Casa dello Studente. Casa dello Studente

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1 Esercitazione - 14 aprile 2016 ESERCIZIO 1 Di seguito si riporta il giudizio (punteggio da 0 a 5) espresso da un gruppo di studenti rispetto alle diverse residenze studentesche di un Ateneo: a) Si calcolino le frequenze relative congiunte. Giudizio Casa dello Studente espresso A B C D E Totale Totale b) Si costruisca la distribuzione di frequenze percentuali del Giudizio espresso condizionatamente alla Casa dello studente. Giudizio Casa dello Studente espresso A B C D E Totale c) Si dica se le due variabili sono statisticamente indipendenti. Motivare la risposta. Se le due variabili sono statisticamente indipendenti, ciascuna frequenza assoluta congiunta può essere ottenuta come prodotto delle corrispondenti frequenze marginali diviso per il totale generale: n "# = % &. %.( ) Valutiamo pertanto la frequenza assoluta teorica della prima cella: n ** = % +.%.+ = 2.0, come quella ) osservata. Perciò andiamo avanti nel calcolo delle frequenze assolute teoriche passando alla seconda cella: n.* = % /.%.+ = 4.9, perciò non c è indipendenza fra le due variabili. ) In alternativa si poteva guardare se sussiste uguaglianza tra le distribuzioni relative condizionate e la relativa marginale: guardando alla tavola costruita al punto b), vediamo che le due variabili non sono indipendenti. 1

2 d) Si fornisca una opportuna rappresentazione grafica per la distribuzione della variabile Casa dello studente. Diagramma a barre: 120 Casa dello Studente A B C D E Diagramma areale: Casa dello studente 31% 13% 19% 9% 28% A B C D E e) Si determini il grado di dipendenza in media mediante il calcolo di un indice opportuno. Nel nostro caso si può calcolare il grado di dipendenza in media della variabile giudizio rispetto alla classificazione per casa dello studente. Il contrario non si può fare, poiché la casa dello studente è una variabile qualitativa e non si può calcolare la media di un fenomeno qualitativo. Per determinare il grado di dipendenza in media si calcola l indice η. (eta-quadro). Abbiamo già verificato che le due variabili non sono indipendenti statisticamente; in tal caso, le due variabili sarebbero state anche indipendenti in media e l indice sarebbe stato pari (o molto prossimo) a 0. Otteniamo: Numero medio di Giudizio espresso per la Casa dello Studente A: μ 4 6* = * = 2.63 Numero medio di Giudizio espresso per la Casa dello Studente B: μ 4 6. = 3.09 Numero medio di Giudizio espresso per la Casa dello Studente C: μ 4 6D = 3.26 Numero medio di Giudizio espresso per la Casa dello Studente D: μ 4 6@ = 2.81 : ";* = %.+ x " f "* 2

3 Numero medio di Giudizio espresso per la Casa dello Studente E: μ 4 6? = 2.62 Media generale: μ 4 = * : x % ";* " f ". = < *?>* DG>..>?.H = 2.91 D@I Devianza tra gruppi (devianza spiegata): = K. #;* μ 4 6# μ 4 n.# = : Devianza totale: ";* x " μ. 4 n ". = = η. = Devianza spiegata Devianza totale = = La variabile Giudizio espresso è (quasi) indipendente in media dalla Casa dello Studente. 3

4 ESERCIZIO 2 In un punto preciso di una strada statale, in cui c'è il limite di 60km/h, si rileva la velocità di 90 autovetture, scelte in modo casuale, ottenendo una velocità media pari a 64.8 km/h e una deviazione standard di 23.2 km/h. a) Costruire un intervallo di confidenza per la media della popolazione (livello di confidenza pari al 95%). b) Se aumenta il numero di autovetture rilevate, l'ampiezza dell'intervallo di confidenza aumenta o diminuisce a parità di altre condizioni? a) Intervallo di confidenza per il valor medio µ: Usiamo per determinare il valore critico la tavola della t di Student con n-1 gradi di libertà, in questo caso 89, oppure direttamente la Normale (data la elevata numerosità campionaria i due valori sono moto simili): per t possiamo prendere il valore disponibile sulle tavole più vicino a 89 g.d.l. oppure usare Z α/2 =1.96. Limite inferiore: I = X 1,96 _.D.. = = % H< Limite superiore: S = X + 1,96 _.D.. = = % H< L intervallo di confidenza al 95% per la media della velocità delle auto in quel tratto di strada è compreso fra il limite inferiore di km/h e il limite superiore di km/h. b) Se aumenta il numero di autovetture rilevate, l ampiezza dell intervallo di confidenza diminuisce, a parità di condizioni, poiché la numerosità del campione interviene a denominatore nel determinare la semiampiezza dell intervallo. Facciamo una verifica: poniamo ad esempio n=100, otteniamo: Limite inferiore: I = X 1,96 a.d.. = = % *<< Limite superiore: S = X + 1,96 a.d.. = = % *<< L ampiezza dell intervallo di confidenza passa da: = 9.58 a =

5 ESERCIZIO 3 Siano A e B due eventi con probabilità pari rispettivamente a 1/2 e 1/3. Si calcoli la probabilità dell unione (somma logica) dei due eventi in ciascuno dei seguenti casi: a) A e B sono incompatibili; b) A e B sono indipendenti; c) P(A B) = 1/4. Si noti che il simbolo di unione U corrisponde alla somma logica tra due eventi (almeno uno dei due si verifica), indicata nel testo con la lettera o, mentre il simbolo di intersezione corrisponde al prodotto logico tra due eventi (entrambi gli eventi si verificano), indicato nel testo con la lettera e. a) I due eventi sono incompatibili: la probabilità dell intersezione è nulla, Pr A B = 0, poiché se si verifica A non si verifica B, e viceversa. Pr A B = Pr A + Pr B Pr A B = Pr A + Pr B = = 5 6 = b) I due eventi sono indipendenti: la probabilità dell intersezione è pari al prodotto delle singole probabilità, Pr A B = Pr A Pr B. Pr A B = Pr A + Pr B Pr A B = Pr A + Pr B Pr A Pr B = = 2 3 = c) I due eventi non sono indipendenti: si sfrutta la formula della probabilità condizionata, per cui Pr A B = hi j k hi k, da cui si ricava Pr A B = Pr A B Pr B. Pr A B = Pr A + Pr B Pr A B = Pr A + Pr B Pr A B Pr B = = 9 12 =

6 ESERCIZIO 4 In un campione di 1250 toscani, 589 dimostrano un atteggiamento positivo nei confronti dei venditori porta a porta; lo stesso sondaggio condotto su 1000 lombardi ha registrato 312 risposte positive. Verificare, ad un livello di significatività del 4% l ipotesi nulla che le proporzioni di coloro che mostrano un atteggiamento positivo nei confronti dei venditori porta a porta sono uguali tra toscani e lombardi. Test delle ipotesi sulla differenza tra proporzioni di due popolazioni: (test a due code) H 0 : p * = p. vs H 1 : p * p. α = 0.04 Proporzione campionaria di atteggiamento positivo nei confronti dei venditori porta a porta dei toscani (campione 1): p * =?IH = *.?< Proporzione campionaria di atteggiamento positivo nei confronti dei venditori porta a porta dei lombardi (campione 2): p. = D*. = *<<< Numerosità campione 1: n * = 1250 Numerosità campione 2: n. = 1000 Proporzione campionaria complessiva (combinata): p =?IH>D*. = H<* = 0.4 *.?<>*<<<..?< Valore critico della statistica test (Normale standard per α/2 = 0.02): z = 2.06 Statistica-test z = o + po / o *po + q+ > + q/ = <.@G*p<.D*. <.@ *p<.@ + +/rs > + +sss = > 2.06 Decisione statistica: Poiché z > 2.06, si rifiuta l ipotesi nulla che la proporzione di toscani che dimostrano un atteggiamento positivo nei confronti dei venditori porta a porta sia la medesima fra i lombardi. 6

7 ESERCIZIO 5 Si indichi contrassegnando con una crocetta la risposta esatta a ciascun quesito: a) La distribuzione normale standardizzata obbedisce alla seguente regola: il 68% delle osservazioni è compreso nell intervallo tra -1 e +1 X il 95% delle osservazioni è compreso nell intervallo tra -3 e +3 ha punti di flesso in corrispondenza di -2 e +2 assume solo valori tra -3 e +3 Regola empirica: per una distribuzione simmetrica a campana, circa il 68% delle osservazioni si trova entro +/-1 scarto quadratico medio dalla media; circa il 95% delle osservazioni si trova entro +/-2 scarti quadratici medi dalla media. I due punti di flesso sono situati a uno scarto quadratico medio dalla media. La variabile Normale è definita su tutto l asse X. b) La curva normale che descrive la distribuzione di un carattere X: si modifica solo se cambia la media del carattere si modifica solo se cambia la varianza del carattere non varia al variare di media e varianza si modifica sia al variare della media che al variare della varianza X Se cambia la media, la campana trasla lungo l asse delle ascisse; se cambia la varianza, cambia invece la forma della Normale, che si restringe se la varianza diminuisce o si allarga (si spancia) se la varianza aumenta. 7