Regressione lineare. Lo studio della relazione lineare tra due variabili. X e Y caratteri entrambi quantitativi. variabile dipendente

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Giulietta Casini
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1 Regressione lineare Se la correlazione misura l intensità e il segno del legame lineare tra due variabili, l obiettivo delle tecniche di regressione è, invece, quello di individuare il tipo di relazione funzionale (non causale) che esiste tra una variabile dipendente e una o più variabili indipendenti (o esplicative). La regressione può essere: semplice, se la variabile indipendente è una multipla, se le variabili indipendenti sono 2 o + lineare, se la relazione è lineare non lineare, se tale relazione è non lineare Lo studio della relazione lineare tra due variabili e caratteri entrambi quantitativi variabile indipendente variabile dipendente * f ( ) f(): espressione funzionale che descrive la legge di dipendenza di da 1

2 Diagramma di dispersione j. j {, ; j 1,2,..., n } j j 2

3 Modello di dipendenza lineare * b 0 + b b 0 ordinata all origine (o termine noto) b coefficiente angolare della retta Quale retta si adatta meglio alla nube di punti? 3

4 Quale retta si adatta meglio alla nube di punti? Quale retta si adatta meglio alla nube di punti? 4

5 Criterio di accostamento: metodo dei minimi quadrati j ordinata empirica di ascissa j * j 0 b + b j ordinata teorica di ascissa j n * ( j j ) j 1 n 2 ( j b0 b j ) min j 1 2 Diagramma di dispersione e retta di regressione dei minimi quadrati j. j * b 0 j 5

6 b 0 b b n j 1 n j 1 j 2 j Codev Dev j n n 2 (, ) ( ) Cov V n ( j )( j ) j 1 n ( j ) j 1 (, ) ( ) 2 b coefficiente di regressione Indica di quanto varia in media la variabile dipendente per ogni variazione unitaria positiva di Ha il segno algebrico della codevianza b > 0 b < 0 b 0 retta ascendente retta discendente retta parallela all asse delle ascisse Se è linearmente indipendente da, la retta dei minimi quadrati è 6

7 b >0 retta ascendente b < 0 retta discendente 7

8 b 0 retta parallela all asse delle ascisse j * j j 8

9 Scomposizione della devianza di ( ) tot Dev( ) disp Dev( ) regr Dev + R 2 : indice di determinazione lineare R 2 : indica la frazione della variabilità di attribuibile alla dipendenza lineare da 9

10 R 2 : indice di determinazione lineare R 2 0 se R 2 1 se (tutta la variabilità di è dovuta alla dipendenza lineare da e la devianza di dispersione è nulla) Reddito familiare annuo * R 2 0, Numero componenti 10

11 Equazione della retta di regressione * Per ogni incremento unitario del numero di componenti, il reddito familiare aumenta in media di euro. R 2 0,3347 Il 33,47% della variabilità totale del reddito familiare annuo () è spiegata dalla sua relazione lineare con il numero di componenti (). Qual è il reddito che in media ci si attende per una famiglia di 3 componenti? * Le famiglie con 3 componenti presenti nel collettivo hanno i seguenti redditi annui:

12 : variabile dipendente : variabile indipendente b e b I due coefficienti angolari hanno lo stesso segno algebrico, dato dalla codevianza, e differiscono per effetto della diversa variabilità dei due caratteri. Se b 0 si ha anche b 0 Se è linearmente indipendente da, anche è quindi linearmente indipendente da (vale anche il viceversa) 12

13 Grafico delle rette Coefficiente di correlazione lineare r L indice r (che è il rapporto tra la codevianza e il massimo valore che essa può assumere) può essere ottenuto a partire dai coefficienti di regressione lineare come segue: r b b Nel modello di regressione lineare semplice vale la relazione 2 R r 2 13

14 0 <r<+1 tendenziale correlazione positiva tra e ; rette di regressione entrambe ascendenti; coefficienti di regressione positivi (quanto più essi si riducono, tanto più le rette si aprono a forbice, espressione dell'attenuarsi della relazione lineare tra le variabili) -1 <r<0 tendenziale correlazione negativa tra e ; rette di regressione entrambe discendenti: coefficienti di regressione negativi (l'angolo racchiuso dalle due rette è tanto minore quanto più si accentua la correlazione negativa) Esempio La correlazione tra il reddito familiare e il numero di componenti è r 0.58 Infatti r

15 r 0,30 r 0,70 1< r< 0 Sarà anche e Le due rette di regressione giaceranno nel II e IV quadrante. r 0,30 r 0,70 b < 0 b < 0 15

16 r 0 Sarà anche b 0 e b 0 e si avrà: regressione di su 0 regressione di su N.B. I due scatter sono uguali Altri scatter con r uguale a circa zero σ σ 2 2 σ > σ 2 2 σ < σ

17 4 r 1 (ovvero r +1 oppure r -1) Si può immediatamente verificare che è: b 1 b e i punti dello scatter saranno perfettamente allineati (nel I e III quadrante per r1 e nel II e IV per r-1). Le due rette di regressione sono sovrapposte. r 1 r

18 Impieghi () e depositi () per un gruppo di 16 banche * * ,82 58, ,37 52, ,88 88, ,20 76, ,28 58, ,97 82, ,34 94, ,44 70, ,05 64, ,12 76, ,95 100, ,71 112, ,88 100, ,34 106, ,11 88, ,50 82, depositi impieghi R 2 0,

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