Insegnamento di Statistica Parte 2: Distribuzioni Bivariate Prof. P.F. Perri. Raccolta dei temi d esame assegnati nell anno accademico 2005/2006

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1 Corso di Laurea in MQEGA Insegnamento di Statistica Parte 2: Distribuzioni Bivariate Prof. P.F. Perri Raccolta dei temi d esame assegnati nell anno accademico 2005/2006

2 Appello del 23//2005 Esercizio. Dimostrare che la somma delle contingenze è nulla; 2. Dimostrare che se due caratteri sono indipendenti allora sono anche in correlati; 3. Se il coefficiente di correlazione è pari a 0.8 è corretto affermare che: (i) la covarianza è negativa? (ii) l indice Chi-quadro ( 2 ) è nullo? Giustificare in maniera rigorosa le risposta fornite; 4. In una tabella formata da 3 righe e 4 colonne, che valore assume l indice Chi-quadro ( 2 ) nel caso in cui il coefficiente di correlazione, calcolato su un collettivo di 200 individui, è pari a -? Giustificare in maniera rigorosa la risposta fornita. L influenza di questi giorni sta colpendo indistintamente bambini e adulti. Su un gruppo di soggetti influenzati sono state rilevate le variabili Età (X) e Numero di giorni con febbre (Y). Il risultato della rilevazione è sintetizzato nella seguente tabella bivariata: Numero di giorni con febbre Età Esprimere il significato della frequenza congiunta n 32 ; 2. Determinare il numero di soggetti influenzati che hanno avuto al massimo 4 giorni di febbre; 3. Tra i soggetti influenzati con un età superiore ai 30 anni, determinare la percentuale di quelli che hanno avuto per più di 4 giorni la febbre; 4. Determinare il numero medio di giorni con la febbre passati da coloro che hanno al più 0 anni; 5. Stabilire se esiste dipendenza statistica tra i due caratteri e, in caso positivo, valutarne l intensità tramite un opportuno indice; 6. Stabilire se tra i due caratteri esiste dipendenza lineare e, in caso positivo, dire se i caratteri sono concordanti o discordanti; 7. Assumendo come variabile dipendente il numero di giorni con febbre, determinare i parametri della retta di regressione; 8. Scrivere l equazione della retta stimata; 9. Fornire una spiegazione del valore numerico dei parametri ottenuti al punto precedente; 0. Valutare la bontà di accostamento del retta stimata ai dati. 2

3 Appello del 06/02/2006 Esercizio 5. Dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per la covarianza; 6. Discutere dell importanza dell analisi dei residui nel modello di regressione lineare; 7. In una tabella bivariata formata da 5 righe e 2 colonne, si sa che n=00 e Var (X)=Var(Y)=25. Che valore assume il Chi-quadro ( 2 ) nel caso in cui: (i) Cov(X,Y)=-5; (ii) Cov(X,Y)=0; (iii) Cov(X,Y)=4. Giustificare in maniera rigorosa le risposte fornite. In uno studio sulle condizioni economiche delle famiglie di un piccolo centro dell altopiano Silano, l attenzione è stata focalizzata principalmente su due variabili: Reddito Familiare (X) e Numero di Percettori di Reddito (Y). Relativamente alle due variabili di studio, i risultati della rilevazione sono riassunti nella tabella di fianco riportata. Numero percettori di reddito Reddito 2 3 (in migliaia di euro) Esprimere il significato della frequenza congiunta n 22 ; 2. Determinare la percentuale di famiglie che hanno un reddito superiore a 0 mila euro; 3. Tra le famiglie che hanno un reddito superiore a 0 mila di euro, determinare la percentuale di quelle caratterizzate da 2 percettori di reddito; 4. Determinare il numero medio di percettori di reddito tra le famiglie con un reddito che ricade nella classe mediana; 5. Stabilire se esiste dipendenza statistica tra i due caratteri e, in caso positivo, valutarne l intensità tramite un opportuno indice; 6. Stabilire se tra i due caratteri esiste dipendenza lineare e, in caso positivo, stabilirne il verso e valutarne l intensità; 7. Assumendo che il reddito familiare dipenda linearmente dal numero di percettori, determinare i parametri della retta di regressione; 8. Fornire una spiegazione del valore numerico dei parametri ottenuti al punto precedente; 9. Valutare la bontà di accostamento del retta stimata ai dati; 20. Determinare quale dovrebbe essere il reddito familiare per una famiglia in cui sono presenti 4 percettori di reddito. 3

4 Appello del 5/02/2006 Esercizio 8. Si illustri, integrando con opportuni esempi, il concetto di massima dipendenza statistica; 9. A partire dalla formula del Chi-quadro ( 2 ) basata sulle contingenze, ricavare la formula alternativa basata solo sulle frequenze osservate; 0. Quante distribuzioni univariate è possibile ricavare da una tabella bivariata formata da 4 righe e 4 colonne? Giustificare in maniera rigorosa la risposta data. In prossimità della conclusione della Campagna Regali 2005, il direttore di un market ha necessità di programmare l acquisto di un adeguato quantitativo di regali. Viene pertanto realizzato un piccolo studio su un gruppo di clienti che hanno appena fatto la spesa. Per ogni cliente vengono rilevati congiuntamente due caratteri: Importo della Spesa (in euro) e Punti Regali totalizzati con la spesa. Relativamente alle due variabili di studio, i risultati della rilevazione sono riassunti nella tabella di fianco riportata. Importo della Spesa Punti Totalizzati Esprimere il significato delle frequenze n 2 e n 2. ; 22. Determinare la percentuale di clienti che hanno speso non più di 50 euro e totalizzato al massimo 5 punti; 23. Tra i clienti che hanno speso più di 20 euro determinare la percentuale di quelli che hanno totalizzato al più 5 punti; 24. Determinare il numero medio di punti totalizzati dai clienti che hanno speso più di 20 euro; 25. Stabilire se esiste dipendenza statistica tra i due caratteri e, in caso positivo, valutarne l intensità tramite un opportuno indice. I dati che seguono si riferiscono alle Navi Arrivate (W) ed ai Passeggeri Imbarcati (Z) (in migliaia) in 0 porti italiani: zi = 559; wi = 36997; zi wi = ; SQM( Z ) = 63 e SQM (W ) = Stabilire se tra i due caratteri esiste correlazione e, in caso positivo, stabilirne verso e intensità; 2. Supponendo che il numero dei passeggeri imbarcati dipenda dal numero di navi arrivate, determinare i parametri della retta di regressione; 3. Fornire una spiegazione dei parametri stimati; 4. Valutare la bontà di adattamento della retta stimata ai dati. 4

5 Appello del 2/04/2006 Esercizio Al fine di ridurre i tempi di attesa per l erogazione al pubblico di alcuni servizi sanitari, ad un gruppo di pazienti di una struttura ospedaliera è stato chiesto il numero di prestazione richieste e il tempo (in giorni) che hanno dovuto attendere prima che venisse loro erogata la prestazione richiesta. I dati sono riassunti nella seguente tabella: Prestazioni Richieste Tempo di Attesa Esprimere il significato della frequenza n 32 ; 27. Tra i pazienti che hanno richiesto al massimo due prestazioni, determinare la percentuale di quelli che hanno atteso al massimo 5 giorni; 28. Quante prestazioni hanno mediamente richiesto coloro che hanno atteso più di 5 giorni? 29. Stabilire se esiste correlazione tra i due caratteri e in caso positivo stabilirne verso e l intensità; 30. Determinare i parametri della retta di regressione assumendo come variabile dipendente il tempo di attesa; 3. Fornire una spiegazione dei parametri attenuti al punto precedente; 32. Stabilire quanti giorni dovrebbe attendere un paziente che richiede 5 prestazioni; 33. Valutare la bontà di adattamento della retta ai dati. Si illustrino i principi generali del metodo dei minimi quadrati. Nella tabella che segue è riportato l andamento della produzione (in migliaia di quintali) di agrumi registrata in Italia dal 996 al Anni Produzione Determinare la serie dei numeri indici a base fissa assumendo come anno base il 997; 2. Commentare i numeri indici ottenuti al punto precedente e riferiti agli anni 990 e 2000; 3. Utilizzando le serie ottenuta al punto, e illustrando il procedimento seguito, determinare 2000I 997 e 2000 I 998 ; 4. Determinare il tasso medio di variazione annuo e commentare il valore ottenuto. 5

6 Appello del 23/06/2006 Esercizio L'avventura dei Mondiali di calcio è iniziata. Il nostro peso, soprattutto quello dei più incalliti frequentatori delle dirette televisive sul divano di casa, può subire una vigorosa spinta in avanti, e la bilancia raccontarci a fine Mondiali che siamo cinque chili di troppo. Su un gruppo di incalliti tifosi sono state rilevate due variabili: l aumento del proprio peso dall inizio della manifestazione (in kg) e il tempo trascorso davanti al televisore (in ore). I dati sono riassunti nella seguente tabella. Tempo Aumento del peso Esprimere il significato della frequenza n ; 35. Qual è la percentuale di tifosi che hanno trascorso al massimo 0 ore davanti al televisore? 36. Tra i tifosi il cui peso è aumentato al massimo di kg, determinare la percentuale di quelli che hanno assistito a trasmissioni televisive per più di 4 ore; 37. Di quanto è mediamente aumentato il peso dei tifosi che hanno trascorso tra 4 e 0 ore davanti al televisore? 38. Stabilire se tra i due caratteri in esame esiste dipendenza statistica e in caso positivo valutarne l intensità; 39. Determinare i parametri della retta di regressione assumendo come variabile indipendente il tempo trascorso davanti al televisore; 40. Fornire una spiegazione dei parametri attenuti al punto precedente; 4. Valutare la bontà di adattamento della retta ai dati; 42. Stabilire il tempo massimo che un tifoso può rimanere davanti al televisore senza subire un aumento di peso superiore a.2 kg; Dimostrare che la retta dei minimi quadrati passa per il baricentro dei dati. Si risponda con Vero o Falso alle seguenti affermazioni, giustificando in maniera rigorosa la risposta:. In una tabella bivariata formata da 3 righe e 4 colonne è possibile ottenere 2 distribuzioni univariate; 2. Se due caratteri qualitativi sono statisticamente dipendenti allora saranno anche correlati; 3. Se in una tabella bivariata esiste un frequenza (assoluta) teorica di indipendenza espressa da un numero non intero, allora i due caratteri in esame sono dipendenti. 6

7 Appello del 3/07/2006 Esercizio In occasione della finale dei Mondiali di calcio Italia Francia, i bagarini hanno realizzato affari d oro vendendo gli ultimi biglietti a disposizione. Ad un gruppo di sfegatati tifosi italiani è stato chiesto il prezzo (W) dei biglietti che sono riusciti ad acquistare. I dati, raggruppati per fasce di età (Z), sono riportati nella seguente tabella. Eta (Z) (in anni) Prezzo (W) (in euro) Esprimere il significato della frequenza n 33 ; 44. Qual è la percentuale dei tifosi che hanno pagato più di 700 euro per assistere alla finale? 45. Tra i tifosi che hanno speso al massimo 000 euro per l acquisto di un biglietto determinare la percentuale dei tifosi più giovani? 46. Stabilire il prezzo medio che hanno dovuto pagare i tifosi più vecchi per assistere alla finale. 47. Stabilire se tra il prezzo e l età esiste dipendenza statistica e, in caso positivo, valutarne l intensità tramite un indice opportuno. Relativamente ai tifosi più giovani vengono fornite le seguenti informazioni aggiuntive: z = 26; wi = 5630; ziwi = 2060; z = 4742; i 2 i wi = Determinare i parametri della retta di regressione assumendo come variabile dipendente il prezzo dei biglietti; 49. Fornire una spiegazione del coefficiente angolare della retta stimata; 50. Valutare la bontà di adattamento della retta ai dati; 5. Che età avrà un tifoso che ha pagato 550 euro per assistere alla finale? Si dimostri, commentando opportunamente i passaggi, la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Si risponda con Vero o Falso alle seguenti affermazioni, giustificando in maniera rigorosa la risposta: 4. In una tabella bivariata formata da 3 righe e 4 colonne è possibile ottenere 2 frequenze marginali; 5. Il coefficiente di correlazione serve per valutare l intensità della dipendenza lineare tra due caratteri, qualunque sia la loro natura; 6. Se in una tabella bivariata esiste un frequenza (assoluta) teorica di indipendenza espressa da un numero non intero, allora i due caratteri in esame sono dipendenti. 7

8 Appello del 9/09/2006 Esercizio I volontari che prestano servizio per un associazione di assistenza alle persone bisognose sono classificate in base a due caratteri d interesse: l età e il tipo di assistenza prestata. I dati sono sintetizzati nella tabella di fianco riportata. Eta (in anni) Tipo di assistenza ciechi disabili anziani Esprimere il significato delle frequenze n 22 e n.3 ; 53. Qual è la percentuale dei volontari che prestano assistenza ai disabili e hanno al massimo 35 anni? 54. Tra i volontari che hanno più di 25 anni, qual è la percentuale di quelli che prestano assistenza ai ciechi? 55. Stabilire se tra i due caratteri esiste dipendenza statistica e, in caso positivo, valutarne l intensità tramite un indice opportuno. Si vuole verificare se esiste un legame tra l età dei volontari e il numero di ore prestate presso gli enti di assistenza. A tal proposito si rilevano i dati relativi ad un gruppo di 7 volontari che hanno prestato il proprio servizio il mese scorso: Numero di ore Età Stabilire se i due caratteri sono correlati; 2. Assumendo che il numero di ore dipenda linearmente dall età, calcolare i coefficienti della retta di regressione; 3. Fornire una spiegazione dei coefficienti determinati al punto precedente; 4. Valutare la bontà di adattamento della retta ai dati; 5. Quante ore di assistenza dovrebbe prestare un volontario di 28 anni? Si risponda con Vero o Falso alle seguenti affermazioni, giustificando in maniera rigorosa la risposta: 7. In una tabella bivariata formata da 3 righe e 4 colonne è possibile ottenere 2 distribuzioni univariate; 8. Il coefficiente di correlazione serve per valutare l intensità della dipendenza lineare tra due caratteri, qualunque sia la loro natura. Esercizio 4 Dimostrare che il coefficiente di determinazione è pari al coefficiente di correlazione al quadrato. 8