ESERCIZI DEL CORSO DI MATEMATICA PER LA LAUREA IN STATISTICA, ECONOMIA, FINANZA E ASSICURAZIONI.

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1 ESERCIZI DEL CORSO DI MATEMATICA PER LA LAUREA IN STATISTICA, ECONOMIA, FINANZA E ASSICURAZIONI... Esercizi svolti in classe.. VENERDÌ 28 FEBBRAIO ) a) Quante sono le possibili targhe formate da 7 simboli, di cui i primi 2 sono lettere dell alfabeto inglese 26 lettere) e gli ultimi 5 sono cifre? b) Stessa domanda supponendo ora che i simboli siano tutti distinti. 2) 6 studenti, di cui 3 ragazze e 3 ragazzi, devono sedersi in prima fila. a) In quanti modi possono farlo? b) In quanti modi possono farlo se sia i maschi che le femmine devono sedere vicini tra loro? c) In quanti modi possono farlo se i maschi devono sedere vicini tra loro? 3) Calcolare il numero dei possibili anagrammi di MARCO. Stesso problema con gli anagrammi di ALESSANDRA. 4) Si consideri un gruppo di 2 persone. Quante sono le strette di mano se ciascuno dà la mano a tutti gli altri? Equivalentemente, quanti sono i lati di un grafo completo di 2 vertici? 5) Dalla classe di 28 studenti bisogna scegliere un rappresentante e 2 segretari. In quanti modi lo si può fare? 6) Determinare estremo superiore, estremo inferiore ed eventualmente massimo, minimo { dei seguenti insiemi: } i) 5 n n+3 { : n =,, 2,... } ii) ) n : n =,, 2,... +n { 2 } iii) : R Esercizi assegnati per casa. ) Calcolare il numero dei possibili anagrammi del proprio nome. 2) Con riferimento all esercizio 2) svolto in classe, calcolare numero di modi in cui si possono sedere i 6 studenti se due studenti dello stesso sesso non possono stare vicini. 3) Calcolare in quanti modi si possono sistemare su di uno scafare 3 romanzi, 2 testi di matematica e uno di chimica tutti libri distinti tra loro) se a) i libri si possono sistemare in qualunque modo; b) i testi di matematica vanno messi vicini fra loro e i romanzi vanno messi vicini fra loro; c) i romanzi vanno messi vicini fra loro e gli altri libri si possono sistemare liberamente. Si supponga ora di scegliere 4 libri tra quelli sullo scaffale per leggerli durante un lungo viaggio in treno. d) In quanti modi si possono scegliere i 4 libri? 4) Determinare estremo superiore, estremo inferiore ed eventualmente massimo, minimo dei seguenti insiemi:

2 2 i) ii) { 3+2n } n+3 { : n =, } 2,... : > 2.. Esercizi svolti in classe. 2. VENERDÌ 7 MARZO ) Dimostrare per induzione che la somma dei primi n numeri naturali dispari è n 2. 2) Dimostrare per induzione su n =,, 2,... che si ha 2 n n + )! 3) Verificare in base alla definizione che si ha n 2 2n + 5 = 2, n = +, n + n 4) Dire se la successione a n = n + ) n ) è itata, ha ite e in caso affermativo calcolarlo Esercizi assegnati per casa. ) Si consideri la funzione f) = 4 3 definita per R. Determinare estremo superiore, estremo inferiore ed eventualmente massimo, minimo di fx) con X =, ] 2) Si consideri la funzione f) = 2) 3) definita per R. Determinare estremo superiore, estremo inferiore ed eventualmente massimo, minimo di fn) con N := {,,... } 3) Sia f : R R data da f) = a + b con a, b numeri reali. Usando l induzione trovare l espressione dell iterata n esima f n) ) = f f f)) n volte) 4) Dimostrare che 2n 2 n per ogni n =,, 2,... 5) Verificare in base alla definizione che si ha 5n 2 + ) n n 3n 2 = 5 3, n ) è itata, ha ite e in caso afferma- 6) Dire se la successione b n = n tivo calcolarlo. n 6 5 n =. n+ sin nπ 3 3. VENERDÌ 4 MARZO

3 3 3.. Esercizi svolti in classe. ) Calcolare i ite delle seguenti delle seguenti successioni: 2) Calcolare n + 5 n 2 ) n Esercizi assegnati per casa. a n = n4 3n + 4 n 2 + 2n a n = n n 2 a n = n + 2)6 n 3) 6 n + ) 5 ) Calcolare i ite delle seguenti successioni: a n = n sin n 3n ) cos n 3 a n = n + 2 a n = 5 + sin n) n 4 + sin n a n = ) n a n = n + 2) 3 n a n = 3/5) n a n = 6 n a n = n 5 n a n = n 2 4) sin5/n 2 ) 4.. Esercizi svolti in classe. 4. VENERDÌ 2 MARZO 2 ) Calcolare il ite n n n, n 2n n!, n 2n 2 2) Determinare se la successione definita per ricorrenza { a =, a n+ = a n + a n, n ha ite e in caso affermativo calcolarlo. n!.

4 Esercizi assegnati per casa. ) Dimostrare che n a n + b n ) n = b per ogni a, b con < a b. 2) Sia a n ) n una successione a valori non nulli tale che esiste il ite n a n+ a n = λ. Dimostrare che { λ < an, λ > a n +. 3) Calcolare i ite delle seguenti successioni: a n = an b n a n + b n, a, b > a n = n + n) n a n = n 3 )n3 a n = nn/2 n!. 4) Provare che se una successione a n ha ite non nullo, allora n a n+ a n =. 5) Studiare, al variare di λ R, il ite della successione a n := + λ + λ λ n, n. 6) Dimostrare che una successione a n a termini non negativi non puo avere ite che sia un numero negativo o 5.. Esercizi svolti in classe. 5. VENERDÌ 27 MARZO ) Usando il ite notevole + ) = e calcolare i seguenti iti: log + /) + 2 log log + ) log ) Usando il ite notevole b a = for a >, b >, calcolare il ite ) 5.2. Esercizi assegnati per casa. ) Dire se esiste il ite cos/) giustificando la risposta. )

5 5 2) Calcolare quando esistono i seguenti iti: e log 2 + ) sin + cos ) ) 6. MERCOLEDÌ 2 APRILE 6.. Esercizi svolti in classe. ) Calcolare i seguenti iti log ) + 5 log3 + 2) sin2) sin3) cos 2) Calcolare la derivata della funzione f) = Esercizi assegnati per casa. ) Calcolare quando esistono i seguenti iti:

6 6 log[ + 5) 5 ] 2 log[ + ) 5 ] cos cos 3 sin ) Esercizi svolti in classe. 7. VENERDÌ 4 APRILE ) Calcolare la derivata delle seguenti funzioni dove a > : f) = sin, > f) = log a, > f) = log a, > f) = ) 5 f) =, > 2) Dimostrare che e + per ogni usando le proprietà delle derivate. 3) Dimostrate la disuguaglianza di Bernoulli [+) n +n per ] usando le proprietà delle derivate Esercizi assegnati per casa. ) Calcolare i seguenti iti, se esistono: ln2 cos ) sin 2, 2cos, cos ) 2 sin 2) Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:

7 7 f) = Esercizi svolti in classe. f) = sin) cos) f) = cos ) f) = +, > 8. LUNEDÌ 7 APRILE ) Calcolare la derivata delle seguenti funzioni: f) = + ) f) = tan, π/2, π/2) 2) Verificare che la funzione e è strettamente crescente su [, + ) ed è strettamente decrescente su, ]. Inoltre determinare la retta tangente al grafico della funzione nel punto, e ). 3) Studiare il grafico della funzione f) = e, R. 4) Studiare il grafico della funzione f) = 4 2, R Esercizi assegnati per casa. ) Calcolare la derivata delle seguenti funzioni: f) = 2tan ) 2 + 3, π/2, π/2), f) = log ), > /3. 2) Studiare il grafico delle seguenti funzioni definite su R a meno di indicazione contraria: f) = a + b, a, b R, f) = 4 + ) 2) 4), f) = sin3), f) = R \ { } 3) Di tutti i rettangoli di area 25 cm 2 trovare quello di perimetro minimo e quello di perimetro massimo se esistono) 9. MERCOLEDÌ APRILE

8 8 9.. Esercizi assegnati per casa. ) Studiare il grafico delle seguenti funzioni: f) = +, f) = 3, f) = + e, f) = sin + cos.. MERCOLEDÌ 7 MAGGIO.. Esercizi assegnati per casa. ) Determinare i seguenti integrali indefiniti 2 d, a d, a >, , 2 e d, log d. 2) Calcolare i seguenti integrali definiti 3 π/2.. Esercizi assegnati per casa. ) Determinare i seguenti integrali d, 2 sin d.. VENERDÌ 9 MAGGIO d d d d +

9 9 2. LUNEDÌ 2 MAGGIO 2.. Esercizi assegnati per casa. ) Determinare i seguenti integrali usando la formula di integrale per sostituzione: log ) 3 d 2 e 3 + e 2 e d + e d 3π/2 cos ) 2 sin d. 2) Determinare i seguenti integrali impropri: R e 2 d e 2 d d d e d 3) Verificare che, dato p >, p d è finito se e solo se p <.