somma di due quantità: j i (x ij - M 1 (x j ) ) 2 + j i (M 1 (x j ) - M 1 (x) ) 2 (3) La prima quantità rappresenta la devianza interna. Se sviluppiamo rispetto alla somma in j, la devianza interna risulta a sua volta una somma delle devianze di ciascuno dei K gruppi. Il secondo addendo della (3) rappresenta invece la devianza esterna (la quale misura la variabilità tra le medie dei diversi gruppi). La (3) rappresenta la così detta scomposizione della devianza : devianza tot. = devianza interna + devianza esterna N.B. La devianza interna si annulla solo se in ogni gruppo le osservazioni x ij coincidono tutte con M 1 (x j ) cioè la media del gruppo stesso. La devianza esterna si annulla solo se le medie M 1 (x j ) dei diversi gruppi coincidono tutte con la media generale M 1 (x). Ritornando al concetto di dipendenza o indipendenza in media abbiamo che in caso di indipendenza in media le medie dei diversi gruppi (medie condizionate ai diversi livelli del fattore) saranno tutte uguali tra loro e quindi la devianza esterna sarà nulla. Viceversa qualora ad ogni livello del fattore sia associato un unico valore della variabile x, si parlerà di massima dipendenza in media e si avrà devianza interna nulla.volendo misurare l intensità della dipendenza in media si può utilizzare l indice η 2 = devianza esterna/devianza totale Che e sempre compreso tra 0 e 1.

3 L analisi della varianza (ANOVA) Supponiamo ora che la variabile x sia una variabile casuale; che per ciascuno dei K livelli del fattore si abbia un campione casuale, che tali campioni casuali siano indipendenti. Sia per l intera popolazione : X ij = μ + α j + u ij Σ j α j = 0 u ij ~ N(0, σ 2 ) Si vuole sottoporre a verifica l ipotesi : H 0 : α j = 0 per ogni j= 1,2,.,K; contro l alternativa H 1 : α j 0 per qualche j. Cioè si vuole verificare se c e indipendenza in media della variabile x rispetto al trattamento. Come si procede? Si va a verificare se nel campione c e indipendenza in media. E ben noto che nel test d ipotesi occorre basarsi su una statistica-test di cui sia nota la distribuzione almeno sotto l ipotesi H o. Nel nostro caso non e nota la distribuzione di η 2. Tuttavia si può dimostrare che se x ij ha distribuzione Normale di media μ e varianza σ 2 per ogni j (cioè per ogni livello del trattamento) allora e nota la distribuzione di: F = (Devianza esterna/devianza interna)x(n-k)/(k-1) la quale ha una distribuzione F di Fisher. F ~ F (K-1; n-k) Pertanto fissata α e dati i gradi di libertà (K-1) e (n-k) rispettivamente, si trova sulle tavole il valore F α. Indicando con F c il valore calcolato della statistica test, la regola di decisione e : se F c F α si accettah 0. Infatti se F c e assume un valore basso, la devianza esterna e relativamente piccola rispetto alla devianza interna, cioè le medie non possono ritenersi significativamente diverse (i vari α j non possono ritenersi significativamente diversi da zero).

4 Esiste la possibilità di estendere l analisi al caso di più fattori, contemplando anche la possibilità che ci sia interazione tra di essi. E il caso dell analisi della varianza a più fattori. Nel linguaggio dei software statistici si ha: Total Sum of Squares (TSS) = devianza totale g.di.f. = n Between groups Sum of Squares (SSB) = devianza esterna g.di f. = K-1 Within-groups Sum of Squares (SSW) = devianza interna g.di f. = n-k F c = (SSB/K-1)/(SSW/n-K) Con SPSS dal menu ANALYZE si sceglie opzione COMPARE MEANS e sotto-opzione: ONE-WAY ANOVA. Si seleziona poi la variabile dipendente ed il fattore i cui livelli individuano i diversi gruppi. I livelli del fattore devono essere codificati numericamente. Quali sono le ipotesi alla base dell impiego dell ANOVA? Per ciascun livello del fattore si deve avere un campione casuale. Tali campioni casuali devono essere indipendenti tra loro. Inoltre tali campioni devono provenire tutti da popolazioni Normali. Queste popolazioni Normali devono avere tutte la stessa varianza. L ANOVA consiste nel fare un test per vedere se le medie coincidono. Pertanto prima di condurre un ANOVA e opportuno fare preliminarmente sia un test di Normalità che un test di omoschedasticità.

5 Test di Kruskall-Wallis E il corrispondente non parametrico dell analisi della varianza. Lo si utilizza quando non e realistico assumere che la popolazione di riferimento abbia una distribuzione Normale. (Ed anche quando la variabile x e misurata su scala ordinale, cioè non e un vero carattere quantitativo). L ipotesi che si sottopone a verifica e l uguaglianza non più tra le medie bensì tra le mediane di diversi gruppi. (N.B. Per distribuzioni simmetriche, quindi anche per la Normale, media e mediana coincidono!) I dati vengono trasformati in ranghi. Ovvero si ordinano tulle le osservazioni x ij, in un unica graduatoria e si assegna rango 1 all osservazione più piccola, rango 2 alla seconda,..., rango n all ultima. (In caso di pareggio fra più osservazioni, gli si assegna un rango medio tra quelli che gli avrebbero avuto se il pareggio non ci fosse stato.). Indicando con r ij il rango della i-esima osservazione del j-esimo gruppo, con n j il numero di osservazioni nel j-esimo gruppo, con r..j la media dei ranghi appartenenti al gruppo j : r.j = i r ij /n j, con r la media di tutti i ranghi r ij la statistica che si utilizza e data da: K = (n-1) j (r.j r) 2 / j i (r ij r) 2 = (n-1) dev.esterna/dev.totale la quale ha distribuzione chi quadrato (χ 2 )con n-1 gradi di libertà. Si fissa α, e sulle tavole si cerca χ 2 α e se K risulta superiore a χ 2 α si rifiuta l ipotesi di uguaglianza tra i ranghi medi di ciascun gruppo.