Matematica e statistica 31 gennaio 2011

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1 Matematica e statistica 31 gennaio 2011 Compito A Cognome e nome Matricola Parte I Misurando in modo approssimato due quantità x e y si ottengono i seguenti valori: 2.98 <x< <y<2.05 Calcolare il valore stimato e l errore assoluto del prodotto xy. Il peso alla nascita di Paolo era di 3, 340 Kg. a) Dopo una settimana Paolo pesava 3, 173 Kg; di quanto era calato in percentuale il peso? b) A un mese dalla nascita il peso di Paolo aumentò del 20% rispetto al peso iniziale; quanto pesava Paolo a un mese dala nascita? Scrivere l espressione esplicita di una funzione continua f : R R tale che f(0) = 0, lim f(x) =2, lim x + f(x) =+. x Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di f(x) = log(x 2 + 1) nel punto di ascissa x =1. Esercizio 5 Calcolare la derivata della funzione f(x) = x 2 e t2 1 dt.

2 Esercizio 6 Nelle figure sottostanti sono riportati 5 grafici. Quelli delle funzioni f 1,f 2,f 3,f 4 sono ottenuti da quello di f mediante traslazioni e simmetrie. Scrivere le funzioni f 1,f 2,f 3,f 4 in termini della funzione f.

3 Parte II Data la funzione sinusoidale ( 2 π ) f(x) = 120 cos 45 x π 75, calcolare il valor medio, l ampiezza, la frequenza angolare, il periodo e la fase di f. Viene analizzata l associazione tra una malattia e la presenza di due molecole (marker) nel sangue. Su un campione casuale della popolazione vengono misurati i dati riportati in tabella. Marker A Marker B Totale sì no sì no Malati 10% 2% 8% 5% 5% Sani 90% 18% 72% 5% 85% Totale 100% 20% 80% 10% 90% Questi dati sono compatibili con l ipotesi di indipendenza della malattia dalla presenza dei marker A o B? Suggerimento: Indichiamo con S l evento essere sano, con M l evento essere malato, con A l evento presenza di A nel sangue,. Valutiamo se M e A sono indipendenti. Ipotesi biologiche sulla crescita di una popolazione di batteri suggeriscono che il numero N(x) di individui nella popolazione al tempo x segua un andamento dato da: N(x) = 2ex x +1 Studiare la funzione N(x) (anche per x < 0) disegnandone il grafico. Calcolare l area della figura piana delimitata dalla parabola y = x x e l asse delle ascisse.

4 Matematica e statistica 31 gennaio 2011 Compito B Cognome e nome Matricola Parte I Misurando in modo approssimato due quantità x e y si ottengono i seguenti valori: 2.95 <x< <y<2.03 Calcolare il valore stimato e l errore assoluto del prodotto xy. Nel mese di ottobre al distributore di benzina vicino casa di Paolo, il costo della benzina era di 1, 500 euro /litro. a) Dopo un mese lo stesso distributore forniva benzina al prezzo di 1, 470 euro/litro; di quanto era calato in percentuale il prezzo? b) Nel mese di gennaio, allo stesso distributore, Paolo registrò un aumento del 4, 5% rispetto al prezzo rilevato ad ottobre; quanto costava la benzina a gennaio? Scrivere l espressione esplicita di una funzione continua f : R R tale che f(0) = 1, lim f(x) =+, lim x + f(x) = 1. x Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di f(x) =e (1 x2) nel punto di ascissa x =1. Esercizio 5 Calcolare la derivata della funzione f(x) = x 1 log(x 2 +1)dt.

5 Esercizio 6 Nelle figure sottostanti sono riportati 5 grafici. Quelli delle funzioni f 1,f 2,f 3,f 4 sono ottenuti da quello di f mediante traslazioni e simmetrie. Scrivere le funzioni f 1,f 2,f 3,f 4 in termini della funzione f.

6 Parte II Data la funzione sinusoidale ( π ) f(x) = 240 cos 30 x 2 π 125, calcolare il valor medio, l ampiezza, la frequenza angolare, il periodo e la fase di f. Viene analizzata l associazione tra una malattia e la presenza di due molecole (marker) nel sangue. Su un campione casuale della popolazione vengono misurati i dati riportati in tabella. Marker A Marker B Totale sì no sì no Malati 10% 2% 8% 5% 5% Sani 90% 18% 72% 5% 85% Totale 100% 20% 80% 10% 90% Indichiamo con S l evento essere sano, con M l evento essere malato, con A l evento presenza di A nel sangue, e con B l evento presenza di B nel sangue. Calcolare i valori delle probabilità condizionate. Suggerimento: Sono 4 probabilità condizionate: la frequenza con cui si trova la molecola A in un malato, la frequenza dei malati che hanno A nel sangue,. Ipotesi biologiche sulla crescita di una popolazione di batteri suggeriscono che il numero N(x) di individui nella popolazione al tempo x segua un andamento dato da: N(x) = ex 2x +1 Studiare la funzione N(x) (anche per x < 0) disegnandone il grafico. Calcolare l area della figura piana delimitata dalla parabola y =2 x x 2 e l asse delle ascisse.