Corso di Laurea in Farmacia Modulo di Matematica ed Informatica, 3 giugno Giustificare adeguatamente le soluzioni dei seguenti esercizi

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1 Modulo di Matematica ed Informatica, 3 giugno 204 Si sono registrati i battiti cardiaci al minuto ad una persona, una volta al giorno per 20 giorni. Si sono ottenuti i seguenti dati: 66, 69, 7, 68, 66, 68, 69, 70, 72, 67, 69, 70, 66, 67, 72, 68, 68, 66, 68, 70. media, mediana, moda, varianza e scarto quadratico medio dei dati raccolti. A Pontegradella il 5% degli individui con oltre 50 anni ha il diabete. La probabilità che il medico di Pontegradella diagnostichi il diabete ad un individuo effettivamente malato è il 92%, mentre la probabilità che egli diagnostichi il diabete ad un individuo sano è il 3%. (a) Supponendo che il medico abbia diagnosticato il diabete ad un individuo di oltre 50 anni di Pontegradella, qual è la probabilità che questo individuo sia malato? (b) Supponendo che il medico non abbia diagnosticato il diabete ad un individuo di oltre 50 anni di Pontegradella, qual è la probabilità che questo individuo non sia malato? f(x) = 2x + e 3x x dove e è il numero di Nepero e = 2, In particolare determinare gli eventuali asintoti, calcolare la derivata prima e seconda, trovare gli eventuali punti di massimo e/o di minimo (relativi e/o assoluti) e gli eventuali punti di flesso. x 0 e x2 cos(x). Sia X una variabile aleatoria continua con funzione di densità di probabilità { 2e 2x se x 0, f(x) = 0 altrimenti. Determinare la media ed eventuali mode di X.

2 Modulo di Matematica ed Informatica, 30 giugno 204 Abbiamo registrato la pressione diastolica di una persona, una volta al giorno alla stessa ora per 25 giorni. Abbiamo ottenuto i seguenti dati, in miletri di mercurio: 83, 82, 78, 86, 80, 83, 88, 78, 85, 82, 86, 88, 80, 85, 80, 82, 83, 84, 78, 86, 84, 80, 86, 88, 85. media, mediana, moda, varianza e scarto quadratico medio dei dati raccolti. Ogni studente è esaminato da una di tre commissioni, che bocciano in media con la seguente frequenza: la prima commissione boccia il 20% degli studenti, la seconda il 35% degli studenti, la terza il 65% degli studenti. Ogni commissione esamina lo stesso numero di studenti. (a) Sapendo che uno studente è stato bocciato, qual è la probabilità che sia stato esaminato dalla seconda commissione? (b) Sapendo che uno studente è stato promosso, qual è la probabilità che sia stato esaminato dalla seconda commissione? f(x) = x log 2 (2x) dove log è il logaritmo naturale. In particolare determinare gli eventuali asintoti, calcolare la derivata prima e seconda, trovare gli eventuali punti di massimo e/o di minimo (relativi e/o assoluti) e gli eventuali punti di flesso. x log(x) e e x. 2 e x dx.

3 Modulo di Matematica ed Informatica, 2 luglio 204 Abbiamo registrato la pressione sistolica di una persona, una volta al giorno alla stessa ora per 25 giorni. Abbiamo ottenuto i seguenti dati, in miletri di mercurio: 30, 40, 20, 45, 42, 30, 20, 28, 40, 24, 45, 33, 20, 33, 24, 20, 40, 36, 33, 30, 24, 45, 36, 20, 42. media, mediana, moda, varianza e scarto quadratico medio dei dati raccolti. Un test diagnostico per una certa malattia fornisce un risultato positivo nel 95% dei casi in cui la malattia è effettivamente presente, e nel 4% dei casi in cui la malattia non è presente. (a) Se l incidenza della malattia nella popolazione (cioè la probabilità che un individuo, scelto a caso nella popolazione, sia malato) è /50, calcola la probabilità che un individuo scelto a caso nella popolazione sia effettivamente malato se il test dà un risultato positivo. (b) Quale sarebbe invece l incidenza della malattia se la probabilità che un individuo scelto a caso nella popolazione risulti positivo al test fosse del 25%? f(x) = e 2x 2 x+ dove e è il numero di Nepero 2, In particolare determinare il dominio, gli eventuali asintoti, calcolare la derivata prima e seconda, trovare gli eventuali punti di massimo e/o di minimo (relativi e/o assoluti) e gli eventuali punti di flesso. e 2x 2x x 0 e x + e x 2. 0 x 2 e 4x dx.

4 Modulo di Matematica ed Informatica, settembre 204 A 30 persone è stato chiesto quante volte sono andate al cinema nel mese scorso. Si sono ottenute le seguenti risposte:, 0, 4, 2, 2, 4, 5, 0,,, 2, 3, 4, 3, 2, 2, 2, 3, 0,, 3, 4, 0, 0, 3, 3, 5, 6, 4, 2. media, mediana, moda, varianza e scarto quadratico medio dei dati raccolti. I laureati presso l Università della città di XYZ nell anno accademico 202/203 si suddividono nelle seguenti percentuali: il 45% sono laureati in Ingegneria, il 30% in Farmacia e il rimanente in Filosofia. Sappiamo che le probabilità che un laureato in Ingegneria, Farmacia e Filosofia trovi lavoro entro un anno sono rispettivamente 90%, 75% e 50%. (a) Qual è la probabilità che un laureato presso l Università della città di XYZ nell a.a. 202/203 trovi lavoro entro un anno? (b) Sapendo che un laureato presso l Università della città di XYZ nell a.a. 202/203 non ha trovato lavoro entro un anno, qual è la probabilità che sia laureato in Farmacia? f(x) = log ( ) 2x + 4 x 3 dove log è il logaritmo naturale. In particolare determinare il dominio, gli eventuali asintoti, calcolare la derivata prima e seconda, trovare gli eventuali punti di massimo e/o di minimo (relativi e/o assoluti) e gli eventuali punti di flesso. x + log(log(x)) log 2 (x). x 4 x 2 7x dx.

5 Modulo di Matematica ed Informatica, 5 settembre 204 È stato misurato il ph di un reagente in un certo procedimento chimico. In 20 misurazioni diverse sono stati ottenuti i seguenti valori: 6., 6.0, 6.4, 6.2, 6.2, 6.4, 6.5, 6.0, 6., 6., 6.2, 6.3, 6.4, 6., 6.2, 6.2, 6.2, 6.3, 6.0, 6.. media, mediana, moda, varianza e scarto quadratico medio dei dati raccolti. Lo 0,4% di una popolazione soffre di una determinata malattia. In un laboratorio analisi l esame del sangue individua la malattia (quando essa è presente nel paziente) nel 95% dei casi. L esame rileva però anche dei falsi positivi nel 2% dei casi (ovvero, una persona sana risulta positiva all esame con probabilità del 2%). (a) Qual è la probabilità che una persona risultata positiva all esame abbia veramente la malattia? (b) Qual è la probabilità che una persona risultata positiva all esame sia invece sana? f(x) = x 3 e x2 dove e è il numero di Nepero e = 2, In particolare determinare il dominio, gli eventuali asintoti, calcolare la derivata prima e seconda, trovare gli eventuali punti di massimo e/o di minimo (relativi e/o assoluti) e gli eventuali punti di flesso. inoltre la retta tangente al grafico nell origine degli assi cartesiani. x 0 x2 e x. 0 xe 3x2 dx.

6 Modulo di Matematica ed Informatica, 20 gennaio 205 A 40 adulti maschi è stato chiesto di scrivere la loro altezza in centimetri: dieci hanno scritto di essere alti 8cm, otto di essere alti 76cm, quattro di essere alti 73cm, dodici di essere alti 85cm e infine sei di essere alti 89cm. media, mediana, moda, varianza e scarto quadratico medio dei dati raccolti. Un indagine statistica ha verificato che il 2% della popolazione italiana è portatrice di una certa malattia. È stato preparato un test clinico che risulta positivo nel 95% delle persone portatrici della malattia e che risulta negativo nel 92% delle persone che non sono portatrici della malattia. (a) Scelta a caso una persona, qual è la probabilità che il test sia positivo? (b) Se il test è positivo, qual è la probabilità che la persona sia portatrice della malattia? E che la persona non sia portatrice della malattia? Nelle risposte alle domande (a) e (b), indicare le probabilità in percentuale, arrontondate alla seconda cifra decimale (dopo la virgola). f(x) = e 2x 2 x+ dove e è il numero di Nepero e = 2, In particolare determinare il dominio, gli eventuali asintoti, calcolare la derivata prima e seconda, trovare gli eventuali punti di massimo e/o di minimo (relativi e/o assoluti) e gli eventuali punti di flesso. ( 3 x3 3x 3 ) x 3 + 2x 2. x + xe 2x dx.

7 Modulo di Matematica ed Informatica, 7 febbraio 205 Studiando la resistenza all innalzamento della temperatura di un nuovo virus, verifichiamo che alla temperatura di 24 o centigradi muoiono 2 virus, a 26 o centigradi muoiono 4 virus, a 30 o muoiono 2 virus, a 34 o muoiono 4 virus, a 36 o muoiono 6 virus e infine a 38 o muoiono 2 virus. Disegnare un istogramma con i dati raccolti, indicando la temperatura in ascissa e le frequenze in ordinata. media, mediana, moda, varianza e scarto quadratico medio dei dati raccolti. Nella vostra farmacia lavorano tre dipendenti. Ogni settimana, quando arrivano i farmaci dal magazzino, il dipendente più esperto mette a posto negli scaffali il 45% dei farmaci, un secondo dipendente ne mette a posto il 35% e infine il terzo dipendente, il meno esperto, ne mette a posto il rimanente. Purtroppo tutti e tre i dipendenti commettono qualche errore: il meno esperto commette errori con una probabilità del 2%, il più esperto fa errori con una probabilità dell % e l altro dipendente con una probabilità dell,5%. (a) Determinare la probabilità che un farmaco sia stato messo nello scaffale correttamente. (b) Prendendo un farmaco da uno scaffale ci accorgiamo che era nel posto sbagliato. Qual è la probabilità che il farmaco sia stato messo nello scaffale dal dipendente meno esperto? Indicare le probabilità in percentuale, arrotondate alla seconda cifra decimale se necessario. f(x) = e 2x x + 3 dove e è il numero di Nepero e = 2, In particolare determinare il dominio, gli eventuali asintoti, calcolare la derivata prima e seconda, trovare gli eventuali punti di massimo e/o di minimo (relativi e/o assoluti) e gli eventuali punti di flesso. e 2x 5 2x 3 x 3x 2 + 7x. 3 2 log(3x 2) dx.