Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /2e S. Borra, A. Di Ciaccio - McGraw Hill

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1 Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /e S. Borra, A. Di Ciaccio - McGraw Hill Es.. Soluzione degli esercizi del capitolo 4 4. Il sistema d ipotesi è: μ 7, H : μ 7, Essendo 0 : t, 53 <, 7765 t (4 g.d.l.), si accetta l ipotesi nulla. H. Il valore della statistica test è t ( 7, 07 7, ) ( ), Il sistema d ipotesi è (riferito a una durata in termini di chilometri): H 0 : μ 0000 H : μ > Il valore della statistica test è t ( ) ( 63, 5 64 ) 5, 96 e il valore soglia è t 390 (si è 0, 0, approssimato a 60 g.d.l.). Pertanto t > t 0 (o anche x 000 > 008, 90 μ 0 t 0 s / n ) e si rifiuta l ipotesi nulla, ossia si può ritenere che le nuove guarnizioni siano migliori delle precedenti. 4.3 Il sistema d ipotesi è: H 0 : μ 500 H : μ > 500. Il valore della statistica test è t ( ) ( 0 5) 5 e il valore soglia è t 49 (con 4 g.d.l.). Pertanto t 0 0, 0, t > (o anche x 50 > 504, 98 μ t, s / n ) e si rifiuta l ipotesi nulla, ossia si può ritenere che il peso medio dei pacchi sia superiore a quello prefissato. 4.4 Il sistema d ipotesi è: H μ 000 H : μ : > t , e il valore soglia è t 0,, 753 (con 5 g.d.l.). Il valore della statistica test è ( ) ( ) 44 Pertanto t > t (o anche x 00 > 003, 94 μ 0 t s / n ) e si rifiuta l ipotesi nulla, ossia si può ritenere che le lampadine prodotte dalla nuova macchina abbiano una durata media superiore. 4.5 Il sistema d ipotesi è: H0 : π 5 H : π 5. Ricorrendo all approssimazione Normale e alla 4.3. si ha: z 0, 048 ( 5)( 75) <, 96 z pertanto si accetta l ipotesi nulla (la differenza osservata è frutto del caso). 4.6 Il sistema d ipotesi è: H 0 : μ 8 H : μ 8. Ricorrendo 4.. si ha: z ( 9) 9 e z 9 >,96 z, pertanto si rifiuta l ipotesi nulla, cioè la macchina non è tarata correttamente. 4.7 Il sistema d ipotesi è: H0 : π 5 H : π 5. Ricorrendo all approssimazione Normale e alla 4.3. si ha: z 0, 03 ( )( 9) 0, 09 e quindi z,09 <,65 z, pertanto si accetta l ipotesi nulla (la proporzione osservata tra gli operai non è significativamente maggiore di quella della popolazione) > n S 45,4 > 9,675 χ σ Il sistema d ipotesi è: H : σ 500 H : σ 500. Dalla 4.4., essendo ( ) variabile). 0, pertanto si rifiuta l ipotesi nulla (il prezzo delle case è più 4.9 Dalla 4.5. si ha: t x x 7, 0 >, 68 t 0 (con 49 g.d.l.), pertanto si rifiuta l ipotesi Sp( / n / n ) nulla.

2 4.0 Il sistema d ipotesi è: H : π M π F H : π M π F 0. n n Dalla si ha: ( x x ) x p ( x p ), 97 >, 96 z, pertanto si rifiuta l ipotesi nulla. 4. Il sistema d ipotesi è: H μ 7, 5 H : μ < 7 5. Dalla 4.. si ha inferiore) 0 :, x 7, < 7,9 μ 0 z σ / n, pertanto si rifiuta l ipotesi nulla (il nuovo motore ha un consumo α 4. Il sistema d ipotesi è: H μ μ H : μ >. 0 : μ x x Dalla 4.5., si ha t 86 <, 6794 t (con 45 g.d.l.), pertanto si accetta l ipotesi S ( / n / n ) p nulla (il gradimento del nuovo shampoo non è significativamente diverso dal precedente). 4.3 Il sistema d ipotesi è: H 0 : π π H : π > π. x Dalla si ha x, 54 <, 65 z, pertanto si accetta l ipotesi nulla (la proporzione xp( xp ) n n delle ventenni favorevoli al contraccettivo non è significativamente diverso da quella delle quarantenni) 4.4 a. Dalla 4.. si ha t >,709 t (con 4 g.d.l.), pertanto si rifiuta l ipotesi nulla. b. Il p-value è approssimativamente (infatti dalle tavole della t-student con 4 g.d.l. si ha P (t >, 0639) ). c. Essendo il p-value maggiore di α 0, si accetta l ipotesi nulla. 4.5 Si ha s. Essendo n 400 si ricorre all approssimazione Normale. a. Essendo z 0 >,96 z, si rifiuta l ipotesi nulla. b. Possiamo rifiutare l ipotesi nulla solo per un livello minimo di significatività prossimo a 0. c. Dal punto precedente concludiamo che a maggior ragione possiamo rifiutare l ipotesi nulla. Infatti, in questo caso, si ha z 0 >,65 z e pertanto si deve rifiutare l ipotesi nulla. 4.6 a. Preferenza Aspetto esterno Prestazione Totale Maschio Femmina Totale 5 5 χ ,5 b. Essendo 0 χ, 5 > 3, 845 χ, (con g.d.l.), si rifiuta l ipotesi nulla di indipendenza. 4.7 a. Essendo t,46 <,699 t (con 9 g.d.l.), si rifiuta l ipotesi nulla che il punteggio medio sia lo stesso. b. Essendo t,46 >,460 t 0 (con 9 g.d.l.), si accetta l ipotesi nulla che il punteggio medio sia lo stesso.

3 c. Considerando l α 0del punto b. e essendo z 5, si ha che: (, 33 5) n 38, 3 ( 00 ) e quindi con n 39 si è sicuri di soddisfare la richiesta. Si noti che per α sarebbe stato necessario un numero inferiore di unità statistiche pari a n. β 4.8 a. Essendo s 88, 4 e s 655, 88 da cui s s Considerando una v.c. F-Fisher con 30 e 8 gradi, f 0, 975 ( 3 8) f (8, 30),65 di libertà, si ha: f,, 8) 3 89 e 38. Poiché 0, 975 s s f 0 (30, f < < si accetta l ipotesi nulla (le varianze sono uguali). b. Essendo x 66, 65, x 33, 50 e s p 576, 6 si ha: p x x t, >, 044 t (con 38 g.d.l.) e pertanto si rifiuta l ipotesi nulla che le due s ( / n / n ) medie sono uguali. c. Al rifiuto dell ipotesi nulla arriviamo anche con test unidirezionale t, >, 6860 t e pertanto possiamo concludere che la raffineria ha sovrastimato le misurazioni. 4.9 Grave Medio Leggero Assente Totale control bran combo gum Totale χ K ,59 Essendo 0 0 χ 5, 59 >, 666 χ, (con 9 g.d.l.), si rifiuta l ipotesi nulla di indipendenza. 4.0 Dai dati si ottiene che: x G 33, 98, x L 74, 58 e x P 38, 38, s G 7, s L 4, 76 e s P, 5. a. Essendo t, 54 >, 6706 t (approssimando a una t_student con 60 g.d.l.), si accetta l ipotesi nulla (la temperatura media di gennaio non è significativamente inferiore a quella dell anno precedente). b. Essendo t 7, 45 >, 6706 t (approssimando a una t_student con 60 g.d.l.), si rifiuta l ipotesi nulla (la temperatura media di luglio è significativamente superiore a quella dell anno precedente). c. Essendo t, 09 <, 0003 t (approssimando a una t_student con 60 g.d.l.), si accetta l ipotesi nulla (la caduta media di pioggia non è significativamente diversa da quella dell anno precedente). 4. a. Essendo s 737 e s 08 4 da cui s s e, approssimando a una v.c. F-fisher con, 0, 0, 0, gradi di libertà (0 00), si ha f, 0 76 e f, 3 e pertanto si accetta l ipotesi nulla (le varianze 0 975, sono uguali). b. Il sistema d ipotesi è il seguente: H 0 : μ 0 μ contro H : μ 0 < μ. Essendo x 637, 5 e x 0 566, 4, dalla (4.5.3) si ha z, 6 >, 645 z da cui si rifiuta l ipotesi nulla (la promozione ha avuto effetto).

4 4. Campione x s 3, , , , , , , , I valori critici sono Campione t Si rifiuta l ipotesi nulla se t, 35 t (con 5 g.d.l.). Dunque si rifiuta l ipotesi nulla per i campioni,4 e n ij a. Utilizzando la formula (6.6.) si ha χ n 5, 6. i j ni. n. j b. Poiché si ha che con 4 gradi di libertà χ 0, 9, 4877 possiamo rigettare l ipotesi nulla di indipendenza tra i due caratteri. c. Il test porta a rigettare l ipotesi nulla. Tuttavia, con una dimensione del campione così grande, anche una debole associazione potrebbe risultare statisticamente significativa. d. La frazione dei poco felici tra coloro che hanno un basso titolo di studio è 36/0377, mentre tra coloro che hanno un alto titolo di studio è 9/ La differenza è 09. Quindi passando da un basso ad un elevato titolo di istruzione il livello di felicità aumenta. e. Indichiamo con π la quota dei poco felici tra coloro che nella popolazione hanno un basso titolo di studio e con π la quota dei poco felici tra coloro che hanno un elevato grado di istruzione. Si vuole verificare l ipotesi nulla H 0 : π π, contro l ipotesi alternativa H : π π. La numerosità campionaria dei due gruppi, n 03 e n 34, è sufficientemente grande per poter applicare la 09 statistica test (4.5.5). Da cui risulta 3,. Pertanto, poiché 09, ( 09, ) z 0, 96, si rigetta l ipotesi nulla. 4.4 a. Utilizzando la formula (6.6.) si ha per la prima indagine χ 08 e per la seconda χ 4. b. Poiché si ha che con grado di libertà χ 0, 3, 845, l ipotesi nulla di indipendenza tra i due caratteri viene rigettata dai dati della prima indagine mentre non viene rifiutata dai dati della seconda indagine. c. In entrambe le tabelle, la quota di coloro che vedono il programma tra le femmine è pari a 5 mentre tra i maschi è 49. La differenza tra queste due quote, pari a è molto modesta rilevando una assai debole associazione tra i due caratteri in entrambe le indagini. Da notare che nel precedente punto, per la seconda indagine l associazione tra i due caratteri risulta significativa a causa

5 principalmente dell elevata numerosità campionaria. d. Indichiamo con π la quota di femmine che, nella popolazione, vede il programma e con π la corrispondente quota di maschi. Si vuole verificare l ipotesi nulla H 0 : π π, contro l ipotesi alternativa H : π π. La numerosità campionaria dei due gruppi nella prima indagine, n 00 e n 00, è sufficientemente grande per poter applicare la statistica test (4.5.5). Da cui risulta 0 8. Pertanto, poiché z 0,, 96 non si rigetta l ipotesi nulla. Al 5( 5) contrario, considerando i dati della seconda indagine, il valore della statistica test diventa 0 e quindi rigettiamo l ipotesi nulla di indipendenza. Come si può 5( 5) notare, anche in questo caso la differenza tra i due risultati è dovuta esclusivamente alla diversa dimensione campionaria, che nel secondo caso porta alla significatività anche in presenza di una debole associazione tra i due caratteri.