Carta di credito standard. Carta di credito business. Esercitazione 12 maggio 2016

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1 Esercitazione 12 maggio 2016 ESERCIZIO 1 Si supponga che in un sondaggio di opinione su un campione di clienti, che utilizzano una carta di credito di tipo standard (Std) o di tipo business (Bsn), si siano ottenuti i seguenti giudizi di soddisfazione (in scala 1-10): Tipo Cliente Std Std Std Std Std Std Std Std Std Std Bsn Bsn Bsn Bsn Bsn Bsn Bsn Bsn Bsn Bsn Soddisfazione Costruire i due diagrammi a scatola e baffi (box plot) per il confronto tra la soddisfazione delle due tipologie di clienti. Dati ordinati: Ordine Std BSn Min Q Med Q Max Carta di credito standard Carta di credito business Confronto fra le due carte di credito: - La distribuzione della soddisfazione per la carta di credito standard è meno dispersa (variabile) rispetto a quella business - La carta di credito standard è in generale più apprezzata rispetto a quella business - L ampiezza dell intervallo che copre la metà intermedia della soddisfazione (lunghezza della scatola) è approssimativamente la stessa - Distribuzioni asimmetriche a sinistra (il primo quartile è più distante dalla mediana del terzo)

2 ***Riferimento sul libro: cfr. cap. 2, Il sommario a cinque numeri e i grafici a scatola***

3 ESERCIZIO 2 Con riferimento ai dati del primo esercizio, sottoporre a verifica l ipotesi che le due tipologie di clienti abbiano o meno lo stesso livello medio di soddisfazione, supponendo che il livello di soddisfazione sia distribuito in maniera approssimativamente Normale con varianza identica fra le due tipologie di clienti (porre il livello di significatività al 10%). Test delle ipotesi sulla differenza tra valori medi di due popolazioni (caso omoschedastico, varianza non nota): (test a due code) H 0 : μ! = μ! vs H 1 : μ! μ! α = 0.1 Dati campionari: x! = 7 n! = 10 s!! = x! = 5.8 n! = 10 s!! = Scarto quadratico medio campionario combinato: (formula per campioni di uguale numerosità) s! =!!!!!!! = (formula generale) s! =!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! =!!.!!"!!!.!""!" = (Poiché la numerosità dei due campioni è la stessa, qualunque sia l espressione dell errore standard che utilizziamo otteniamo sempre lo stesso risultato) Statistica-test: t = x! x! s! 1 n! + 1 n! = = Metodo della regione di rifiuto: Valore critico: variabile t di Student con 18 gradi di libertà: t!!,!!!!!!! = Decisione statistica: poiché t<1.734, si accetta l ipotesi nulla che le due tipologie di clienti abbiano o meno lo stesso livello medio di soddisfazione. Metodo del p-value: Il p-value (o valore P) si trova confrontando il valore della statistica-test con i valori critici della distribuzione t di Student con 18 gradi di libertà. Guardando la tavola dei valori critici, troviamo che il valore critico più prossimo (per difetto) alla nostra statistica test è 1.330, con p-value pari a 0.2. Di conseguenza, non vi sono elementi sufficienti per rifiutare l ipotesi alternativa, e si accetta

4 l ipotesi nulla che le due tipologie di clienti abbiano o meno lo stesso livello medio di soddisfazione. ***Riferimento sul libro: cfr. cap. 17, Confronto delle medie di due popolazioni e par. seguenti**

5 ESERCIZIO 3 La distribuzione del reddito annuo in euro dei 1000 abitanti di un comune è la seguente: classi di reddito redditieri Si calcolino reddito medio e varianza del reddito degli abitanti del comune. Si suggerisce di trasformare i dati (per semplificare i calcoli) e utilizzare proprietà di media e varianza rispetto a trasformazioni per ottenere il risultato sui dati originari. Trasformiamo per prima cosa i dati in distribuzione del reddito annuo in migliaia di euro (dividiamo tutte le modalità di frequenza per 1000): se Y è la variabile che descrive la nostra distribuzione originaria, X =! è la variabile che descrive la distribuzione in migliaia di euro e su cui!""" lavoriamo. Classe di reddito Redditieri Ipotizziamo una distribuzione uniforme all interno di ciascuna classe e calcoliamo quindi i valori centrali della classe attraverso la seguente espressione: c!" = x! + x!!! 2 Otteniamo: Classe di reddito Valore centrale di classe Redditieri x = 1 n!!!! c!" n! = = 22.8 Per calcolare la varianza, il procedimento è analogo: usiamo anche in questo caso i valori centrali di classe al posto delle classi: s!! = 1 n 1!!!! c!" x! n! = ! ! ! ! 200 =

6 La relazione inversa che sfrutteremo per ricavare la media e la varianza della variabile originale è: Y = 1000X. La media rispetto ai dati originari è pari alla media in migliaia di euro moltiplicata per 1000 (la media è un operatore lineare): y = 1000x = La varianza rispetto ai dati originari è pari alla varianza in migliaia di euro moltiplicata per : s!! = 1000! s!! = ***Riferimento sul libro: per media per distribuzione in classi e proprietà di linearità della media si vedano pagg del testo. Corrispondentemente, per varianza e deviazione standard si vedano pagg **

7 ESERCIZIO 4 Si consideri la popolazione di 500 iscritti alla procedura di selezione per un master. Consideriamo la variabile X = (0: non ammesso; 1: ammesso). Viene estratto casualmente un campione di 20 persone: 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0 a) Si determini una stima per intervallo (al livello del 99%) della proporzione di ammessi al master. b) Senza rifare i calcoli, si dica come cambia l ampiezza dell intervallo al livello di confidenza del 95%. a) Dati del campione: Proporzione campionaria:p = 0.45 n = 20 α = 0.01 Valore critico di una variabile Normale standardizzata a 0.005: z = p ± z p(1 p) n = 0.45 ± = ± Limite inferiore: = Limite superiore: = L intervallo di confidenza al 99% per la proporzione di ammessi al master è compreso fra il limite inferiore di e il limite superiore di b) L ampiezza dell intervallo al livello di confidenza del 95% è più stretto rispetto a quello del 99%: siamo meno certi che l intervallo contenga il valore vero della proporzione di ammessi al master, ma abbiamo una informazione più puntuale. ***Riferimento sul libro: cfr. cap. 18, par. Intervalli di confidenza per una proporzione con grandi campioni ***

8 ESERCIZIO 5 Si indichi contrassegnando con una crocetta la risposta esatta a ciascun quesito: a) La media campionaria è uno stimatore corretto (non distorto) della media di popolazione: sempre X mai solo per campioni numerosi dipende dalla forma della distribuzione della variabile nella popolazione ***Riferimento sul libro: cfr. cap. 10, par. La distribuzione campionaria di x *** b) L errore di seconda specie corrisponde alla seguente quantità: probabilità di rifiutare l ipotesi nulla quando questa è vera probabilità di accettare l ipotesi nulla quando questa è vera probabilità di rifiutare l ipotesi nulla quando è vera l alternativa probabilità di accettare l ipotesi nulla quando è vera l alternativa X ***Riferimento sul libro: cfr. cap. 15, par. Errori di prima e seconda specie ***