Analisi descrittiva: calcolando medie campionarie, varianze campionarie e deviazioni standard campionarie otteniamo i dati:

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1 Obiettivi: Esplicitare la correlazione esistente tra l altezza di un individuo adulto e la lunghezza del suo piede e del suo avambraccio. Idea del progetto: Il progetto nasce dall idea di acquistare scarpe per una terza persona affidandosi alla sola conoscenza della sua altezza e predicendo con questa il giusto numero di scarpe che indossa; inoltre, per curiosità e sfida tra i membri del nostro gruppo, si vorrebbe capire se anche la lunghezza degli avambracci sia correlata all altezza dell individuo. Presentazione dei dati: Indagine su un campione di 140 soggetti casuali composti da maschi e femmine adulti. Ognuno i essi ha fornito la sua altezza espressa in centimetri e la misura delle scarpe che indossa espressa in misura europea; solo 60 soggetti hanno fornito la lunghezza del loro avambraccio. n=140 osservazioni casuali indipendenti xi,..., x140 = altezza [cm] yi,..., y140 = n misura di scarpe (eu) zi,..., z60 = lunghezza avambraccio [cm] Analisi descrittiva: calcolando medie campionarie, varianze campionarie e deviazioni standard campionarie otteniamo i dati: x _ =172,53 sx 2 =76,35 sx=8,74 y _ =40,78 sy 2 =8,22 sy=2,87 z =26,46 sz 2 =14,5 sz=3,81 Il boxplot sulle altezze evidenzia che nei dati raccolti sono presenti due outliers che individuano rispettivamente un soggetto molto alto e uno molto basso. 1

2 Regressione lineare, modello 1: y=risposta (n scarpe) x=regressore (altezza) y = B 0 + B 1 x + ε ŷ = ˆB0+ ˆB 1 x L equazione della retta di regressione lineare è: ŷ = 7, ,279x con: coefficiente di determinazione R 2 = 72,6% coefficiente di correlazione r = +0,852 I coefficienti indicano una correlazione tra altezza e misura delle scarpe moderata-forte. Dall analisi dei residui standard vengono evidenziati quattro osservazioni producono un residuo il cui valore standard è in modulo maggiore di 2, due dei quali (rappresentati con i quadrati nello scatterplot) in particolare esercitano una leva piuttosto influente nel calcolo della retta di regressione: Eliminando tale osservazione la retta di regressione diventa: con: coefficiente di determinazione R 2 = 74,4% coefficiente di correlazione r = +0, ŷ = 9, ,29331x Si ottiene quindi un piccolo miglioramento della correlazione con la retta che mantiene il coefficiente angolare pressoché invariato e vede una piccola diminuzione dell intercetta abbassando quindi l altezza media della retta stimata. Concludiamo dunque che non sarebbe strettamente necessario lo scarto delle suddette osservazioni. 2

3 Controllo adeguatezza del modello: Come si può vedere dai grafici, i residui hanno media pressoché nulla; utilizzando il test della normalità di Ryan Joiner (simile a quello di Shapiro-Wilk) sugli errori residui, possiamo confermare che questi seguano una legge normale con media e deviazione standard indicati nel grafico stesso: il p-value risultante dal test è 0,073>0,05; l ipotesi nulla (di normalità) non è rifiutata dal test. output modello 1: 3

4 Regressione lineare, modello 2: Prendiamo in considerazione ora solo i soggetti che hanno dichiarato anche la misura del loro avambraccio: y=risposta (n scarpe) x=regressore (altezza) z= regressore (avambraccio) ŷ = ˆB 0 + ˆB 1 x + ˆB 2 z L equazione della retta di regressione lineare è: ŷ = -18,693+ 0,340x + 0,0371z Entrambi i modelli sembrano buoni in quanto i rispettivi test F sono molto significativi con un p- value <0.001; il coefficiente R 2 -adjusted passa dal 74,2% del primo modello al 74,6% subendo quindi un piccolo incremento. Anche nel modello 2 i residui non sembrano avere andamenti anomali. Si può subito notare però come in questo modello il p-value del coefficiente sia piuttosto elevato e perciò la lunghezza dell avambraccio non sembra molto significativa; tuttavia la nostra conclusione è che il fatto sia dovuto ad una non corretta misurazione da parte del soggetto sottoposto al sondaggio facilmente visibile dai dati reperiti. β 2 Di fronte a queste evidenze non possiamo che abbandonare il secondo modello in favore del primo. output modello 2: 4

5 Continuiamo ora le nostre considerazioni usando il modello 1. Stimiamo un intervallo di confidenza per la risposta a livello 95%: ˆµ y x0 t α /2,n 2 se( ˆµ y x0 ) µ y x0 ˆµ y x0 + t α /2,n 2 se( ˆµ y x0 ) calcolando µ y x0 = ˆµ y x0 ± t α /2,n 2 se( ˆµ y x0 ) per ogni x0 otteniamo le curve tratteggiate in rosso: L intervallo di confidenza è minimo per x = 172,34 con ŷ = 40,749 ± 0,245 La curva diverge allontanandosi dall altezza media, ma non di molto, e per x = 190 si ha una risposta ŷ = 40,749 ± 0,574. Stimiamo ora un intervallo di predizione al 95% : ŷ 0 t α /2,n 2 2 (1+ 1 n + (x 0 x)2 ) Y 0 ŷ 0 + t α /2,n 2 2 (1+ 1 S xx n + (x 0 x)2 ) S xx 5

6 Verifichiamo che il modello sia adatto ai nostri scopi: -Volendo ottenere una stima intervallare del numero di scarpe di un soggetto alto 174 cm al 90% si ottiene che Y x=174 = ŷ x=174 + t α /2,n 2 2 (1+ 1 (174 x)2 + ) = 41,2665 ± 2,42 n S xx (con t 0.05,138 =1,656) Concludendo quindi, al 90% delle ipotesi il numero di scarpe è contenuto all interno di questo intervallo ma bisognerebbe comprare tutte le scarpe il cui numero va dal 39 circa (38,85) al 43,5 circa (43,68) per avere il 90% delle probabilità di aver fatto la scelta giusta. -Supponendo invece che il soggetto trovi di suo gradimento scarpe la cui taglia si discosti al massimo di 1/3 di unità dalla sua misura, accettando quindi un errore massimo di +/- 1/3 di numero, si ottiene: t α /2,n 2 2 (1+ 1 (174 x)2 + ) = 1 n S xx 3 da cui, essendo t incognita, ricaviamo t α/2,138 =0,2278 cioè α/2=0.41. Quindi la probabilità che ciò avvenga è del 1 - α = 0.18 (18%) ed è molto inferiore alle nostre aspettative. Giungiamo quindi alla conclusione che, sebbene l altezza e la grandezza del piede di una persona siano fortemente correlate e sebbene questa correlazione sia ben descritta dalla retta di regressione lineare, ciò non è sufficiente per fare una predizione esatta in un intervallo stretto e quindi definire per tale soggetto un numero di scarpe con una buona accuratezza. Giuseppina De Bona Claudio De Luccia Andrea De Donatis 6