STATISTICA A K (60 ore)

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1 STATISTICA A K (60 ore) Marco Riani mriani@unipr.it Esercizio Il contenuto di nicotina di una certa marca di sigarette è 0,25 milligrammi con una deviazione standard di 0,015. Un associazione di consumatori sostiene che il contenuto di nicotina dichiarato è al di sotto di quello effettivo. Si effettui il test opportuno sapendo che in un campione casuale di 20 sigarette si è osservata una media campionaria pari a 0,264 milligrammi. Si ponga α=0,01 Si calcoli il relativo p-value Marco Riani, Univ. di Parma 1

2 Soluzione H 0 : μ = 0,25 milligrammi H 1 : μ > 0,25 contenuto superiore a quello dichiarato σ=0,015 noto a priori n=20 Ip. di distribuzione normale H 1 : μ > 0,25 α=0,01 F(2,33)=0,99 Densità della v.c. normale standardizzata 0,01 Zona di accettazione 2,33 Zona di rifiuto t obs = = 4,17 cade nella zona di rifiuto Marco Riani, Univ. di Parma 2

3 Calcolo del p-value P-value = P{ >4,17} = 1-F(4,17) = 0,00002 valore molto basso (molto minore dell 1%) P-value = P{ >4,17} Esercizio Da una sperimentazione geologica vengono estratte 10 piccole porzioni di roccia che vengono successivamente sottoposte ad analisi per verificare il contenuto percentuale di cadmio. Si osserva una percentuale media di 17,4 di cadmio con s cor =4,2. L estrazione del minerale è economicamente conveniente se il contenuto medio percentuale di cadmio è maggiore di 15. Marco Riani, Univ. di Parma 3

4 Esercizio (continua) Si definiscano l ipotesi nulla e l ipotesi alternativa Si stabilisca se le osservazioni campionarie supportano la convenienza economica dello sfruttamento del giacimento (si utilizzi α=0,01) Si calcoli e si commenti il p-value del test Soluzione H 0 : μ = 15 (percentuale di cadmio) H 1 : μ > 15 casi in cui è conveniente estrarre il minerale s cor =4,2 n=10 Ip. di distribuzione normale Marco Riani, Univ. di Parma 4

5 H 1 : μ > 15 α=0,01 F t(9) (2,821)=0,99 0,01 Densità della v.c. T di Student con 9 gradi di libertà Zona di accettazione 2,821 Zona di rifiuto t obs = = 1,807 cade nella zona di accettazione Approccio inverso: P-value P-value = P{ +1,807} Dalle tavole della t con 9 gradi di libertà: F t(9) (1,833)=0,95 P-value leggermente superiore a 0,05 Il valore esatto del p-value è 0,052 ottenuto tramite Excel e la funzione distrib.t =distrib.t(1,807;9;1) Marco Riani, Univ. di Parma 5

6 Esercizio Con riferimento all esercizio precedente si determini la probabilità dell errore di seconda specie assumendo α=0,01 e µ=16 Soluzione Con riferimento all esercizio precedente si determini la probabilità dell errore di seconda specie assumendo α=0,01 e µ=16 Errore di seconda specie = accettare un ipotesi nulla falsa Obiettivo: calcolare la probabilità di accettare l ipotesi nulla quando µ=16 Marco Riani, Univ. di Parma 6

7 Errore di prima specie (α) errore seconda specie (β) e potenza del test (1-β) x α = valore soglia che separa la zona di accettazione dalla zona di rifiuto Qual è il valore soglia che x α separa la zona di accettazione da quella di rifiuto in termini di valori originari? Accetto 2,821 0,01 Rifiuto Densità della v.c. T di Student con 9 gradi di libertà Il valore soglia x α è 18,7467 Prob. di accettare l ipotesi nulla quando µ=16 prob. di trovare un valore più piccolo di 18,7467 quando µ=16 Marco Riani, Univ. di Parma 7

8 Prob. di accettare l ipotesi nulla quando µ=16 = prob. di commettere un errore di seconda specie =prob (β) prob. di trovare un valore più piccolo di 18,7467 quando µ=16 Che probabilità è associata all area in verde? Devo calcolare F t(9) ((16-15)/1,3282) =F t(9) (0,7529)=0,7646 In Excel =1-DISTRIB.T(0,7529;9;1) Esercizio Un fornitore di pneumatici sostiene che la durata media di un certo tipo di pneumatici per camion è di Km. Un impresa sottopone a test l affermazione del produttore osservando un campione di 56 pneumatici utilizzati dai propri veicoli. Qual è la conclusione a cui giunge l impresa se trova una durata media di con un s cor =2749 km (si ponga α=0,01) Si calcoli il p-value Marco Riani, Univ. di Parma 8

9 Soluzione H 0 : μ = Km H 1 : μ < la durata effettiva dei pneumatici è inferiore a quella dichiarata s cor =2749 n=56 Teorema centrale del limite H 1 : μ < α=0,01 F(-2,33)=0,01 0,01-2,33 Rifiuto Accetto Il valore osservato del test (-3,43) cade nella zona di rifiuto p-value = F(-3,43) = 0,0003 Marco Riani, Univ. di Parma 9

10 Esercizio Per una generica voce di inventario di una determinata impresa, sia X la differenza tra il valore inventariato ed il valore certificato. Da un campione di 120 voci un certificatore contabile ha ottenuto x=25,3 s 2 cor=13240 Si sottoponga a test l ipotesi che l inventario non sia gonfiato specificando opportunamente l ipotesi alternativa (si ponga α=0,01) Si calcoli il p-value Si calcoli la prob. di rifiutare l ipotesi nulla nel caso in cui la vera media di X fosse pari a 30 Soluzione H 0 : μ = 0 H 1 : μ > 0 l inventario è gonfiato s cor =115,065 n=120 Teorema centrale del limite Marco Riani, Univ. di Parma 10

11 H 1 : μ > 0 α=0,01 F(2,33)=0,99 0,01 p-value = 1-F(2,41)=0,008 Zona di accettazione 2,33 Zona di rifiuto t obs = = 2,41 cade nella zona di rifiuto Soluzione (continua) Si calcoli la prob. di rifiutare l ipotesi nulla nel caso in cui la vera media di X fosse pari a 30 Pr che il valore del test cada nella zona di rifiuto quando µ=30 Qual è il valore soglia che x α separa la zona di accettazione da quella di rifiuto in termini di valori originari? Marco Riani, Univ. di Parma 11

12 Qual è il valore soglia che x α separa la zona di accettazione da quella di rifiuto in termini di valori originari? 0,01 Accetto 2,33 Rifiuto Il valore soglia x α è 24,474 Prob. di rifiutare l ipotesi nulla quando µ=30 prob. di trovare un valore più grande di 24,474 quando µ=30 Distribuzione media campionaria quando è vera µ=0 Distribuzione media campionaria quando è vera µ=30 0,01 24,474 24,474 Area rossa = prob. di rifiutare l ipotesi nulla quando µ=30 (potenza del test = 1-β)) Marco Riani, Univ. di Parma 12

13 TEST SULLA FREQUENZA RELATIVA (grandi campioni) H 0 : π = π 0 (π 0 = valore prefissato) Consideriamo come statistica-test la frequenza relativa campionaria P che, sotto H 0, gode delle seguenti proprietà: E(P) = π 0, VAR(P) = π 0 (1 - π 0 )/n, Teorema centrale del limite (n grande) Quindi la frequenza relativa campionaria standardizzata P secondo H 0 è distribuita secondo N(0,1). Rifiutiamo H 0 quando osserviamo frequenze relative campionarie lontane da π 0 frequenze relative campionarie standardizzate lontane da 0 sulle code della distribuzione legate a probabilità basse. Marco Riani, Univ. di Parma 13

14 I passi sono analoghi al test sulla media: scelta H 1 scelta α def. zone di rifiuto e accettazione calcolo z(p) e decisione in alternativa, calcolo P-value Esempio: ricordo della pubblicità H 0 : π = 0,3 H 1 : π < 0,3 (soglia di efficacia ) (pubblicità inefficace) Campione di 600 telespettatori: p = 0,25 Fisso α = 0,01 Marco Riani, Univ. di Parma 14

15 Approccio diretto H 1 : π < 0,3 si fissa α = 0,01 F(-2,33) = 0,01 0,01-2,67-2,33 0-2,67 è un valore estremo cade infatti nella zona di rifiuto rifiutiamo H 0 e concludiamo che la pubblicità è poco efficace Approccio inverso: p-value H 1 : π < 0,3-2,67-2,33 0 p-value = P(Z(X)<-2,67)=F [-2,67] = 0,00379 forte evidenza contro H 0 pubblicità poco efficace Marco Riani, Univ. di Parma 15

16 VERIFICA DI IPOTESI SU DUE UNIVERSI (GRANDI CAMPIONI) ESEMPIO 1 reddito procapite annuo delle famiglie in cui il capofamiglia è laureato e reddito procapite annuo delle famiglie in cui il capofamiglia è diplomato. n1=120 famiglie (capofamiglia laureato) n2=150 famiglie (capofamiglia diplomato). x 1 = x 2 = Esiste una differenza nel reddito procapite annuo a favore delle famiglie con capofamiglia laureato? ESEMPIO 2 Studio sull incidenza dell emicrania sulle persone dedite ad attività sportiva, n1=150 ragazzi n2= 200 ragazze. Si rileva che il 20% dei ragazzi e il 22,5% delle ragazze soffre di emicrania abituale. Esistono differenze nell incidenza dell emicrania nei maschi e nelle femmine? Marco Riani, Univ. di Parma 16

17 Ipotesi nulla: i due campioni provengono da universi aventi il medesimo valore del parametro di interesse : H 0 : θ 1 =θ 2 (θ 1 e θ 2 parametri nel primo e secondo universo. Es: reddito annuo medio o percentuale di soggetti con emicrania) N. B. Si chiede che campioni siano indipendenti cioè che provengono da universi che rappresentano gruppi distinti e ben separati di unità statistiche. Ipotesi sulle medie H 0 : μ 1 =μ 2 μ 1 e μ 2 valori prefissati Consideriamo come statistica test la Differenza tra due medie campionarie : Che, sotto H 0, gode delle proprietà: Marco Riani, Univ. di Parma 17

18 Se si ipotizza Si applica il Teorema centrale del limite: per n 1 en 2 entrambi grandi Se le varianze dei due universi sono ignote Marco Riani, Univ. di Parma 18

19 I passi sono analoghi al test sulla media: scelta H 1 scelta α def. zone di rifiuto e accettazione Calcolo, scor 1, scor 2, s(dm), quindi in alternativa, calcolo P-value Es 1: reddito procapite famiglie H 0 : μ 1 =μ 2 H 1 : μ 1 >μ 2 (esiste una differenza a favore delle famiglie con capofamiglia laureato) capofamiglia laureato capofamiglia diplomato n 1 = 120 n 2 = 150 s cor1 =5.500 s cor2 =5.100 Marco Riani, Univ. di Parma 19

20 Approccio diretto se α = 0,05 F(1,64) = 0,95 0,05 0 1, è un valore estremo cade infatti nella regione di rifiuto rifiuto H 0 e concludo che esiste una differenza nel reddito procapite annuo a favore delle famiglie con capofamiglia laureato Approccio inverso: P-value P-value = P{Z(DM) + 3,07} = [1 F(+3,07)] = 1 0,99893 = 0, ,07 forte evidenza contro H 0. La differenza tra μ 1 e μ 2 è significativa: il reddito procapite annuo delle famiglie con capofamiglia laureato è significativamente maggiore di quello delle famiglie con capofamiglia diplomato. Marco Riani, Univ. di Parma 20

21 IPOTESI SULLE FREQUENZE RELATIVE H 0 : π 1 =π 2, π 1 e π 2 valori prefissati (Es. frequenza di soggetti con emicrania). Consideriamo come statistica test la Differenza tra due frequenze relative campionarie (DP): DP = P 1 P 2 Che, sotto H 0, gode delle proprieta : 1) E(DP) = E(P 1 ) E(P 2 ) = π 1 π 2 =0 2 3) Si applica il Teorema centrale del limite per n 1 e n 2 entrambi grandi Poiché π è ignoto, viene stimato dai dati campionari: Marco Riani, Univ. di Parma 21

22 I passi sono analoghi agli altri test scelta H 1 scelta α def. zone di rifiuto e accettazione Calcolo dp = p 1 -p 2, s(dp), quindi In alternativa: calcolo P-value Es. incidenza dell emicrania H 0 : π 1 =π 2 H 1 : π 1 π 2 (esiste una differenza nell incidenza dell emicrania nei maschi e nelle femmine) maschi femmine n 1 = 150 n 2 = 200 p 1 = 0,20 p 2 = 0,225 Utilizzare α = 0,05 Calcolare il p-value del test Marco Riani, Univ. di Parma 22

23 Soluzione Marco Riani, Univ. di Parma 23