Prove di esame a.a

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1 Prove di esame a.a Perugia, 26 gennaio 2009 Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte. 1. Indice di massa corporea. L indice di massa corporea (IMC) è un indice biometrico usato per determinare se un individuo ha peso vicino a quello considerato normale. Se p indica il peso di un individuo (in kg) e h la sua altezza (in metri) si ha IMC = p h 2 (a) Calcolare l IMC di un individuo alto 1.80 m di 96 kg di peso. Quanto vale l IMC di un individuo più alto del 5% e più pesante del 10%? (b) Supposta l altezza fissata, si pensi l IMC funzione f(x) del peso (peso = x, variabile indipendente, altezza = k, costante reale): descrivere la funzione, disegnarne il grafico e calcolare lim x 0 f(x) = lim x + f(x) = (c) Supposto il peso fissato, si pensi l IMC funzione f(x) dell altezza (altezza = x, variabile indipendente, peso = k, costante reale): descrivere la funzione, disegnarne il grafico e calcolare il (d) interpretare i risultati dei limiti. lim x 0 f(x) = lim x + f(x) = 1

2 2. Neurone artificiale. la funzione f(x) = e x è nota con il nome di sigmoide e viene utilizzata per simulare ls risposta di un neurone artificiale ad uno stimolo x. (a) Calcolare lim x f(x) = lim x 0 f(x) = lim x + f(x) = (b) Disegnare il grafico di f(x). (c) Determinare per quali valori di x la risposta f(x) è superiore a 1/2. 3. Televisori. Sia C(x) = x x 2 la funzione di costo che un azienda affronta per produrre x unità di televisori. (a) Determinare la variazione media del costo negli intervalli [400, 450], [400, 420] e darne il significato geometrico ed economico. (b) Trovare il costo marginale al livello di produzione di 400 televisori e interpretarne il significato geometrico ed economico. (c) Tracciare il grafico di C(x) e riportare le rette secanti e la retta tangente. 4. Palla di ghiaccio. Una palla di ghiaccio si scioglie così che il suo raggio diminuisce da 5 cm a 4,97 cm. Utilizzare il differenziale per approssimare di quanto diminuisce il volume della palla. (a) Studiando la concavità della funzione, stabilire se si tratta di un approssimazione per difetto o per eccesso. (b) Visualizzare graficamente l approssimazione lineare disegnando il grafico della funzione e l opportuna retta tangente. 2

3 Perugia, 10 febbraio 2009 Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte. 1. Cavie. Dopo aver somministrato diverse dosi di una sostanza a tre gruppi di cavie affette da una certa malattia, si constatata la seguente correlazione tra le dosi somministrate e le percentuali di mortalità. dose mortalità 2 16% 4 10% 8 22% Supponendo che la percentuale di mortalità dipenda in modo quadratico dalla dose somministrata, (a) determinare la legge e disegnare il grafico, (b) calcolare la dose ottimale, cioè quella che rende minima la percentuale di mortalità delle cavie, (c) interpretare il modello (intersezione con gli assi, andamento della parabola, vertice). 2. Scippi1. Dati statistici hanno evidenziato che il numero di scippi ai danni di persone anziane nelle grandi città tende a raddoppiare ogni 4 mesi. (a) Supponendo che tale andamento si mantenga nel tempo, indicato con N 0 il numero attuale di scippi, modellare il processo e individuare la legge (ricorsiva, esplicita e reale) che rappresenta il numero N(t) di scippi fra t mesi. Disegnare il grafico. (b) Seguendo il modello matematico costruito, determinare dopo quanti mesi N(t) dovrebbe triplicare. (c) Calcolare lim t 0 + N(t) = 3

4 lim t + N(t) = (d) In quale intervallo di tempo ritenete che questo modello sia attendibile? 3. Scippi2. Relativamente alla funzione dell esercizio precedente (a) Determinare il tasso medio di accrescimento negli intervalli [4,8], [12,16], [20,24] e darne il significato geometrico. (b) Trovare il tasso istantaneo di crescita dopo 8, 16 e 24 mesi e interpretarne il significato geometrico. Confrontare e spiegare i tre risultati. (c) Tracciare il grafico della derivata prima N (t). 4. Scatola di vetro. Si vuole costruire una scatola di legno a base quadrata, della capienza di 54cm 3, con uno del lati di vetro per permettere di controllare il contenuto senza aprire la scatola. Determinare le dimensioni che minimizzano il costo di produzione supposto che il rapporto tra i prezzi unitari del legno e del vetro pari a 5/3. Perugia, 23 febbraio Medicina. 10 ml di una medicina sono iniettati per endovena ad un paziente in 5 minuti. Durante la somministrazione la quantità di medicina nel sangue cresce linearmente, appena si cessa la somministrazione essa diminuisce con velocità esponenziale. (a) Individuare la legge (lineare in [0, 5], poi esponenziale in [5, + [) che meglio rappresenta l andamento della quantità di medicina nel sangue in funzione del tempo e tracciarne il grafico. 4

5 (b) Descrivere le proprietà caratterizzanti il grafico individuato ( C.E., codominio, asintoti, continuità, derivabilità, punti di massimo o minimo relativo, concavità). (c) Determinare la legge e/o il grafico della derivata prima. 2. Rimbalzi. Una palla rossa lasciata cadere da un altezza di 2 metri rimbalza verticalmente raggiungendo ad ogni rimbalzo i 9/10 della quota precedente. Una palla gialla, meno gonfia, lasciata cadere da un altezza di 3 metri rimbalza verticalmente raggiungendo ad ogni rimbalzo i 7/10 della quota precedente. (a) Modellare il processo e individuare la legge (ricorsiva, esplicita e reale) che rappresenta l altezza raggiunta dalle due palle all nesimo rimbalzo. Disegnare il grafico. (b) Determinare dopo quanti rimbalzi la palla rossa rimbalza più in alto della gialla. 3. (a) Calcolare i seguenti limiti: 3 x lim = x x log(1 + x) lim = x 0 x 1 + x lim x 1 x 1 = sen(x 1) lim x 1 + x 1 lim x + = x x x = (b) Disegnare il grafico di una funzione che ammetta i limiti sopra calcolati. 4. Antica Roma. La percentuale P (t) delle persone che raggiungevano l età di t anni nell antica Roma può essere approssimata con P (t) = 92e t. Calcolate P (22) e spiegate che cosa indica. Disegnate il grafico di P (t) e quello di P (t). 5

6 Perugia, 5 giugno Da un supermercato all altro, a caccia di sconti. Un noto supermercato offre la seguente promozione: Ogni 75 euro di spesa, 15 euro di sconto. Indicata con x la spesa di un cliente, sia f(x) l importo scontato che viene effettivamente pagato. (a) Determinare la legge di f(x) nell intervallo [0, 300] e disegnarne il grafico. (b) Descrivere le proprietà caratterizzanti il grafico individuato (limiti, continuità, derivabilità). (c) Tracciare il grafico della derivata prima. 2. Pioggia. In determinate condizioni, una goccia di pioggia cade con velocità v(t) = (1 e 9.8t ) (a) Calcolare lim t + v(t). (b) Disegnare il grafico di v(t) (c) Quanto tempo occorre affinchè la velocità della goccia raggiunga il 80% della sua velocità terminale? 3. Scatole. Un azienda produce scatole di legno a base quadrata capienti 6000cm 3. Una delle basi è di vetro per permettere di controllare il contenuto della scatola. Determinare le dimensioni che minimizzano il costo di produzione sapendo che il rapporto tra i prezzi unitari del legno e del vetro è pari a 4/3. 4. Tessuto. Il costo marginale (in euro) per la produzione di x metri di un tessuto è stimato C (x) = 2 0.1x x 2 (a) calcolare l aumento del costo di produzione se il livello cresce da 1000 a 3000 metri. 6

7 (b) Relativamente agli stessi livelli di produzione, determinare il costo marginale medio. Perugia, 14 luglio Temperature. Confrontando le scale termometriche Celsius e Fahrenheit si osserva che hanno origine e unità di misura diverse. Risulta infatti: 0 0 C = 32 0 F C = F. (a) Tenuto conto che il legame tra le scale è lineare, esprimere la temperatura in gradi Celsius f(x) come funzione della temperatura in gradi Fahrenheit x. (b) Cosa rappresenta il coefficiente angolare? (c) Cosa rappresenta il termine noto? (d) Trovare la funzione inversa ed interpretarla. 2. Flash. Quando si scatta una fotografia con un flash, le batterie ricominciano immediatamente a caricare il condensatore del flash con una carica elettrica f(t) espressa in funzione del tempo dalla seguente funzione f(t) = Q 0 (1 e t/2 ) (Q 0 è la massima capacità di carica). (a) Disegnare in successione i seguenti grafici: - f 1 (t) = Q 0 e t/2 ; - f 2 (t) = Q 0 e t/2 ; - f(t). (b) Determinare quanto tempo è necessario per ricaricare il 90% della capacità. 7

8 (c) Calcolare lim t + f(t) 3. Palla. Una palla lanciata verso l alto con la velocità di 30 metri/secondo percorre una traiettoria descritta dalla funzione s(t) = 30t 5t 2. (a) Trovare la velocità media della palla negli intervalli [2, 4], [2, 3], [2, 2.5] e interpretarne il significato geometrico. (b) Trovare la velocità istantanea 2 secondi dopo il lancio e interpretarne il significato geometrico. e le rette secanti e tangente indivi- (c) Disegnare il grafico di s(t) duate. 4. Qua e là. (a) Dare l esempio di una funzione che ammetta un punto di discontinuità e un punto di non derivabilità. (b) Determinare la derivata prima della funzione f(x) = cos 2 (1/x). (c) Determinare l equazione della retta tangente al grafico di f(x) = x 3 nel punto di ascissa x 0 = 2. (d) Determinare lo spazio percorso da un auto la cui velocità è espressa dalla funzione v(t) = e t chilometri all ora, nelle prime due ore di moto. 8