Analisi bivariata. Il caso di caratteri quantitativi

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1 Analisi bivariata Il caso di caratteri quantitativi Pagina 382 Rappresentazioni grafiche di distribuzioni doppie Distribuzione doppia di frequenze Tabella di contingenza Tabella di correlazione Stereogramma Distribuzione unitaria doppia di 2 caratteri quantitativi Scatter Plot Pagina 383

2 Scatter Plot o Grafico di Dispersione Distribuzione unitaria doppia di 2 caratteri quantitativi Sull asse delle ascisse (X) e su quello delle ordinate (Y) sono riportati rispettivamente i valori numerici delle modalità assunti dalle due variabili rilevate su ogni u.s. L insieme di punti così ottenuto si chiama nuvola di punti e consente di studiare la dispersione delle u.s. e la loro somiglianza La forma della nuvola può suggerire una relazione funzionale tra i due caratteri Pagina 384 Esempio Distribuzione Unitaria Doppia Unità Vendite Statistica Spesa per pubblicità su radio e TV Vendite Scatter Plot Spesa per pubblicità radio e TV U.S Pagina 385

3 Esempio 45 Scatter Plot 4 35 Peso Capacità bagagliaio U.S. Pagina 38 Interdipendenza tra due caratteri quantitativi Distribuzione unitaria di 2 caratteri quantitativi X e Y Analisi dell associazione attraverso indici simmetrici che valutano la presenza di Concordanza: u.s. con valori piccoli (grandi) di un carattere presentano più frequentemente valori piccoli (grandi) dell altro carattere Discordanza: u.s. con valori piccoli (grandi) di un carattere possiedono più frequentemente valori grandi (piccoli) dell altro carattere Pagina 387

4 continua Per rilevare interdipendenza tra X e Y si può usare lo scatter-plot Secondo la forma della nuvola dei punti si ha Concordanza: nuvola allungata verso alto a destra Discordanza: nuvola allungata verso alto a sinistra Assenza di interdipendenza lineare: nuvola pressoché circolare Variabile Y Variabile Y Relazione diretta (concordanza) Variabile X Relazione inversa (discordanza) Variabile X Pagina 388 continua Assenza di interdipendenza lineare: nuvola pressoché circolare Pagina 389

5 continua Assenza di interdipendenza lineare: relazioni quadratiche Pagina 39 Scatter plot: esempio M(X) = 43,18 M(Y)= 1225,14 2 Scatter Plot Unità (yi-my) (xi-mx) Statistica Vendite Vendite Spesa per pubblicità radio e TV U.S Scatter Plot con scarti Spesa per pubblicità radio e TV U.S Pagina 391

6 Una misura di interdipendenza: la covarianza Media del prodotto degli scarti delle due variabili dalle rispettive medie, = = =1 Proprietà Può assumere sia valori positivi che negativi Positiva in media gli scarti delle due variabili dalle rispettive medie sono concordi X e Y sono concordi (relazione diretta) Negativa in media gli scarti delle due variabili dalle rispettive medie sono discordi i caratteri X e Y sono discordi (relazione inversa) Se X e Y sono statisticamente indipendenti s XY = Se s XY = X e Y sono incorrelati ma non si può affermare che sono statisticamente indipendenti Pagina 392 Esempio: calcolo della covarianza Regione PIL X TD Y PIE LOM EMR LAZ CAM PUG (x j -M X ) (y j -M Y ) (x j -M X ) 2 (y j -M Y ) 2 (x j -M X )(y j -M Y ) Media X MediaY ( X ) 25.5 N VAR x M y M sqm( X ) VAR( Y ) sqm( Y ) j x j y j1 Cov( X, Y ) N Cov( X, Y ) Pagina 393

7 Coefficiente di correlazione lineare di Bravais-Pearson r 1 r 1 r s Cov( X, Y) s XY Var ( X ) Var ( Y) s s È un numero puro(non ha unità di misura) XY (covarianza nulla) X Y Assume valori tra 1 e +1 Se i due caratteri sono statisticamente indipendenti allora s XY = e r= Se r= non è detto che X e Y siano statisticamente indipendenti r> s XY > X e Y sono correlati positivamente (concordi) r< s XY < X e Y sono correlati negativamente (discordi) Pagina 394 Regressione lineare Su ogni u.s. vengono rilevati due caratteri quantitativi X e Y Si vuole determinare una funzione matematica il cui grafico rappresenti bene di come varia in media uno dei due caratteri al variare dell altro Solitamente si usa una funzione lineare (retta) ( x, y) scatter plot funzione matematica y* a bx y* f(x) Pagina 395

8 Esempio: quale retta scegliere? x y Pagina 39 Problema Situazione osservata X Y u 1 x 1 y 1 Situazione teorica X Y * u 1 x 1 y* 1 y * i n * 2 yi yi Minimizzar e i1 a bx i u 2 x 2 y 2 u 3 x 3 y 3 u 4 x 4 y 4 u 5 x 5 y 5 u x y u 7 x 7 y 7 u 8 x 8 y 8 u 9 x 9 y 9 u 2 x 2 y* 2 u 3 x 3 y* 3 u 4 x 4 y* 4 u 5 x 5 y* 5 u x y* u 7 x 7 y* 7 u 8 x 8 y* 8 u 9 x 9 y* 9 n i1 2 y a Minimizzar e i bx i PROBLEMA Determinare i valori di a e b Pagina 397

9 Soluzione s b s xy 2 x a M ( Y ) bm ( X ) y bx Coefficientedi Regressione Intercetta Intercetta a : punto in cui la retta di regressione interseca l asse delle ordinate Coefficiente di regressione b (coefficiente angolare della retta di regressione) è una misura di dipendenza di Y da X, ma non è una misura simmetrica Indica di quanto varia in media il carattere Y al variare di un unità del carattere X b> esiste una relazione diretta tra le due variabili b< esiste una relazione inversa tra le due variabili b= le due variabili sono indipendenti in media Pagina 398 Esempio Regione PIL X TD Y PIE LOM EMR LAZ CAM PUG TD Y* s xy b s 25.5 x a y bx 1.85 ( ) 3.73 Y*= X TASSO DISOCCUPAZIONE 25, 2, 15, 1, 5,, Scatter Plot PIL in migliaia Euro Regioni Retta Reg Pagina 399