Esercizi per il corso Matematica clea

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Esercizi per il corso Matematica clea"

Transcript

1 Esercizi per il corso Matematica clea Daniele Ritelli anno accademico 008/009 Lezione : Numeri naturali e principio di induzione Esercizi svolti. Provare che n. Provare che n n(n + ) n(n + )(n + ) 3. Provare che se x un numero reale, allora per ogni n N: ( + x) n + n x 4. Provare che n + n è pari per ogni n N 5. Provare che n+ + 4 n+ < 5 n+ per ogni n N. Provare che n > n per ogni n N 7. Provare che n per ogni n N 8. Provare che 3 3n+3 n 7 è multiplo di 9 per ogni n N 9. Provare che, se x mπ, m Z, per ogni n N vale cos x + cos(3x) + + cos((n )x) sin(nx) sin x 0. Provare che per ogni n N si ha: sin n α + cos n α. Siano a < a < < a n interi positivi distinti. Provare che: (a + a + + a n ) a 3 + a a 3 n Soluzione Ogni prova è divisa in due fasi, il passo di partenza ( S) ed il passo induttivo (n S n+ S). Si tratta di una formula molto famosa, relativa alla somma dei primi n numeri. (a) Passo di partenza: ( + ) è vera (si noti che a primo membro c è una sommatoria con un solo addendo).

2 (b) Passo induttivo: supponiamo che per un certo naturale n N sia vero che: n Consideriamo la somma dei primi n + naturali: ( n) + n + per l ipotesi indutttiva n(n + ) n(n + ) + n + Ora n(n + ) ( n ) + n + (n + ) + (n + )[(n + ) + ] il che dimostra il passo induttivo in quanto abbiamo visto che:. Qui si sommano i primi n quadrati n + (n + )[(n + ) + ]. (a) Passo di partenza: ( + ) ( + ) è vera (si noti che a primo membro c è una sommatoria con un solo addendo). (b) Passo induttivo: supponiamo che per un certo naturale n N sia vero che: n n(n + )(n + ) Consideriamo la somma dei quadrati dei primi n + naturali: Ora n(n + )(n + ) ( n ) + (n + ) per l ipotesi indutttiva n(n + )(n + ) + (n + ) ( ) n(n + ) + (n + ) (n + ) + n + (n + ) ( n + 7n + ) Ne viene che l affermazione è provata se è vera l uguaglianza: (n + ) [(n + ) + ] n + 7n + fatto di immediata verifica, in quanto basta moltiplicare (n + ) [(n + ) + ]. 3. È un risultato celeberrimo, e utilissimo, noto come disuguaglianza di Jaob Bernoulli (54-705). La tesi è ovvia se x 0, e per x quindi supporremo che sia x 0,. (a) Passo di partenza: se n la disuguaglianza di Bernoulli si riduce a ( + x) + x

3 (b) Passo induttivo, ammettiamo che esista n N per cui vale ( + x) n + nx. Siccome x > allora + x > 0 quindi: ( + x) n+ ( + x) n ( + x) ( + n x) ( + x) + ( + n) x + n x per l ipotesi indutttiva L ultimo termine è strettamente positivo, dunque: da cui l induttività cercata. ( + x) n+ + ( + n) x, 4. L affermazione può essere agevolmente provata anche senza usare l induzione essendo n + n n(n + ) il che evidenzia che uno dei due fattori a secondo membro è necessariamente un numero pari. (a) Passo di partenza: se n allora + (b) Passo induttivo: se per un certo n N il numero n + n è pari, ciò significa che esiste un p N tale per cui n + n p. Consideriamo l affermazione successiva: (n + ) + (n + ) n + n + + n + (n + n) + (n + ) p + (n + ) Il che mostra la nostra affermazione. 5. Passo di partenza. Se n la disequazione n+ + 4 n+ < 5 n+ diventa < 5 + cioé: 4 + < 5 Ammettiamo che n+ +4 n+ < 5 n+ sia vera per un naturale n N. Dobbiamo dimostrare il passo induttivo: n+ + 4 n+ < 5 n+? n+ + 4 n+ < 5 n+ Si ha: 4 n+ + n+ 4 4 n+ + n+ < 4 ( 4 n+ + n+) A questo punto usiamo l ipotesi induttiva n+ + 4 n+ < 5 n+ È ben noto che 4 < 5 quindi Abbiamo così 4 n+ + n+ 4 4 n+ + n+ < 4 ( 4 n+ + n+) < 4 5 n+ 4 n+ + n+ 4 4 n+ + n+ < 4 ( 4 n+ + n+) < 4 5 n+ < 5 5 n+ 4 n+ + n+ 4 4 n+ + n+ < 4 ( 4 n+ + n+) < 4 5 n+ < 5 5 n+ 5 n+. Per n (passo iniziale) l affermazione è evidente >. Supponiamo (passo induttivo) che per n N valga la relazione n > n. Allora: n+ n > n n + n > n Questa formula sarà utile nello studio successivo delle serie armoniche. (a) Passo di partenza. Se n la relazione si riduce all identità. n 3

4 (b) Passo induttivo. Supponiamo che: n valga per un certo n N. Dobbiamo allora provare l affermazione: n? n+ n + Osserviamo che per ogni n N vale la disuguaglianza: n + n + n + ( ) Infatti scrivendo ( ) come n n + n + ( a ) elevando al quadrato i due lati di ( a ), fatto lecito in quanto il secondo membro di ( a ) è positivo, troviamo n n + n + ( b ) n + L ultima disuguaglianza in ( b ) è vera, ciò implica che anche ( ) è vera. Ciò premesso usiamo ( ) nella dimostrazione del passo di induzione. Si ha n+ Usando l ipotesi induttiva otteniamo n+ + A questo punto invochiamo ( ) e concludiamo: n+ + + n + n + > n + n + > n + 8. Tratto da David A. Santos Discrete Mathematics Notes n + n + n +. (a) Passo di partenza: per n stiamo affermando che è divisibile per 9, fatto evidente. (b) Passo induttivo. Ammettiamo che esista p N tale che 3 3n+3 n 7 9p. Allora: Ora per ipotesi abbiamo che quindi 3 3(n+)+3 (n + ) n+3 (n + ) 7 ( + ) 3 3n+3 n 7 (3 3n+3 ) + 3 3n+3 n 7 (3 3n+3 ) + 9p 3 3n+3 9p + n + 7 9p + n + 3 3(n+)+3 (n + ) 7 (9p + n + ) + 9p ma questo dimostra la nostra affermazione in quanto il numero (9p + n + ) è multiplo di 9, come si comprende rammentando che 9 3 e che 3. 4

5 9. Ci serve rammentare la formula di duplicazione: e la formula di prostaferesi sin(x) sin x cos x. sin α sin β cos α + β sin α β (a) Passo di partenza: sin(( )x) cos x sin x vero in ragione della formula di duplicazione. (b) Passo induttivo. Supponiamo che, per n N valga: cos(( )x) cos x + + cos((n )x) sin(nx) sin x Passiamo a n + addendi, usando il passo induttivo: n+ cos(( )x) cos x + + cos((n )x) + cos((n + )x) sin(nx) sin x La tesi equivale ad affermare che sin(nx) sin x sin((n + )x) + cos((n + )x). sin x Moltiplicando i due lati per sin x troviamo che la tesi equivale a: o equivalentemente: sin(nx) + sin x cos((n + )x) sin((n + )x) + cos((n + )x). sin x cos((n + )x) sin((n + )x) sin(nx) ( ) La tesi si ottiene a questo punto applicando la citata formula di prostaferesi al secondo membro di ( ). 0. Tratto da (a) Passo di partenza: per n si ha sin α + cos α (b) Passo induttivo: ammettiamo che per n N si abbia sin n α + cos n α Osserviamo poi che comunque si prenda α abbiamo che si verifica sempre una delle tre situazioni: { { { sin α sin α < sin α < cos oppure α < cos oppure α cos α < Ciò detto, si ha: sin (n+) α + cos (n+) α sin n α sin α + cos n α cos α < sin n α + cos n. Tratto da 5

6 (a) Passo di partenza. Per n l affermazione è immediata in quanto a < a 3 essendo, per ipotesi, a >. (b) Passo induttivo. Ammettiamo che per un certo N valga (a + a + + a ) a 3 + a a 3. (A) Prendiamo un intero a + in modo che a + > a. Ne segue che vale anche a + a +. Ma allora abbiamo che: (a + ) a + a (a + ) Possiamo così usare la proprietà di somma delle progressioni aritmetiche per concludere che: (a + ) a + a (a + ) a + a + + a ( ) Moltiplicando i due lati di ( ) per a + otteniamo: ( a + a + ) a+ (a + a + + a ) a + ( ) Riscriviamo ( ) come (a + a + + a ) a + + a + a 3 +. (B) Sommando membro a membro (A) e (B) otteniamo la tesi induttiva. Esercizi proposti. Provare che per ogni n N si ha 3 n > n +. Provare che per ogni n N, n > si ha n > n + 3. Provare che per ogni n N, n > 4 si ha n > n 4. Provare che per ogni n N, n > 9 si ha n > n 3 5. Provare che per ogni n N il numero n(n 3n + ) è divisibile per. Provare che per ogni n N si ha! +! + + n! < 5n n 7. Provare che per ogni n N si ha 4 n n + (n)! (n!) 8. Provare che per ogni n N (a) n 3 n è divisibile per (b) 4n 3 n è divisibile per 3 (c) n è multiplo di 3 (d) n + 4 è multiplo di 5 (e) 3 n + è multiplo di 4 (f) 8 n è multiplo di 7 (g) 5 n + è multiplo di (h) 9 n è multiplo di 8 (i) n + è multiplo di 7 (j) 3n + è multiplo di 3 n+ 9. Provare che per ogni n N si ha ( ) 4n3 n 3

7 0. Si consideri la successione definita per ricorrenza: x x n x n, n > + x n Mostrare per induzione su n R che x n n. Provare, per induzione su n N le seguenti affermazioni:. (a) (b) + 4n + n n n + n 3 n ( )( + ) n n + 3. Dimostrare per induzione su n N, che: (a) (b) (c) (3 ) n ( n 3n ) (4 ) n ( n + n ) 3 n+ (c) (d) (d) (e) (f)! (n + )! ( + )! (n + )! n ( 3 ) n (n + ) (n ) ( + ) ( + ) n 3 n (n + ) 4 n(n + )(n + )(n + 3) 4 4. Sia m N. Provare, per induzione su, n N che il numero m +n + ( + m) +n è divisibile per + m ( + m) 5. Provare che, per ogni n N si ha (n + )! n. Provare per induzione su n N che: 7. Provare, per induzione su, n N che n n n 5 N 3 + n 8. Sia x ], 0[. Si dimostri per induzione su n N la seconda disuguaglianza di Bernoulli: ( + x) n < nx 9. Provare per induzione su n N che se x π, Z valgono sin(( )x) cos(nx) sin x sin((n + )x) sin x cos(x) sin x cos x cos((n + )x) sin(x) sin x (a) (b) (c) 7

Esercizi sul Principio d Induzione

Esercizi sul Principio d Induzione AM110 - ESERCITAZIONI I - II - 4 OTTOBRE 01 Esercizi sul Principio d Induzione Esercizio svolto 1. Dimostrare che per ogni n 1, il numero α(n) := n 3 + 5n è divisibile per 6. Soluzione. Dimostriamolo usando

Dettagli

04 - Logica delle dimostrazioni

04 - Logica delle dimostrazioni Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 04 - Logica delle dimostrazioni Anno Accademico 013/014 D. Provenzano,

Dettagli

Esercizi riguardanti limiti di successioni e di funzioni

Esercizi riguardanti limiti di successioni e di funzioni Esercizi riguardanti iti di successioni e di funzioni Davide Boscaini Queste sono le note da cui ho tratto le esercitazioni del giorno 0 Novembre 20. Come tali sono ben lungi dall essere esenti da errori,

Dettagli

ù ={0,1,2,3, } la cui prima funzione è contare.

ù ={0,1,2,3, } la cui prima funzione è contare. ESERCITAZIONE N.3 1 ottobre 007 I NUMERI NATURALI L'insieme dei numeri naturali è l insieme infinito ù {0,1,,3, } la cui prima funzione è contare. Abbiamo già visto che la scrittura ù {0,1,,3, } è scorretta,

Dettagli

Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Principio di induzione matematica

Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Principio di induzione matematica Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Principio di induzione matematica Il Principio di induzione matematica è una tecnica di dimostrazione che permette la dimostrazione simultanea di infinite affermazioni.

Dettagli

Elementi di Algebra e di Matematica Discreta Numeri interi, divisibilità, numerazione in base n

Elementi di Algebra e di Matematica Discreta Numeri interi, divisibilità, numerazione in base n Elementi di Algebra e di Matematica Discreta Numeri interi, divisibilità, numerazione in base n Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017) Elementi di Algebra e di Matematica

Dettagli

Analisi Matematica 1 (Modulo) Prove Parziali A.A. 1999/2008

Analisi Matematica 1 (Modulo) Prove Parziali A.A. 1999/2008 Analisi 1 Polo di Savona Analisi Matematica 1 (Modulo) Prove Parziali A.A. 1999/2008 1- PrA1.TEX [] Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 21/10/1998 Prima prova Parziale 21/10/1998 Si consideri

Dettagli

Massimo limite e minimo limite di una funzione

Massimo limite e minimo limite di una funzione Massimo limite e minimo limite di una funzione Sia f : A R una funzione, e sia p DA). Per ogni r > 0, l insieme ) E f p r) = { fx) x A I r p) \ {p} } è non vuoto; inoltre E f p r ) E f p r ) se 0 < r r.

Dettagli

NOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE

NOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE NOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE ROBERTO GIAMBÒ 1. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ In queste note saranno presentate alcune proprietà principali delle funzioni convesse di una variabile

Dettagli

1 Principio di Induzione

1 Principio di Induzione 1 Principio di Induzione Per numeri naturali, nel linguaggio comune, si intendono i numeri interi non negativi 0, 1,, 3, Da un punto di vista insiemistico costruttivo, a partire dall esistenza dell insieme

Dettagli

NOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n

NOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2- MM 9 NOVEMBRE 2 Combinazioni lineari e generatori Sia K un campo e V uno spazio vettoriale su K Siano v,, v n vettori in V Definizione Un vettore v V si dice combinazione lineare

Dettagli

Algoritmi e Strutture Dati

Algoritmi e Strutture Dati Analisi asintotica e Ricorrenze Esercizi Maria Rita Di Berardini, Emanuela Merelli 1 1 Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Camerino A.A. 2006/07 Notazioni O, Ω e Θ Parte I Notazioni

Dettagli

ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari

ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari Sommario Proprietà dell estremo superiore per R... 2 Definitivamente... 2 Successioni convergenti... 2 Successioni monotone... 2 Teorema di esistenza del limite

Dettagli

210 Limiti. (g) lim. (h) lim. x 3 + ln ; x 3 3. (i) lim. x 2 + ln(x + 2)(x 2) ; (j) lim. 6 (Prodotti di limiti non necessariamente finiti).

210 Limiti. (g) lim. (h) lim. x 3 + ln ; x 3 3. (i) lim. x 2 + ln(x + 2)(x 2) ; (j) lim. 6 (Prodotti di limiti non necessariamente finiti). 0 Limiti Diamoci da fare... (Soluzioni a pagina 47) Sia f () =, determinare δ affinché perogni + nell intervallo ( δ, + δ) f () 3 < oppure 0 f () 3 < 000. Dimostrare quindi che + = 3. Dimostrare, utilizzando

Dettagli

LEZIONE i i 3

LEZIONE i i 3 LEZIONE 5 51 Determinanti In questo lezione affronteremo da un punto di vista prettamente operativo la nozione di determinante, descrivendone le proprietà ed i metodi di calcolo, senza entrare nei dettagli

Dettagli

1 Numeri reali. Esercizi.

1 Numeri reali. Esercizi. Politecnico di Milano. Scuola di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 1 (Docente: Federico Lastaria) Settembre 2012 1 Numeri reali. Esercizi. Esercizio 1.1 (Un numero moltiplicato per zero

Dettagli

A.A CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5.

A.A CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5. A.A. 2015-2016. CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5. Esercizio 5.1. Determinare le ultime tre cifre di n = 13 1625. (Suggerimento. Sfruttare il Teorema di Eulero-Fermat)

Dettagli

vuol dire che preso M > 0 sufficientemente grande, esiste δ = δ(m) > 0 tale per cui x 1 > M lim

vuol dire che preso M > 0 sufficientemente grande, esiste δ = δ(m) > 0 tale per cui x 1 > M lim AMA Ing.Edile - Prof. Colombo Esercitazioni: Francesco Di Plinio - francesco.diplinio@libero.it Limiti - Soluzioni. Esercizio 5.2. ii) Dire che x 5 x + x = +, vuol dire che preso M > 0 sufficientemente

Dettagli

SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI

SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI Materiale propedeutico alle lezioni di Complementi di Analisi Matematica ed Elementi di Calcolo delle probabilità per il corso di Laurea in Ingegneria per la parte di Elementi

Dettagli

Precorso di Matematica

Precorso di Matematica UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE FACOLTA DI ARCHITETTURA Precorso di Matematica Anna Scaramuzza Anno Accademico 2005-2006 4-10 Ottobre 2005 INDICE 1. ALGEBRA................................. 3 1.1 Equazioni

Dettagli

ALGEBRA I: ASSIOMI DI PEANO E PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI

ALGEBRA I: ASSIOMI DI PEANO E PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI ALGEBRA I: ASSIOMI DI PEANO E PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI 1. GLI ASSIOMI DI PEANO Come puro esercizio di stile voglio offrire una derivazione delle proprietà elementari dei numeri naturali e delle operazioni

Dettagli

Funzioni derivabili (V. Casarino)

Funzioni derivabili (V. Casarino) Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI

DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI 1. L insieme dei numeri naturali Nel sistema assiomatico ZF, l Assioma dell infinito stabilisce che: Esiste un insieme A, i cui elementi sono insiemi e tale che

Dettagli

Allenamenti di matematica: Algebra e Teoria dei Numeri

Allenamenti di matematica: Algebra e Teoria dei Numeri Brescia, 18 novembre 2011 Allenamenti di matematica: Algebra e Teoria dei Numeri 1. (a) Risolvi l equazione x 3 12x 2 + 29x 18 = 0. (b) Risolvi l equazione precedente utilizzando il seguente metodo. Effettua

Dettagli

Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana /16

Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana /16 Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana - 015/16 Esercizio 1 Per quali valori n Z \ {0} l espressione è un numero intero positivo? (n + 5)(n + 6) 6n Soluzione. Il problema

Dettagli

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 18/03/2013

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 18/03/2013 CORSO DI ANALISI MATEMATICA SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 8/03/03 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO. La continuità uniforme I ESERCIZIO: Dimostrare che la funzione f(x) = x 3, x A = (, ] non è uniformemente continua

Dettagli

LEZIONE 4. { x + y + z = 1 x y + 2z = 3

LEZIONE 4. { x + y + z = 1 x y + 2z = 3 LEZIONE 4 4.. Operazioni elementari di riga. Abbiamo visto, nella precedente lezione, quanto sia semplice risolvere sistemi di equazioni lineari aventi matrice incompleta fortemente ridotta per righe.

Dettagli

Confronto locale di funzioni

Confronto locale di funzioni Confronto locale di funzioni Equivalenza di funzioni in un punto Sia A R ed f, g due funzioni definite in A a valori in R. Sia x 0 R un punto di accumulazione per A. Definizione. Si dice che f è equivalente

Dettagli

Una successione numerica è una funzione : che associa ad ogni numero naturale un numero reale :. In simboli:

Una successione numerica è una funzione : che associa ad ogni numero naturale un numero reale :. In simboli: Successioni numeriche Successioni Una successione numerica è una funzione : che associa ad ogni numero naturale un numero reale :. In simboli:. = Una successione è un insieme ordinato e infinito di numeri,

Dettagli

SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI

SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI Materiale propedeutico alle lezioni di Analisi Matematica per i corsi di Laurea in Ingegneria Energetica e Meccanica N-Z dell Università di Bologna. Anno Accademico 2003/2004.

Dettagli

2 non è un numero razionale

2 non è un numero razionale 2 non è un numero razionale 1. Richiami: numeri pari e dispari. Un numero naturale m è pari (rispettivamente dispari) se e solo se esiste un numero naturale r tale che m = 2r (rispettivamente m = 2r +

Dettagli

Sviluppi e derivate delle funzioni elementari

Sviluppi e derivate delle funzioni elementari Sviluppi e derivate delle funzioni elementari In queste pagine dimostriamo gli sviluppi del prim ordine e le formule di derivazioni delle principali funzioni elementari. Utilizzeremo le uguaglianze lim

Dettagli

04 - Numeri Complessi

04 - Numeri Complessi Università degli Studi di Palermo Scuola Politecnica Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 04 - Numeri Complessi Anno Accademico 2015/2016 M. Tumminello,

Dettagli

Limiti e continuità. Teoremi sui limiti. Teorema di unicità del limite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei limiti

Limiti e continuità. Teoremi sui limiti. Teorema di unicità del limite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei limiti Limiti e continuità Teorema di unicità del ite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei iti 2 2006 Politecnico di Torino 1 Se f(x) =` ` è unico Per assurdo, siano ` 6= `0 con f(x)

Dettagli

PREPARAZIONE ALLE GARE DI MATEMATICA - CORSO BASE

PREPARAZIONE ALLE GARE DI MATEMATICA - CORSO BASE Liceo Scientifico Gullace PREPARAZIONE ALLE GARE DI MATEMATICA - CORSO BASE Aritmetica 014-15 1 Lezione 1 DIVISIBILITÀ, PRIMI E FATTORIZZAZIONE Definizioni DIVISIBILITÀ': dati due interi a e b, diciamo

Dettagli

ANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI

ANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI ANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI Risolvere le seguenti disequazioni: ( 1 ) x < x + 1 1) 4x + 4 x ) x + 1 > x 4x x 10 ) x 4 x 5 4x + > ; 4) ; 5) 0; ) x 1 x + 1 x

Dettagli

Congruenze. Alberto Abbondandolo Forte dei Marmi, 17 Novembre 2006

Congruenze. Alberto Abbondandolo Forte dei Marmi, 17 Novembre 2006 Congruenze Alberto Abbondandolo Forte dei Marmi, 17 Novembre 2006 1 Il resto nella divisione tra interi Consideriamo i numeri naturali 0, 1, 2, 3,... ed effettuiamone la divisione per 3, indicando il resto:

Dettagli

Serie numeriche e serie di potenze

Serie numeriche e serie di potenze Serie numeriche e serie di potenze Sommare un numero finito di numeri reali è senza dubbio un operazione che non può riservare molte sorprese Cosa succede però se ne sommiamo un numero infinito? Prima

Dettagli

Disequazioni - ulteriori esercizi proposti 1

Disequazioni - ulteriori esercizi proposti 1 Disequazioni - ulteriori esercizi proposti Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni o sistemi di disequazioni:. 5 4 >. 4. < 4. 4 9 5. 9 > 6. > 7. < 8. 5 4 9. > > 4. < 4. < > 9 4 Non esitate a comunicarmi

Dettagli

IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA: DIMOSTRAZIONE VELOCE.

IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA: DIMOSTRAZIONE VELOCE. IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA: DIMOSTRAZIONE VELOCE. PH. ELLIA Indice Introduzione 1 1. Divisori di un numero. 1 2. Il Teorema Fondamentale dell Aritmetica. 2 3. L insieme dei numeri primi è

Dettagli

Principio di induzione: esempi ed esercizi

Principio di induzione: esempi ed esercizi Principio di induzione: esempi ed esercizi Principio di induzione: Se una proprietà P n dipendente da una variabile intera n vale per n e se, per ogni n N vale P n P n + allora P vale su tutto N Variante

Dettagli

LEZIONE 12. v = α 1 v α n v n =

LEZIONE 12. v = α 1 v α n v n = LEZIONE 12 12.1. Combinazioni lineari. Definizione 12.1.1. Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e v 1,..., v n V vettori fissati. Un vettore v V si dice combinazione lineare di v 1,..., v n se esistono

Dettagli

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria. Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo

Dettagli

Esercizi sulle equazioni differenziali a cura di Sisto Baldo, Elisabetta Ossanna e Sandro Innocenti

Esercizi sulle equazioni differenziali a cura di Sisto Baldo, Elisabetta Ossanna e Sandro Innocenti Esercizi sulle equazioni differenziali a cura di Sisto Baldo, Elisabetta Ossanna e Sandro Innocenti 1. Verifica che y(t) = 1 t + e t è una soluzione dell equazione y (t) = y(t) + t.. Scrivi un equazione

Dettagli

Matematica per Analisi dei Dati,

Matematica per Analisi dei Dati, Matematica per Analisi dei Dati, 230209 1 Spazio vettoriale R n Sia n un intero positivo fissato Lo spazio vettoriale R n e l insieme delle n ple ordinate di numeri reali, che rappresenteremo sempre come

Dettagli

Funzioni elementari: funzioni potenza

Funzioni elementari: funzioni potenza Funzioni elementari: funzioni potenza Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna (Università di Bologna) Funzioni elementari: funzioni potenza 1 / 36 Funzioni lineari Come abbiamo già visto,

Dettagli

LEZIONE N 3 METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA

LEZIONE N 3 METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA LEZIONE N 3 METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI N Numeri naturali Z : Numeri interi Q : Numeri razionali R : Numeri reali Q A meno di isomorfismi!!! R 5 π 2 3 11

Dettagli

Appunti di ANALISI MATEMATICA II Corso di Laurea Triennale in Matematica

Appunti di ANALISI MATEMATICA II Corso di Laurea Triennale in Matematica Appunti di ANALISI MATEMATICA II Corso di Laurea Triennale in Matematica Umberto Massari Anno accademico 3-4 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme Sia

Dettagli

Equivalentemente, le colonne di A sono linearmente indipendenti se e solo se

Equivalentemente, le colonne di A sono linearmente indipendenti se e solo se Lezioni di Algebra Lineare. Versione novembre 2008 VI. Il determinante Il determinante det A di una matrice A, reale e quadrata, è un numero reale associato ad A. Dunque det è una funzione dall insieme

Dettagli

Matematica ed Elementi di Statistica. Regole di calcolo

Matematica ed Elementi di Statistica. Regole di calcolo a.a. 2011/12 Laurea triennale in Scienze della Natura Matematica ed Elementi di Statistica Regole di calcolo Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

Argomenti della lezione. Criteri di divisibilità fattorizzazione m.c.m. e M.C.D. frazioni ed espressioni

Argomenti della lezione. Criteri di divisibilità fattorizzazione m.c.m. e M.C.D. frazioni ed espressioni Argomenti della lezione Criteri di divisibilità fattorizzazione m.c.m. e M.C.D. frazioni ed espressioni Quale cifra deve assumere la lettera c affinché i numeri 821c e 82c1 siano divisibili per 2? Un numero

Dettagli

se d=0 Dimostrazione In una progressione aritmetica la differenza tra ogni termine e quello predente è uguale a d:

se d=0 Dimostrazione In una progressione aritmetica la differenza tra ogni termine e quello predente è uguale a d: Progressioni aritmetiche Progressioni Una progressione aritmetica è una successione numerica tale che la differenza tra ogni termine e il suo precedente è costante. Tale differenza costante è detta ragione,

Dettagli

LEZIONE 15. (15.1.2) p(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n = a h x n h.

LEZIONE 15. (15.1.2) p(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n = a h x n h. LEZIONE 15 15.1. Polinomi a coefficienti complessi e loro e loro radici. In questo paragrafo descriveremo alcune proprietà dei polinomi a coefficienti complessi e delle loro radici. Già nel precedente

Dettagli

Metodi I Secondo appello

Metodi I Secondo appello Metodi I Secondo appello Chi recupera la prima prova fa la parte A in due ore. Chi recupera la seconda prova fa la parte B in due ore. Chi fa l appello per intero fa A., B., le prime tre domande di A.2

Dettagli

Concentriamo la nostra attenzione sull insieme dei numeri razionali Q. In Q sono definite

Concentriamo la nostra attenzione sull insieme dei numeri razionali Q. In Q sono definite Lezioni del 22 e 24 settembre. Numeri razionali. 1. Operazioni, ordinamento. Indichiamo con N, Z, Q gli insiemi dei numeri naturali, interi relativi, e razionali: N = {0, 1, 2,...} Z = {0, ±1, ±2,...}

Dettagli

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x. Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

In altri termini, il logaritmo in base a di b è quel numero c tale per cui a elevato a c è uguale a b. In simboli

In altri termini, il logaritmo in base a di b è quel numero c tale per cui a elevato a c è uguale a b. In simboli LOGARITMO Il logaritmo è un operatore matematico indicato generalmente con loga(b); detta a la base e b l'argomento, il logaritmo in base a di b è definito come l'esponente a cui elevare la base per ottenere

Dettagli

Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI

Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI È ben noto che in VO 3 si possono considerare strutture più ricche di quella di spazio vettoriale; si pensi in particolare all operazioni di prodotto scalare di vettori.

Dettagli

LIMITI - ESERCIZI SVOLTI

LIMITI - ESERCIZI SVOLTI LIMITI - ESERCIZI SVOLTI ) Verificare mediante la definizione di ite che a) 3 5) = b) = + ) c) 3n n + n+ = + d) 3+ = 3. ) Calcolare utilizzando i teoremi sull algebra dei iti a) 3 + ) b) + c) 0 + d) ±

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica

Esercizi di Analisi Matematica Università degli Studi di Udine Anno Accademico 006/07 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Informatica Esercizi di Analisi Matematica Esercizi del 3 ottobre 006 Dimostrare

Dettagli

ALGEBRA I: SOLUZIONI QUINTA ESERCITAZIONE 9 maggio 2011

ALGEBRA I: SOLUZIONI QUINTA ESERCITAZIONE 9 maggio 2011 ALGEBRA I: SOLUZIONI QUINTA ESERCITAZIONE 9 maggio 2011 Esercizio 1. Usando l algoritmo euclideo delle divisioni successive, calcolare massimo comune divisore e identità di Bézout per le seguenti coppie

Dettagli

Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 76-93

Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 76-93 Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 76-93 5. Funzioni continue Soluzione dell Esercizio 76. Osserviamo che possiamo scrivere p() = n (a n + u()) e q() = m (b m + v()) con lim

Dettagli

Divisibilità per 4. Riprendiamo il nostro numero. se e solo se

Divisibilità per 4. Riprendiamo il nostro numero. se e solo se Divisibilità per 4 Riprendiamo il nostro numero N = a n 10 n + a n 1 10 n 1 + + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0 Osserviamo che le potenze di dieci sono divisibili per 4 a partire da 10 2 e quindi tutti gli addendi

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica I

Esercizi di Analisi Matematica I Esercizi di Analisi Matematica I (corso tenuto dal Prof Alessandro Fonda) Università di Trieste, CdL Fisica e Matematica, aa 2012/2013 1 Principio di induzione 1 Dimostrare che per ogni numero naturale

Dettagli

LEZIONE 2. ( ) a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, ove a j, b R sono fissati.

LEZIONE 2. ( ) a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, ove a j, b R sono fissati. LEZIONE 2 2 Sistemi di equazioni lineari Definizione 2 Un equazione lineare nelle n incognite x, x 2,, x n a coefficienti reali, è un equazione della forma (2 a x + a 2 x 2 + + a n x n = b, ove a j, b

Dettagli

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 15/04/2013

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 15/04/2013 CORSO DI ANALISI MATEMATICA SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 5/04/03 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO. Integrali Impropri Esercizio. (CRITERIO DEL CONFRONTO). Dimostrare che se f : (a, b] R e g(x) : (a, b] R sono integrabili

Dettagli

Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag-10 61

Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag-10 61 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag-10 61 (15.9) Teorema. Consideriamo il piano affine. Se A A 2 (K) è un punto e r una retta che non passa per A, allora esiste unica la retta per A che non interseca

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti Discutendo graficamente la disequazione x > 3 + x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne

Dettagli

Soluzioni dei quesiti della maturità scientifica A.S. 2009/2010

Soluzioni dei quesiti della maturità scientifica A.S. 2009/2010 Soluzioni dei quesiti della maturità scientifica AS 009/010 Nicola Gigli Sun-Ra Mosconi giugno 010 Quesito 1 Un generico polinomio di grado n si può scrivere nella forma p(x) a 0 + a 1 x + + a n x n dove

Dettagli

1 Polinomio di Taylor 1. 2 Formula di Taylor 2. 3 Alcuni sviluppi notevoli 2. 4 Uso della formula di Taylor nel calcolo dei limiti 4

1 Polinomio di Taylor 1. 2 Formula di Taylor 2. 3 Alcuni sviluppi notevoli 2. 4 Uso della formula di Taylor nel calcolo dei limiti 4 1 POLINOMIO DI TAYLOR 1 Formula di Taylor Indice 1 Polinomio di Taylor 1 Formula di Taylor 3 Alcuni sviluppi notevoli 4 Uso della formula di Taylor nel calcolo dei iti 4 5 Soluzioni degli esercizi 6 La

Dettagli

3x + x 5x = x = = 4 + 3x ; che equivale, moltiplicando entrambi i membri per 2, a risolvere. 4x + 6 x = 4 + 3x.

3x + x 5x = x = = 4 + 3x ; che equivale, moltiplicando entrambi i membri per 2, a risolvere. 4x + 6 x = 4 + 3x. 1 Soluzioni esercizi 1.1 Equazioni di 1 e grado Risolvere le seguenti equazioni di 1 grado: 1) 3x 5x = 1 x. Abbiamo: 3x + x 5x = 1 + x = 1 + 4 x = 5. ) x + 3 x = + 3x. Facciamo il m.c.m. : 4x + 6 x = 4

Dettagli

Lezione 3 - Teoria dei Numeri

Lezione 3 - Teoria dei Numeri Lezione 3 - Teoria dei Numeri Problema 1 Trovare il più piccolo multiplo di 15 formato dalle sole cifre 0 e 8 (in base 10). Il numero cercato dev'essere divisibile per 3 e per 5 quindi l'ultima cifra deve

Dettagli

Introduciamo ora un altro campo, formato da un numero finito di elementi; il campo delle classi resto modulo n, con n numero primo.

Introduciamo ora un altro campo, formato da un numero finito di elementi; il campo delle classi resto modulo n, con n numero primo. Capitolo 3 Il campo Z n 31 Introduzione Introduciamo ora un altro campo, formato da un numero finito di elementi; il campo delle classi resto modulo n, con n numero primo 32 Le classi resto Definizione

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 2 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 2 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 2 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

Argomento 2 IIparte Funzioni elementari e disequazioni

Argomento 2 IIparte Funzioni elementari e disequazioni Argomento IIparte Funzioni elementari e disequazioni Applicazioni alla risoluzione di disequazioni Disequazioni di I grado Per la risoluzione delle disequazioni di primo grado per via algebrica, si veda

Dettagli

LABORATORIO SU QUESTIONI DIDATTICHE NELLA MATEMATICA

LABORATORIO SU QUESTIONI DIDATTICHE NELLA MATEMATICA LABORATORIO SU QUESTIONI DIDATTICHE NELLA MATEMATICA Filomena Cianciaruso 3 Febbraio 2014 Riessioni sull'insegnamento di alcuni Concetti Fondamentali dell'analisi Matematica Filomena Cianciaruso () Riessioni

Dettagli

Parte Seconda. Prova di selezione culturale

Parte Seconda. Prova di selezione culturale Parte Seconda Prova di selezione culturale TEORIA DEGLI INSIEMI MATEMATICA ARITMETICA Insieme = gruppo di elementi di cui si può stabilire inequivocabilmente almeno una caratteristica in comune. Esempi:

Dettagli

misura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x

misura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x 4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto

Dettagli

Dispense del corso di Algebra 1. Soluzioni di alcuni esercizi

Dispense del corso di Algebra 1. Soluzioni di alcuni esercizi Dispense del corso di Algebra 1 Soluzioni di alcuni esercizi Esercizio 1.1. 1) Vero; ) Falso; 3) V; 4) F; 5) F; 6) F (infatti: {x x Z,x < 1} {0}); 7) V. Esercizio 1.3. Se A B, allora ogni sottoinsieme

Dettagli

Prova del 6 Marzo, Traccia della soluzione. Problema n. 1. BDA = α 2. sin α α = 1 e che analogamente si dimostra l altro limite notevole tan α

Prova del 6 Marzo, Traccia della soluzione. Problema n. 1. BDA = α 2. sin α α = 1 e che analogamente si dimostra l altro limite notevole tan α IIASS International Institute for Advanced Scientific Studies Eduardo R. Caianiello Circolo di Matematica e Fisica Dipartimento di Fisica E.R. Caianiello Università di Salerno Premio Eduardo R. Caianiello

Dettagli

m = a k n k + + a 1 n + a 0 Tale scrittura si chiama rappresentazione del numero m in base n e si indica

m = a k n k + + a 1 n + a 0 Tale scrittura si chiama rappresentazione del numero m in base n e si indica G. Pareschi COMPLEMENTI ED ESEMPI SUI NUMERI INTERI. 1. Divisione con resto di numeri interi 1.1. Divisione con resto. Per evitare fraintendimenti nel caso in cui il numero a del Teorema 0.4 sia negativo,

Dettagli

1 Relazione di congruenza in Z

1 Relazione di congruenza in Z 1 Relazione di congruenza in Z Diamo ora un esempio importante di relazione di equivalenza: la relazione di congruenza modn in Z. Definizione 1 Sia X = Z, a,b Z ed n un intero n > 1. Si dice a congruo

Dettagli

Gli insiemi N, Z e Q. I numeri naturali

Gli insiemi N, Z e Q. I numeri naturali Università Roma Tre L. Chierchia 1 Gli insiemi N, Z e Q Il sistema dei numeri reali (R, +,, ) può essere definito tramite sedici assiomi: quindici assiomi algebrici (si veda ad esempio 2.3 in [Giusti,

Dettagli

x 1 Fig.1 Il punto P = P =

x 1 Fig.1 Il punto P = P = Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA ESERCITAZIONI DI ANALISI MATEMATICA I BREVI RICHIAMI DELLA TEORIA DEI LIMITI. Confronto di infinitesimi. Sia A sottoinsieme di R, sia 0 punto di accumulazione di A nella topologia

Dettagli

Frazioni. 8 Esercizi di Analisi Matematica Versione Argomenti: Operazioni sulle frazioni Tempo richiesto: Completare la seguente tabella: a b

Frazioni. 8 Esercizi di Analisi Matematica Versione Argomenti: Operazioni sulle frazioni Tempo richiesto: Completare la seguente tabella: a b 8 Esercizi di Analisi Matematica ersione 2006 razioni Argomenti: Operazioni sulle frazioni Difficoltà: Tempo richiesto: Completare la seguente tabella: a b a + b a b 1/3 1/2 1/3 1/2 1/3 1/2 a b a a + b

Dettagli

Corso di Laurea in Matematica a.a. 2009/2010

Corso di Laurea in Matematica a.a. 2009/2010 Corso di Laurea in Matematica a.a. 009/010 (1) Il numero ( 5) 4 è uguale a: (a) 5 (b) 8 5 (c) 5 (d) 4 5 () Il numero log 4 16 è uguale a: (a) 4 (b) 8 (c) (d) 1/ (3) È vero che: (a) 5 > 3 4 (b) 5 > 8 5

Dettagli

LEZIONE 8. k e w = wx ı + w y j + w z. k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero

LEZIONE 8. k e w = wx ı + w y j + w z. k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero LEZINE 8 8.1. Prodotto scalare. Dati i vettori geometrici v = v x ı + v y j + v z k e w = wx ı + j + k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero v, w = ( v x v y v z ) w x = v x + v y + v z.

Dettagli

Esercitazione di Analisi Matematica I Esercizi e soluzioni 19/04/2013 TOPOLOGIA

Esercitazione di Analisi Matematica I Esercizi e soluzioni 19/04/2013 TOPOLOGIA Esercitazione di Analisi Matematica I Esercizi e soluzioni 9/04/203 TOPOLOGIA Mostrare che uno spazio infinito con la metrica discreta non può essere compatto Soluzione: Per la metrica discreta d : X X

Dettagli

F 2. i = F n F n+1. i=1 F 2 1 = 1 = F 1 F 2. Per n 1, supponiamo vero per n, dimostriamo per n + 1. F 2i+1 = F 2n+2. i=0

F 2. i = F n F n+1. i=1 F 2 1 = 1 = F 1 F 2. Per n 1, supponiamo vero per n, dimostriamo per n + 1. F 2i+1 = F 2n+2. i=0 1 ESERCIZI 1 Esercizi 1.1 Fibonacci1 Dimostrare che F 2 i = F n F n+1. Dimostrazione. Per induzione su n. Per n = 1 si ha F 2 1 = 1 = F 1 F 2. Per n 1, supponiamo vero per n, dimostriamo per n + 1. n+1

Dettagli

19 LIMITI FONDAMENTALI - II

19 LIMITI FONDAMENTALI - II 19 LIMITI FONDAMENTALI - II 3. Il ite che permette il calcolo di forme indeterminate in cui sono presenti funzioni logaritmiche è: log1 + = 1. La dimostrazione di questo ite si ha subito dal ite Esempio.

Dettagli

DIMOSTRAZIONI E TAUTOLOGIE, IPOTESI NON TAUTOLOGICHE. Corso di Logica per la Programmazione A.A. 2013/14 Andrea Corradini

DIMOSTRAZIONI E TAUTOLOGIE, IPOTESI NON TAUTOLOGICHE. Corso di Logica per la Programmazione A.A. 2013/14 Andrea Corradini DIMOSTRAZIONI E TAUTOLOGIE, IPOTESI NON TAUTOLOGICHE Corso di Logica per la Programmazione A.A. 2013/14 Andrea Corradini INFERENZE CORRETTE E TAUTOLOGIE Il Calcolo Proposizionale permette di formalizzare

Dettagli

Kangourou della Matematica 2017 Coppa Kangourou a squadre Finale Cervia, 7 maggio Quesiti

Kangourou della Matematica 2017 Coppa Kangourou a squadre Finale Cervia, 7 maggio Quesiti Kangourou della Matematica 2017 Coppa Kangourou a squadre Finale Cervia, 7 maggio 2017 Quesiti 1. Speciale Chiamiamo numero speciale un numero intero (positivo) di quattro cifre (significative) tale che

Dettagli

Soluzioni degli esercizi sulle Formule di Taylor

Soluzioni degli esercizi sulle Formule di Taylor Soluzioni degli esercizi sulle Formule di Taylor Formule di MacLaurin più usate (h, n numeri interi non negativi; a numero reale): e t =+t + t! + t3 tn +... + 3! n! + o(tn ) ln( + t) =t t + t3 3 t4 4 +...

Dettagli

ESERCIZI DEL CORSO DI MATEMATICA PER LA LAUREA IN STATISTICA, ECONOMIA, FINANZA E ASSICURAZIONI.

ESERCIZI DEL CORSO DI MATEMATICA PER LA LAUREA IN STATISTICA, ECONOMIA, FINANZA E ASSICURAZIONI. ESERCIZI DEL CORSO DI MATEMATICA PER LA LAUREA IN STATISTICA, ECONOMIA, FINANZA E ASSICURAZIONI... Esercizi svolti in classe.. VENERDÌ 28 FEBBRAIO ) a) Quante sono le possibili targhe formate da 7 simboli,

Dettagli

Limiti di successioni

Limiti di successioni Capitolo 5 Limiti di successioni 5.1 Successioni Quando l insieme di definizione di una funzione coincide con l insieme N costituito dagli infiniti numeri naturali 1, 2, 3,... talvolta si considera anche

Dettagli

1. Scrivere il termine generale a n delle seguenti successioni e calcolare lim n a n:

1. Scrivere il termine generale a n delle seguenti successioni e calcolare lim n a n: Serie numeriche.6 Esercizi. Scrivere il termine generale a n delle seguenti successioni e calcolare a n: a),, 4, 4 5,... b), 9, 4 7, 5 8,... c) 0,,,, 4,.... Studiare il comportamento delle seguenti successioni

Dettagli

Forme indeterminate e limiti notevoli

Forme indeterminate e limiti notevoli Forme indeterminate e iti notevoli Limiti e continuità Forme indeterminate e iti notevoli Forme indeterminate Teorema di sostituzione Limiti notevoli Altre forme indeterminate 2 2006 Politecnico di Torino

Dettagli

Esercizio. Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a. [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m

Esercizio. Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a. [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m Vale la [1] perché per le proprietà delle potenze risulta a m a

Dettagli

Temi di Aritmetica Modulare

Temi di Aritmetica Modulare Temi di Aritmetica Modulare Incontri Olimpici 013 SALVATORE DAMANTINO I.S.I.S. MALIGNANI 000 - CERVIGNANO DEL FRIULI (UD) 15 Ottobre 013 1 Relazione di congruenza modulo un intero Definizione 1.1. Sia

Dettagli