Esercizi per il corso Matematica clea

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1 Esercizi per il corso Matematica clea Daniele Ritelli anno accademico 008/009 Lezione : Numeri naturali e principio di induzione Esercizi svolti. Provare che n. Provare che n n(n + ) n(n + )(n + ) 3. Provare che se x un numero reale, allora per ogni n N: ( + x) n + n x 4. Provare che n + n è pari per ogni n N 5. Provare che n+ + 4 n+ < 5 n+ per ogni n N. Provare che n > n per ogni n N 7. Provare che n per ogni n N 8. Provare che 3 3n+3 n 7 è multiplo di 9 per ogni n N 9. Provare che, se x mπ, m Z, per ogni n N vale cos x + cos(3x) + + cos((n )x) sin(nx) sin x 0. Provare che per ogni n N si ha: sin n α + cos n α. Siano a < a < < a n interi positivi distinti. Provare che: (a + a + + a n ) a 3 + a a 3 n Soluzione Ogni prova è divisa in due fasi, il passo di partenza ( S) ed il passo induttivo (n S n+ S). Si tratta di una formula molto famosa, relativa alla somma dei primi n numeri. (a) Passo di partenza: ( + ) è vera (si noti che a primo membro c è una sommatoria con un solo addendo).

2 (b) Passo induttivo: supponiamo che per un certo naturale n N sia vero che: n Consideriamo la somma dei primi n + naturali: ( n) + n + per l ipotesi indutttiva n(n + ) n(n + ) + n + Ora n(n + ) ( n ) + n + (n + ) + (n + )[(n + ) + ] il che dimostra il passo induttivo in quanto abbiamo visto che:. Qui si sommano i primi n quadrati n + (n + )[(n + ) + ]. (a) Passo di partenza: ( + ) ( + ) è vera (si noti che a primo membro c è una sommatoria con un solo addendo). (b) Passo induttivo: supponiamo che per un certo naturale n N sia vero che: n n(n + )(n + ) Consideriamo la somma dei quadrati dei primi n + naturali: Ora n(n + )(n + ) ( n ) + (n + ) per l ipotesi indutttiva n(n + )(n + ) + (n + ) ( ) n(n + ) + (n + ) (n + ) + n + (n + ) ( n + 7n + ) Ne viene che l affermazione è provata se è vera l uguaglianza: (n + ) [(n + ) + ] n + 7n + fatto di immediata verifica, in quanto basta moltiplicare (n + ) [(n + ) + ]. 3. È un risultato celeberrimo, e utilissimo, noto come disuguaglianza di Jaob Bernoulli (54-705). La tesi è ovvia se x 0, e per x quindi supporremo che sia x 0,. (a) Passo di partenza: se n la disuguaglianza di Bernoulli si riduce a ( + x) + x

3 (b) Passo induttivo, ammettiamo che esista n N per cui vale ( + x) n + nx. Siccome x > allora + x > 0 quindi: ( + x) n+ ( + x) n ( + x) ( + n x) ( + x) + ( + n) x + n x per l ipotesi indutttiva L ultimo termine è strettamente positivo, dunque: da cui l induttività cercata. ( + x) n+ + ( + n) x, 4. L affermazione può essere agevolmente provata anche senza usare l induzione essendo n + n n(n + ) il che evidenzia che uno dei due fattori a secondo membro è necessariamente un numero pari. (a) Passo di partenza: se n allora + (b) Passo induttivo: se per un certo n N il numero n + n è pari, ciò significa che esiste un p N tale per cui n + n p. Consideriamo l affermazione successiva: (n + ) + (n + ) n + n + + n + (n + n) + (n + ) p + (n + ) Il che mostra la nostra affermazione. 5. Passo di partenza. Se n la disequazione n+ + 4 n+ < 5 n+ diventa < 5 + cioé: 4 + < 5 Ammettiamo che n+ +4 n+ < 5 n+ sia vera per un naturale n N. Dobbiamo dimostrare il passo induttivo: n+ + 4 n+ < 5 n+? n+ + 4 n+ < 5 n+ Si ha: 4 n+ + n+ 4 4 n+ + n+ < 4 ( 4 n+ + n+) A questo punto usiamo l ipotesi induttiva n+ + 4 n+ < 5 n+ È ben noto che 4 < 5 quindi Abbiamo così 4 n+ + n+ 4 4 n+ + n+ < 4 ( 4 n+ + n+) < 4 5 n+ 4 n+ + n+ 4 4 n+ + n+ < 4 ( 4 n+ + n+) < 4 5 n+ < 5 5 n+ 4 n+ + n+ 4 4 n+ + n+ < 4 ( 4 n+ + n+) < 4 5 n+ < 5 5 n+ 5 n+. Per n (passo iniziale) l affermazione è evidente >. Supponiamo (passo induttivo) che per n N valga la relazione n > n. Allora: n+ n > n n + n > n Questa formula sarà utile nello studio successivo delle serie armoniche. (a) Passo di partenza. Se n la relazione si riduce all identità. n 3

4 (b) Passo induttivo. Supponiamo che: n valga per un certo n N. Dobbiamo allora provare l affermazione: n? n+ n + Osserviamo che per ogni n N vale la disuguaglianza: n + n + n + ( ) Infatti scrivendo ( ) come n n + n + ( a ) elevando al quadrato i due lati di ( a ), fatto lecito in quanto il secondo membro di ( a ) è positivo, troviamo n n + n + ( b ) n + L ultima disuguaglianza in ( b ) è vera, ciò implica che anche ( ) è vera. Ciò premesso usiamo ( ) nella dimostrazione del passo di induzione. Si ha n+ Usando l ipotesi induttiva otteniamo n+ + A questo punto invochiamo ( ) e concludiamo: n+ + + n + n + > n + n + > n + 8. Tratto da David A. Santos Discrete Mathematics Notes n + n + n +. (a) Passo di partenza: per n stiamo affermando che è divisibile per 9, fatto evidente. (b) Passo induttivo. Ammettiamo che esista p N tale che 3 3n+3 n 7 9p. Allora: Ora per ipotesi abbiamo che quindi 3 3(n+)+3 (n + ) n+3 (n + ) 7 ( + ) 3 3n+3 n 7 (3 3n+3 ) + 3 3n+3 n 7 (3 3n+3 ) + 9p 3 3n+3 9p + n + 7 9p + n + 3 3(n+)+3 (n + ) 7 (9p + n + ) + 9p ma questo dimostra la nostra affermazione in quanto il numero (9p + n + ) è multiplo di 9, come si comprende rammentando che 9 3 e che 3. 4

5 9. Ci serve rammentare la formula di duplicazione: e la formula di prostaferesi sin(x) sin x cos x. sin α sin β cos α + β sin α β (a) Passo di partenza: sin(( )x) cos x sin x vero in ragione della formula di duplicazione. (b) Passo induttivo. Supponiamo che, per n N valga: cos(( )x) cos x + + cos((n )x) sin(nx) sin x Passiamo a n + addendi, usando il passo induttivo: n+ cos(( )x) cos x + + cos((n )x) + cos((n + )x) sin(nx) sin x La tesi equivale ad affermare che sin(nx) sin x sin((n + )x) + cos((n + )x). sin x Moltiplicando i due lati per sin x troviamo che la tesi equivale a: o equivalentemente: sin(nx) + sin x cos((n + )x) sin((n + )x) + cos((n + )x). sin x cos((n + )x) sin((n + )x) sin(nx) ( ) La tesi si ottiene a questo punto applicando la citata formula di prostaferesi al secondo membro di ( ). 0. Tratto da (a) Passo di partenza: per n si ha sin α + cos α (b) Passo induttivo: ammettiamo che per n N si abbia sin n α + cos n α Osserviamo poi che comunque si prenda α abbiamo che si verifica sempre una delle tre situazioni: { { { sin α sin α < sin α < cos oppure α < cos oppure α cos α < Ciò detto, si ha: sin (n+) α + cos (n+) α sin n α sin α + cos n α cos α < sin n α + cos n. Tratto da 5

6 (a) Passo di partenza. Per n l affermazione è immediata in quanto a < a 3 essendo, per ipotesi, a >. (b) Passo induttivo. Ammettiamo che per un certo N valga (a + a + + a ) a 3 + a a 3. (A) Prendiamo un intero a + in modo che a + > a. Ne segue che vale anche a + a +. Ma allora abbiamo che: (a + ) a + a (a + ) Possiamo così usare la proprietà di somma delle progressioni aritmetiche per concludere che: (a + ) a + a (a + ) a + a + + a ( ) Moltiplicando i due lati di ( ) per a + otteniamo: ( a + a + ) a+ (a + a + + a ) a + ( ) Riscriviamo ( ) come (a + a + + a ) a + + a + a 3 +. (B) Sommando membro a membro (A) e (B) otteniamo la tesi induttiva. Esercizi proposti. Provare che per ogni n N si ha 3 n > n +. Provare che per ogni n N, n > si ha n > n + 3. Provare che per ogni n N, n > 4 si ha n > n 4. Provare che per ogni n N, n > 9 si ha n > n 3 5. Provare che per ogni n N il numero n(n 3n + ) è divisibile per. Provare che per ogni n N si ha! +! + + n! < 5n n 7. Provare che per ogni n N si ha 4 n n + (n)! (n!) 8. Provare che per ogni n N (a) n 3 n è divisibile per (b) 4n 3 n è divisibile per 3 (c) n è multiplo di 3 (d) n + 4 è multiplo di 5 (e) 3 n + è multiplo di 4 (f) 8 n è multiplo di 7 (g) 5 n + è multiplo di (h) 9 n è multiplo di 8 (i) n + è multiplo di 7 (j) 3n + è multiplo di 3 n+ 9. Provare che per ogni n N si ha ( ) 4n3 n 3

7 0. Si consideri la successione definita per ricorrenza: x x n x n, n > + x n Mostrare per induzione su n R che x n n. Provare, per induzione su n N le seguenti affermazioni:. (a) (b) + 4n + n n n + n 3 n ( )( + ) n n + 3. Dimostrare per induzione su n N, che: (a) (b) (c) (3 ) n ( n 3n ) (4 ) n ( n + n ) 3 n+ (c) (d) (d) (e) (f)! (n + )! ( + )! (n + )! n ( 3 ) n (n + ) (n ) ( + ) ( + ) n 3 n (n + ) 4 n(n + )(n + )(n + 3) 4 4. Sia m N. Provare, per induzione su, n N che il numero m +n + ( + m) +n è divisibile per + m ( + m) 5. Provare che, per ogni n N si ha (n + )! n. Provare per induzione su n N che: 7. Provare, per induzione su, n N che n n n 5 N 3 + n 8. Sia x ], 0[. Si dimostri per induzione su n N la seconda disuguaglianza di Bernoulli: ( + x) n < nx 9. Provare per induzione su n N che se x π, Z valgono sin(( )x) cos(nx) sin x sin((n + )x) sin x cos(x) sin x cos x cos((n + )x) sin(x) sin x (a) (b) (c) 7