Università del Piemonte Orientale Specializzazioni di area sanitaria Statistica Medica

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1 Università del Piemonte Orientale Specializzazioni di area sanitaria Statistica Medica Regressione Lineare e Correlazione

2 Argomenti della lezione Determinismo e variabilità Correlazione Regressione Lineare Requisiti e valutazione

3 Determinismo e Variabilità

4 Modelli Deterministici approccio scientifico alla medicina si basa sulla definizione di modelli che sono composti da relazioni e da quantità d esempio la Compliance Polmonare:C= V/ P Esiste tuttavia una variabilità in relazione alla legge generale

5 Variabilità 4, 4 Per studiare le relazioni esistenti tra variabili si deve considerare a) una compenente deterministica b) una compenete casuale della loro relazione Variabile Manuale dipendente 3, 3, Variabilità Casuale Legge (Modello) che mette in relazione la variabile indipendente e la variabile dipendente,,, 3 3, 4 Variabile Ultrasuoni indipendente

6 Le Variabili La statistica lavora su VARIABILI, ossia su dati che cambiano valore da un soggetto all altro Ad esempio: Pressione Arteriosa, Altezza, Peso Il valore delle variabili viene misurato a livello di ogni unità statistica (singolo soggetto o aggregato di soggetti) Le variabili statistiche sono dette Aleatorie o Casuali, infatti ad ogni possibile valore di una variabile è associata una specifica ed i valori osservati sono considerate come estratti casualmente da una distribuzione di probabilità

7 Modelli Probabilistici Lo scopo è quello di costruire una rappresentazione statistica (cioè che quantifichi la variabilità esistente tra le osservazioni) adeguata per descrive gli aspetti essenziali del fenomeno che vogliamo studiare Modello: descrizione o riproduzione selettiva, più o meno formalizzata, della realtà Nel nostro caso è un equazione matematica Ad esempio, peso osservato alla nascita e peso stimato prima della nascita con l ecografia

8 Esempio (Peso alla nascita) Soggetto No Peso alla nascita Peso stimato Ecografia,33,,9, 3,9,3 4,64,4 3,,9 6,9, 3,,84 8,48,34 44,,6 4,,3 46,9,6 Si possono studiare (A)la distribuzione del peso alla nascita di un neonato, (B) la distribuzione della stima del peso alla nascita di un neonato (ecografia) (C) la relazione che esiste tra A e B

9 Esempio (Peso alla nascita) 4, Diagramma di dispersione 4 3, 3, Peso (Kg) Nascita Peso (Kg) Ecografia,,, 3 3, 4

10 Esempio (Peso alla nascita) 4, Regressione (lineare) 4 3, 3, Peso (Kg) Nascita Retta che mette in relazione il peso stimato con l ecografia e quello osservato alla nascita Peso (Kg) Ecografia,,, 3 3, 4

11 Esempio (Peso alla nascita) 4, Variabilità 4 3, 3, Peso (Kg) Nascita Variabilità Casuale (non spiegata dal modello) Retta che mette in relazione il peso stimato con l ecografia e quello osservato alla nascita Peso (Kg) Ecografia,,, 3 3, 4

12 Campo di applicazione Analisi della relazione tra due variabili continue ) Correlazione Le variabili sono associate? ) Regressione Come varia il valore di una variabile in conseguenza del variare di un altra variabile? Spiegato dalla componente deterministica del modello ) Variabilità Qual è la variabilità residua non spiegata dall equazione lineare?

13 Correlazione

14 Correlazione Dato un insieme di osservazioni definite da due variabili continue, valutiamo la forza dell associazione tra le due variabili disegnando il diagramma di dispersione e calcolando il coefficiente di correlazione

15 Diagramma di dispersione Si disegna riportando i valori delle osservazioni su un sistema di assi cartesiani, in cui l asse x rappresenta una delle due variabili e l asse y l altra variabile Il diagramma consente di collocare ogni osservazione nello spazio definito dai valori possibili delle due variabili

16 Diagramma di dispersione 4, 4 La forma della nuvola di punti così ottenuta consente una valutazione visiva del grado di associazione tra le due variabili 3, 3, Peso (Kg) Nascita Peso (Kg) Ecografia,,, 3 3, 4

17 Coefficiente di Pearson (definizione( definizione) Il coefficiente di correlazione di Pearson (r) consente la valutazione formale del grado di associazione L intervallo dei valori possibili di r è: - <= r <= Se r = o r = - tutti i punti giacciono su una retta (assenza di variabilità) Se il valore è positivo l associazione è diretta se il valore è negativo l associazione è inversa

18 Coefficiente di Pearson (formula) r = n n i= ( )( ) x x y y i n ( ) ( ) x x y y i i= i= i i n:numero di osservazioni x i ; y i : valore della singola osservazione x ; y : valore medio della variabile indipendente e dipendente

19 Coefficiente di Pearson (esempio( esempio) 36, circonferenza cranica 34, 3, 3, 8, 6, r =, 4,,, età materna

20 Coefficiente di Pearson (esempio( esempio) 36, 34, r =, circonferenza cranica 3, 3, 8, 6, 4,,, lunghezza

21 Esempio (variabili e dati) Relazione tra concentrazione plasmatica di colesterolo e di trigliceridi Colesterolo (x) Trigliceridi (y) 3,4 6,4 3, 6,8 3,9, 4 3, 6, 3,6 6,36 6,3,6,,48 8,8,6 9 8,9 9,4,3 8,4 medie:,669 6,4

22 Esempio (scatterplot) trigliceridi colesterolo

23 Esempio (correlazione) Colesterolo (x) Trigliceri ( x) di (y) ( y) xi y i ( x) ( y y) x i * ( x ) i xi ( y y) i 3,4 6,4 -,49 -,493,8 6,4668,4349 3, 6,8 -,49 -,3,33,838,389,9, -,99 -,33 4,364 8,68,389 3, 6, -,39 -,63,339 4,3,3889 3,6 6,36 -,39 -,33,834,3,399,3,6 -,99 -,63,6363,388,9969,,48 -,89 -,3,36,6448,9,8,6,94 -,63 -,6383 3,648,9969 8,9 9,4,88,66,6836 8,36,889,3 8,4 6,39,66,639 4,84488,8889 Sommatorie: 6,44 83,4389 6,4649 Coeff Pearson r =,6

24 Regressione lineare

25 Regressione lineare Regressione: stima della variazione media di una variabile dipendente in funzione della variazione unitaria di una variabile indipendente Lineare: la funzione in questo caso è quella che definisce una retta

26 Perchè Regressione Lineare? La variazione lineare è spesso una spiegazione adeguata Variazioni non lineari diventano tali dopo una trasformazione matematica di una delle variabili La variazione lineare è un punto di partenza

27 Esempio (Peso alla nascita) 4, Regressione lineare 4 3, 3, Peso (Kg) Nascita Variabilità Casuale (non spiegata dal modello) Retta che mette in relazione il peso stimato con l ecografia e quello osservato alla nascita Peso (Kg) Ecografia,,, 3 3, 4

28 Regressione lineare (variabili) Possibile Effetto (var dipendente) y Variabile indipendente possibile causa sulle ascisse Possibile Causa (var dipendente) x Variabile dipendente possibile effetto sulle ordinate

29 Equazione della Retta Individuare la retta che meglio predice il valore di y (variabile dipendente), dato il valore di x (variabile indipendente) y = a + bx a: intercetta b: pendenza (coefficiente angolare) Come stimiamo i valori dei due coefficienti (a,b)?

30 Quale Retta? y La retta che meglio predice y x passa per la media di x e di y Media di y Per un punto passano infinite rette! Quale retta scegliamo? Con quale criterio? Media di x x

31 Metodo detto dei minimi quadrati y Residuo (o scarto) = valore y osservato valore y predetto valore y osservato Residuo o scarto valore y predetto La retta migliore minimizza la somma dei quadrati dei residui x

32 Equazione della Retta Individuare la retta che meglio predice il valore di y (variabile dipendente), dato il valore di x (variabile indipendente) ( )( ) x x y y ( ) x b = i a = y b x i x i y = a + bx a: intercetta b: pendenza (coefficiente angolare)

33 Esempio (colesterolo e trigliceridi) ( x) ( ) xi y i ( ) ( y ) Colester Triglice olo (x) ridi (y) y x y i i x i x 3,4 6,4 -,9 -,3,89 4,9396 x * ( ) 3, 6,8 -,69 -,9,639 4,46 3,9, -,9 -, 3,4849, , 6, -,899 -,36,6839 3,66 3,6 6,36 -,999 -,,889 3,996 6,3,6 -,39 -,8,89,888,,48 -,69 -,99,6389,336 8,8,6,8 -,8 -,4698 4,66 9 8,9 9,4 3,,99 9,449 9,464,3 8,4 6,63,99,999 43,96 medie:,669 6,4 6,44 83,4389 b=,38

34 Relazione tra Colesterolo e TG trigliceridi (y) a=4,6 b =, colesterolo (x) trigliceridi=4,6 +,3* colesterolo

35 IC del coefficiente di regressione Intervallo di confidenza coeff di regressione (b) CI = b ± t crit SE(b) t ha (n-) gradi di libertà ed il valore è scelto in modo corrispondente all errore di I tipo, con test a code ES( b) = s ( x x) i

36 Varianza intorno alla retta di regressione (stima campionaria) s ( ) y yˆ i i = n

37 Errore standard di b ES( b) = s ( x x) i L errore standard di b si riduce, a parità di s, quando la variabilità di x è maggiore!

38 Relazione tra Colesterolo e TG trigliceridi (y) a=4,6 b =,3 IC(9%) =,6 -, colesterolo (x) trigliceridi=4,6 +,3* colesterolo

39 Intervallo di confidenza dei valori predetti PI ( ) x x i ( ) x x = yˆ ± t s + + gl, α n i

40 Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza Es il valore di circonferenza cranica predetto per un bambino di lunghezza 4 cm è ŷ =9, ŷ IC( )=,4-3,63

41 Intervallo di confidenza dei valori predetti PI ( ) x x i ( ) x x = yˆ ± t s + + gl, α n i a predizione ha un rrore maggiore llontanandosi dalla edia di x La predizione ha un errore minore con un ampia variabilità di x

42

43 Requisiti ed valutazione

44 Requisiti dell analisi di regressione Il modello lineare è adeguato a rappresentare la relazione tra x ed y (come variabile casuale) se vengono rispettati i seguenti assunti Omogeneità della varianza di y x (Omoscedasticità) Distribuzione normale di y x Linearità della relazione tra x ed y

45 Verifica delle assunzioni del modello La verifica delle assunzioni del modello viene condotta esaminando la distribuzione dei residui Residuo (o scarto) = valore y osservato valore y predetto valore y osservato Residuo valore y predetto

46 Omoscedasticità (omogeneità della varianza) Se la varianza è costante per tutta la distribuzione della x, anche i residui saranno distribuiti in modo uniforme

47 Distribuzione uniforme dei residui

48 Distribuzione non uniforme dei residui

49 Distribuzione non normale dei residui

50 Non-linearit linearità

51 Trasformazioni normalizzanti e linearizzanti Radice quadrata Logaritmo Inversa (meglio se ulteriormente moltiplicata per -)

52 Trasformazioni normalizzanti e linearizzanti Dati trasformati Inversa negativa Log Radice Dati originali

53 FREQUENCY CORPUSCO MI DPOI NT FREQUENCY Trasformazioni Trasformazioni normalizzanti normalizzanti e linearizzanti linearizzanti

54 Valutazione del modello R : proporzione della varianza che è spiegata dal modello di regressione R = (coefficiente di correlazione) ^

55 Relazione tra Colesterolo e TG trigliceridi (y) a=4,6 r =,6 R =, b =,3 IC(9%) =,6 -, colesterolo (x) trigliceridi=4,6 +,3* colesterolo