Divisibilità per 4. Riprendiamo il nostro numero. se e solo se

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1 Divisibilità per 4 Riprendiamo il nostro numero N = a n 10 n + a n 1 10 n a a a 0 Osserviamo che le potenze di dieci sono divisibili per 4 a partire da 10 2 e quindi tutti gli addendi a n 10 n, a n 1 10 n 1,, a sono sicuramente congrui a zero modulo 4, mentre non possiamo sapere a priori nulla su a a 0. Quindi a n 10 n + a n 1 10 n a a a 0 0 mod 4 se e solo se a a 0 0 mod 4

2 Criterio di divisibilità per 4 Un numero è divisibile per 4 se e solo se il numero rappresentato dalle ultime due cifre è divisibile per è divisibile per 4 sse 42 0 mod 4. Poiché 42 0 mod 4, il numero non è divisibile per è divisibile per 4? è divisibile per 4? è divisibile per 4? è divisibile per 4?

3 Divisibilità per 3 Osserviamo che 10 1 mod 3 e per la P2 a 1 10 a 1 mod 3 Per la proprietà P mod 3 e per la P2 a a 2 mod mod 3 e per la P2 a a 3 mod 3 10 n 1 mod 3 e per la P2 a n 10 n a n mod 3

4 Riconsideriamo il nostro N = a n 10 n + + a a a a 0 Per le osservazioni precedenti e per la P1 a n 10 n + + a a a a 0 a n + + a 3 + a 2 + a 1 + a 0 mod 3 Quindi N è divisibile per 3 se e solo se a n + a n a 2 + a 1 + a 0 0 mod 3

5 Un esempio Studio la divisibilità per 3 di = = = So che 6 6 mod mod 3 e quindi mod 3, cioè mod mod 3 e quindi mod mod 3 e quindi mod 3 Allora posso dire che 3246= mod 3 Poiché =15 0 mod 3 (è divisibile per 3), anche mod 3, cioè è divisibile per 3.

6 Criterio di divisibilità per 3 Un numero è divisibile per 3 se e solo se la somma delle sue cifre è divisibile per mod mod 3 e quindi mod 3, cioè è divisibile per 3

7 Divisibilità per 9 Rifacendo il ragionamento precedente per la congruenza modulo 9 anziché modulo 3, si ottiene il seguente Criterio di divisibilità per 9 Un numero è divisibile per 9 se e solo se la somma delle sue cifre è divisibile per 9 Il numero è divisibile per 9?

8 Osserviamo che Divisibilità per mod 11 e quindi a 1 10 a 1 mod mod 11 e quindi a a 2 mod mod 11 e quindi a a 3 mod n 1 mod 11 quindi a n 10 n a n mod 11 se n è dispari 10 n 1 mod 11 quindi a n 10 n a n mod 11 se n è pari Quindi.

9 a n 10 n + a n 1 10 n a a a 0 a 0 a 1 + a 2 a 3 + a 4 a 5 mod 11 Quindi un numero è divisibile per 11 se e solo se a 0 a 1 + a 2 a 3 + a 4 a 5 0 mod mod mod 11 NON è divisibile per 11 E divisibile per 11 il numero ?

10 Criterio di divisibilità per 11 Un numero è divisibile per 11 se e solo se la somma a segno alterno delle sue cifre è divisibile per 9

11 La prova del 9 Analizziamo, basandoci su un esempio, cosa facciamo quando mettiamo in atto la «prova del 9» Moltiplichiamo 8297 (il numero a) per 3583 (il numero b) e otteniamo il prodotto (il numero c).

12 Per fare le prova del 9 1. Sommiamo le cifre del moltiplicando finché non otteniamo un unica cifra =26 e poi 2+6= 8 2. Sommiamo le cifre del moltiplicatore finché non otteniamo un unica cifra =19 e poi 1+9= 10 e ancora 1+0 = 1 3. Moltiplichiamo i due numeri ottenuti in precedenza, cioè 8 x 1= 8 4. Sommiamo le cifre del prodotto finché non otteniamo un unica cifra =35 e poi 3+5=8 5. Confrontiamo i numeri ottenuti al passo 3 e al passo 4. Se sono uguali concludiamo (sbagliando!! Ma vedremo poi perché.) che l operazione è stata svolta correttamente.

13 Rivediamo gli stessi passi alla luce delle congruenze modulo 9 1. Consideriamo il numero a una cifra congruo modulo 9 del moltiplicando mod 9 e 26 8 mod 9 2. Consideriamo il numero a una cifra congruo modulo 9 del moltiplicatore mod 9 e mod 9 e 10 1 mod 9 3. Dall essere mod mod 9 Segue che mod 9 per la proprietà P3 4. A questo punto dobbiamo solo verificare che il prodotto sia congruo a 8 modulo mod 9 cioè 35 8 mod 9 5. concludiamo (sbagliando!! Ma vedremo poi perché.) che l operazione è stata svolta correttamente.

14 Riassumendo Quando si moltiplicano a e b e si ottiene il prodotto c si considera il fatto che, dall uguaglianza Segue ab=c ab c mod m Dove m è un numero qualsiasi. Nella prova del 9 si considera che m sia 9 (ma se fosse 3, cambierebbe qualcosa nella prova???? Stiamo facendo forse anche «una prova del 3»??)

15 Allora Per la P3 so che a a 1 mod 9 b b 1 mod 9 ab a 1 b 1 mod 9 E quindi, se ab=c deve essere c a 1 b 1 mod 9 Nota bene: E vero che la prova deve lavorare per ogni m, ma la congruenza modulo 9 e modulo 3 è semplice perché si riduce alla somma delle cifre. In alternativa, si potrebbe formulare la «prova dell 11» ricorrendo alla somma alternata.

16 Osservazioni La prova del 9 lavora solo sulle moltiplicazioni o anche su addizione e sottrazione? Funziona su tutte!!! (ma limitiamoci ad addizione e sottrazione) Consideriamo la somma a+b=c a a 1 mod 9 b b 1 mod 9 Per la P1 so che a + b a 1 + b 1 mod 9 E quindi, se a+b=c deve essere c a 1 + b 1 mod 9

17 Esempio = mod mod mod 9 Devo verificare che la somma sia congrua a mod 9 Perché posso «ignorare» le cifre uguali a 9 o le somme uguali a 9? Nel caso precedente (6+3)+(8+1)+4

18 Una situazione possibile Un vostro allievo vi presenta la seguente moltiplicazione = 5856 dicendo che il risultato è corretto perché la prova del 9 «torna» e in effetti «torna», ma il risultato non è corretto. Come reagite? A. Dite di rifare la moltiplicazione glissando sulla correttezza della prova del 9 B. Cogliete la palla al balzo per illustrare come si deve usare la prova del 9

19 Il risultato corretto della precedente moltiplicazione è 5865 e non A noi però interessa la somma e se cambia l ordine degli addendi, la somma rimane la stessa, ma cambia il numero che viene rappresentato = ma !!! Se l allievo avesse paradossalmente ottenuto il risultato 3399, 6000, 1230 la prova del 9 avrebbe sempre dato esito positivo perché la somma delle cifre avrebbe sempre dato 6

20 Ma allora la prova del 9 non funziona? La prova del 9 deve essere interpretata in questo modo: se dà esito negativo, la moltiplicazione è sbagliata, ma se dà esito positivo non è detto che la moltiplicazione sia giusta. In termini più formali, se la moltiplicazione è svolta correttamente la prova del 9 dà esito positivo, ma l esito positivo non è sufficiente per garantire l esattezza della moltiplicazione: si tratta cioè di una condizione necessaria ma non sufficiente

21 Ci sono prove più affidabili? Per coniugare semplicità e maggiore (ma non totale) affidabilità si potrebbe usare la prova dell 11, perché il fatto di dover sommare con segno alternato evita il problema della permutazione di due cifre adiacenti x 2591 = (corretto ) mod 9 e mod mod 9 e mod x mod x mod mod mod 11 La prova del 9 non «sente» l errore, mentre la prova dell 11 se ne accorge!

22 Materiali per la didattica Sito dell Unione Matematica Italiana (UMI) In fondo, nella sezione Materiali per la Scuola, scaricare il file pdf corrispondente a Matematica Contiene proposte didattiche relative a «numero, spazio e figure, relazioni, dati e previsioni, argomentare, misurare, problemi»

23 Esperienze didattiche sul numero Tratte da Matematica 2001 Introduzione e schema delle proposte didattiche e Proposte didattiche