Corso di laurea in Statistica Statistica I Esercizi sulla regressione lineare semplice

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1 Corso di laurea in Statistica Statistica I Esercizi sulla regressione lineare semplice Esercizio 1 Efficacia di un disinfettante I dati della Tabella 1 mostrano i conteggi relativi alla presenza o meno di colonie di batteri su campioni di pelle prima e dopo l utilizzo di un certo disinfettante. Tabella 1 Colonie di batteri prima (X) e dopo (Y) l utilizzo di disinfettante X Y Valori Residui previsti Y* Fonte: Snedecor and Cochran, Statistical Methods (Iowa State University Press, 1967), p a. Fare uno scatter plot dei dati, adattare un retta di regressione e completare la Tabella 1 calcolando i valori previsti (y i *) e i residui e i. b. Tracciare lo scatter plot dei residui rispetto ai valori di x,. Commentare il grafico ottenuto. Esercizio 2 Prezzo dei libri di testo. La Tabella 2 confronta i prezzi di una libreria universitaria con quelli di un grande venditore di libri ondine. Tabella 2 Prezzo dei libri di testo per libreria Tipo di libro prezzo ($) per libreria Universitaria online Chemistry Classic Fiction English Anthology Calculus Biology Statistics Dictionary Style Manual Art History a. Disegnare lo scatter plot dei dati e adattare un retta di regressione considerando i prezzi praticati dalla libreria online come variabile dipendente (Y) e i prezzi della libreria universitaria come variabile esplicativa (X).

2 b. Scrivere l equazione della retta e interpretarne i parametri in termini dei prezzi dei libri di testo. c. Costruire il grafico dei residui. Darne un interpretazione mettendo in evidenza le caratteristiche più rilevanti. d. Nel confrontare I prezzi dei libri di testo si è interessati a confrontare i valori osservati con la retta Y=X. Tracciare questa retta sullo scatter plot disegnato al punto a. Che significato si può dare al fatto che un punto osservato stia al di sopra della retta X=Y? E a di sotto? E sulla retta? e. La figura seguente rappresenta il boxplot delle differenze tra i prezzi della libreria universitaria e i prezzi della libreria online: d i = x i - y i Interpretare il boxplot. Esercizio 3 Organi diversi del corpo utilizzano una differente quantità di ossigeno anche quando si tiene conto della loro massa. Per esempio, il cervello utilizza più ossigeno per kg di tessuto dei polmoni.gli scienziati sono interessati a capire come il consumo di ossigena sia legato alla massa corporea di un animale e a capire se questa relazione si modifica considerando organi diversi. I dati della Tabella 3 riportano la massa corporea tipica, il consumo di ossigeno dei tessuti nel cervello e nei polmoni per alcuni animali (il consume di ossigeno spesso è misurato in millilitri per grammo di tessuto, ma questi dati sono stati ricodificati e l unità di misura non è nota). a. Disegnare uno scatterplot dei punti, ponendo la massa corporea in ascissa e il consumo di ossigeno in ordinata. Rappresentare i punti relativi al consumo di ossigeno nel cervello e nei polmoni, utilizzando un simbolo (o un colore) diverso. b. Dalla Tabella 3 e dallo scatterplot si nota che il consumo di ossigeno dei tessuti celebrali decresce all aumentare della massa corporea. Definire una funzione che descriva questo andamento, quindi trovare il modo per descrivere il tasso di decrescita. c. Ripetere quanto richiesto al punto b. per il tessuto dei polmoni. In che cosa questa relazione differisce rispetto a quella osservata per il tessuto celebrale? d. È noto che la proporzione di massa corporea concentrata nel cervello diminuisce in maniera apprezzabile al crescere delle dimensioni dell animale, mentre la proporzione concentrata nei polmoni resta relativamente costante. Una teoria possible sul consumo di ossigeno è che la quota di consumo possa essere spiegata dalla dimensione relativa dell organo rispetto al corpo. Questa teoria è supportata dai dati esaminati? Motivare la propria risposta. Tabella 3 Massa corporea e utilizzo di ossigeno del cervello e dei polmoni per alcuni animali [fonte: K. Schmidt-Nielsen, Why Is Animal Size So Important? (Cambridge University Press,1984), p. 94.]

3 Soluzione Esercizio 1 Stime dei parametri: a= , b= Scatter plot e retta di regressione: relazione lineare diretta tra X e Y, n. batteri prima più elevato Residui e valori previsti dal modello: variabile dipendente: y batteri dopo Variabile Valore Oss dipendente previsto Residuo Grafico dei residui rispetto a X Poco efficacie molto efficacie

4 Esercizio 2 a. Disegnare lo scatter plot dei dati e adattare un retta di regressione considerando i prezzi praticati dalla libreria online come variabile dipendente (Y) e i prezzi della libreria universitaria come variabile esplicativa (X). b.scrivere l equazione della retta e interpretarne i parametri in termini dei prezzi dei libri di testo. L intercetta esprime, in dollari, il prezzo del libro di testo presso la libreria ondine, quando il prezzo della libreria universitaria è zero. Il coefficiente di X è molto vicino a 1 e l intercetta è Poichè la pendenza è circa 1 l intercetta può essere interpretata nel senso che un libro acquistato online costa inmedia $3.57 in meno rispetto ad un libro comprato presso la libreria universitaria (infatti, il costo medio di un libro presso la libreria universitaria è pari a $47.04 contro I $45.03 se acquistato online, la differenza tra le medie non è esattamente $3.57 perchè la pendenza non è esattamente 1). La pendenza è 1.03, che significa che per ogni $1.00 in più nel prezzo del libro venduto dalla libreria universitaria, tende ad esserci un aumento di $1.03, in media, per lo stesso libro acquistando ondine. Il grafico dei residui mostra che la retta è un modello ragionevole per questi dati. I punti sono disperse casualmente intorno allo 0, salvo una maggiore dispersione all aumentare del prezzo. Questo andamento indica che i punti osservati si allontanano dalla retta di regressione all aumentare del prezzo. c. Nello scatterplot del punto a. è stata tracciata in verde la retta Y=X. Un punto che si trovi al di sopra di tale retta rappresenta un libro di testo che costa di più comprato online. Un punto collocato al di sotto della retta in verde rappresenta un libro di testo che costa di meno se acquistato ondine. Un

5 punto sulla linea Y=X è un testo che viene venduto allo stesso prezzo se comprato ondine piuttosto che alla libreria universitaria. d. Il boxplot è centrato leggermente al di sopra dello 0, indicando che la maggior parte dei prezzi della libreria universitaria tendono a essere leggermente superiori rispetto ai prezzi della libreria ondine. Tuttavia la maggior parte delle differenze è prossima a 0, quindi c è poca differenze nei prezzi praticati dalle due libreria. La differenza mediana è di circa $2 in più per la libreria universitaria. Si notano due outliers (si vedevano anche nel grafico dei residui!) il che significa che per due libri di testo c è molta differenza nei prezzi, in un caso il prezzo è inferiore per la libreria universitaria mentre nell altro è nettamente inferiore per la libreria ondine. In conclusione, per i libri più costosi conviene confrontare i prezzi di più librerie prima di decidere dove comprare, mentre per gli altri è indifferente. Esercizio 3 a. Dall esame del grafico sembra che la relazione tra consumo di ossigeno e massa corporea non sia lineare. Tuttavia la relazione può essere rappresentata da una retta dopo aver operato una trasformazione logaritmica di entrambe le variabili. b. la retta di regressione è ln(brain oxygen) _ 3.26 _ 0.07 ln(body mass) che implica che ln(brain oxygen) decresce, in media, di 0.07 unità per ogni aumento unitario di ln(body mass). c. Utilizzando la trasformazione logaritmica, la relazione tra lung oxygen consumption e body mass ha un andamento simile, eccetto per una coppia di punti. L equazione della retta è: ln(lung oxygen) _ _ ln(body mass) che implica che ln(lung oxygen) decresce, in media, di unità per ogni incremento unitario di ln(body mass).

6 d. Se questa teoria è vera e il consumo di ossigeno dipende dalla dimensione relativa dell organo considerato, allora il consumo ossigeno nei polmoni deve decrescere meno rapidamente rispetto al consumo di ossigeno nel cervello al crescere della massa corporea. Ma I dati mostrano che il consume di ossigeno nei polmoni diminuisce più rapidamente rispetto a quello nel cervello. Ci deve allora essere un altra spiegazione al fatto che il cervello utilizzi più ossigeno, relativamente alla sua dimensione, di quanto non facciano gli altri organi.