Corso Avanzato di Statistica

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1 Corso Avanzato di Statistica Test chi-quadrato per la verifica dell indipendenza Posa D, De Iaco S posa@economiaunileit sdeiaco@economiaunileit UNIVERSITÀ del SALENTO DIPTO DI SCIENZE ECONOMICHE E MATEMATICO-STATISTICHE FACOLTÀ DI ECONOMIA aa 2007/2008

2 Corso Avanzato di Statistica 2 Test chi-quadrato per la verifica dell indipendenza Assegnata la variabile aleatoria doppia (X, Y ), si consideri la seguente distribuzione di probabilità congiunta: dove: Y X y 1 y k y c x 1 π 11 π 1k π 1c π 10 x j π j1 π jk π jc π j0 x r π r1 π rk π rc π r0 π 01 π 0k π 0c 1 x 1,x 2,,x j,,x r ed y 1,y 2,,y k,,y c, sono le possibili realizzazioni di X ed Y, rispettivamente;

3 Corso Avanzato di Statistica 3 π jk è la probabilità congiunta che la va X assuma valore x j e la va Y assuma valore y k, ovvero π jk = P(X = x j,y = y k ), j = 1,,r, k = 1,,c; π j0 è la probabilità marginale che la va qualunque valore di Y ), ovvero c π j0 = P(X = x j ) = π jk, k=1 π 0k è la probabilità marginale che la va qualunque valore di X), ovvero r π 0k = P(Y = y k ) = π jk, j=1 X assuma valore x j (per j = 1,,r; Y assuma valore y k (per k = 1,,c

4 Corso Avanzato di Statistica 4 Si intende sottoporre a verifica l ipotesi che le va X ed Y siano indipendenti, ovvero che: P(X = x j,y = y k ) = P(X = x j ) P(Y = y k ), oppure, in maniera equivalente, che: π jk = π j0 π 0k con j = 1,,r e k = 1,,c Pertanto, il problema di verifica può essere formalizzato come segue: H 0 : j, k π jk = π j0 π 0k, H 1 : j, k tc π jk π j0 π 0k

5 Corso Avanzato di Statistica 5 Estratto un campione casuale dalla va doppia (X, Y ),si consideri la seguente tabella di contingenza (r c): dove: Y X y 1 y k y c x 1 n 11 n 1k n 1c n 10 x j n j1 n jk n jc n j0 x r n r1 n rk n rc n r0 n 01 n 0k n 0c n x 1,x 2,,x j,,x r ed y 1,y 2,,y k,,y c, sono le possibili realizzazioni di X ed Y, rispettivamente;

6 Corso Avanzato di Statistica 6 n jk è la frequenza con cui si è presentata nel campione la coppia (x j,y k ); n j0 è la frequenza marginale con cui si è presentata nel campione la realizzazione x j, per qualunque valore di Y, ovvero c n j0 = n jk, k=1 j = 1,,r; n 0k è la frequenza marginale con cui si è presentata nel campione la realizzazione y k, per qualunque valore di X, ovvero r n 0k = n jk, j=1 k = 1,,c

7 Corso Avanzato di Statistica 7 Sulla base delle osservazioni campionarie si intende stabilire se le due va X ed Y sono indipendenti Gli stimatori π jk, π j0, π 0k di massima verosimiglianza per le probabilità π jk, π j0 e π 0k, coincidono con le corrispondenti frequenze relative campionarie, come riportato di seguito: π jk = n jk n ; π j0 = n j0 n ; π 0k = n 0k n Inoltre, nel caso sia vera l ipotesi dell indipendenza tra X ed Y è intuitivo attendersi che valga, almeno in via approssimativa, la seguente relazione: π 0 jk = π j0 π 0k, oppure, moltiplicando ambo i membri per n, la seguente relazione: n 0 jk = n j0 n 0k, j = 1,,r; k = 1,,c n Il simbolo 0 posto ad apice vuol dire che si sta assumendo vera l ipotesi nulla

8 Corso Avanzato di Statistica 8 Per cui, il test dell indipendenza tra X ed Y può essere condotto sulle quantità: ( njk n 0 jk) 2, j = 1,,r, k = 1,,c cioè, sulle distanze al quadrato tra le frequenze assolute campionarie e le corrispondenti frequenze assolute attese nel caso di indipendenza Se gli scarti tra n jk ed n 0 jk non sono eccessivamente elevati, si concluderà accettando l ipotesi H 0 di indipendenza tra X ed Y ; mentre se sono molto elevati, si dovrà rigettare l ipotesi H 0

9 Corso Avanzato di Statistica 9 In particolare, la statistica-test risulta essere la seguente: con Y 0 = r c j=1 k=1 ( ) 2 n jk n 0 jk, n 0 jk n 0 jk = n j0 n 0k n Essa, se H 0 è vera, converge in distribuzione ad una va χ 2 con (r 1)(c 1) gradi di libertà Y 0 d H 0 χ 2 (r 1)(c 1)

10 Corso Avanzato di Statistica 10 Fissato α, livello di significatività del test, la regola di decisione risulta essere la seguente: A : Y 0 < y (g;α), R : Y 0 y (g;α), dove y (g;α) è il centile superiore della distribuzione χ 2 con g = (r 1)(c 1) gradi di libertà

11 Corso Avanzato di Statistica 11 Esempio: verifica dell esistenza di relazione fra zona di residenza e casa automobilistica Ad una società di ricerche di mercato è stato commissionato uno studio per verificare l esistenza di una relazione fra zona di residenza (X) e casa automobilistica preferita (Y ) In seguito ad un indagine campionaria eseguita su 500 unità, sono state rilevate per ciascuna di esse: le zone di residenza classificate in: centro urbano (x 1); periferia (x 2); area rurale (x 3); le case automobilistiche preferite distinte in: General Motors (y 1); Ford (y 2); Chrysler (y 3); marchio europeo (y 4); marchio asiatico (y 5)

12 Corso Avanzato di Statistica 12 Esempio: verifica dell esistenza di relazione fra zona di residenza e casa automobilistica I risultati di tale indagine sono rappresentati nella seguente tabella di contingenza: Y X y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x x x Si verifichi, ad un livello di significatività dell 1%, che esiste indipendenza fra la zona di residenza dei soggetti e le loro preferenze automobilistiche

13 Corso Avanzato di Statistica 13 Esempio: verifica dell esistenza di relazione fra zona di residenza e casa automobilistica SOLUZIONE Il problema di verifica può essere formalizzato come segue: H 0 : j, k π jk = π j0 π 0k, H 1 : j, k tc π jk π j0 π 0k Pertanto, la regola di decisione si basa sulla seguente statistica-test Y 0 : Y 0 = r c j=1 k=1 con n 0 jk = n j0 n 0k, r = 3 e c = 5 n ( ) 2 n jk n 0 jk, n 0 jk

14 Corso Avanzato di Statistica 14 Esempio: verifica dell esistenza di relazione fra zona di residenza e casa automobilistica SOLUZIONE Sulla base dei dati del problema, risulta: (64 68)2 y 0 = essendo: (16 33) ,780 n jk le frequenze assolute campionarie, riportate all interno della precedente tabella di contingenza; n 0 jk le frequenze assolute attese nel caso di indipendenza, riportate all interno della seguente tabella: Y X y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x x x

15 Corso Avanzato di Statistica 15 Esempio: verifica dell esistenza di relazione fra zona di residenza e casa automobilistica SOLUZIONE Inoltre, dal momento che: Y 0, se H 0 è vera, converge in distribuzione ad una va χ 2 con (3 1)(5 1) gradi di libertà, α = 0,01 è il livello di significatività del test, la regola di decisione si basa sul confronto tra: il valore y 0 = 22,78 della statistica-test, ed il centile superiore y (g;α) = y (8, 0,01) = 20, 09 della distribuzione χ 2 Pertanto, si rifiuta H 0, essendo 22,78 > 20,09