Le operazioni fondamentali in R L ADDIZIONE
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- Graziano Bianco
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1 Le operazioni fondamentali in R REGOLA DEI SEGNI + per + dà + per dà + + per dà per + dà (+5) + (+9) = = + 14 (+5) + ( 3) = = + 2 ( 5) + ( 9) = 5 9 = 14 ( 5) + (+3) = = 2 L ADDIZIONE Quando 2 segni sono vicini si deve applicare la REGOLA DEI SEGNI e poi calcolare l operazione seguendo le regole: 1) la somma di due numeri RELATIVI CONCORDI è il numero relativo che ha: lo stesso SEGNO degli addendi come valore assoluto la SOMMA dei VALORI ASSOLUTI; (+7) + (+4) = = +11 concordi ( 7) + ( 4) = = 11 concordi 2) la somma di due numeri RELATIVI DISCORDI è il numero relativo che ha: 1
2 per segno il SEGNO dell addendo che ha il maggiore valore assoluto come valore assoluto la DIFFERENZA fra i VALORI ASSOLUTI degli addendi. (+7) + ( 4) = = +3 discordi ( 7) + (+4) = 7 4 = 3 discordi 2 + (+4) = = = +2 Proprietà: La somma di due numeri relativi opposti è uguale a zero. ( + 5 ) + ( 5 ) = +5 5 = 0 La somma di tre o più numeri relativi: (+8) + ( 3) + (+4) + ( 5) = Applico la regola dei segni: = Sposto tutti i numeri positivi davanti e dietro tutti i negativi: = Sommo i numeri CONCORDI: = +4 REGOLA per calcolare la somma di più numeri relativi, si può: 1. calcolare la somma di tutti i numeri positivi 2. calcolare la somma di tutti i numeri negativi 3. sommare algebricamente i due risultati parziali (si fa la MENO) 2
3 LA SOTTRAZIONE Regola: Analogamente all addizione si deve eseguire la REGOLA DEI SEGNI fra i segni vicini e poi si procede seguendo le regole viste prima. Esempi: ( + 8 ) ( + 3 ) = +8 3 = = +5 ( + 9 ) ( 2 ) = = +11 ( 12 ) ( + 5 ) = 12 5 = = 17 ( 12 ) ( 5 ) = = 12 5 = 7 Proprietà della sottrazione: Quando tutta la parentesi è preceduta dal segno, si può togliere la parentesi SOLO se si cambia il segno di tutti i termini contenuti nella parentesi. ( ) = ( ) = = = = ( ) = = = + 9 3
4 Def: Si dice ADDIZIONE ALGEBRICA una successione di addizioni e di sottrazioni fra numeri relativi. Il risultato si dice SOMMA ALGEBRICA. ( ) ( ) 2 5 = = ( ) ( ) = = 17 5 ( ) 2 5 = = = = = = 25 5 = 5 4
5 LA MOLTIPLICAZIONE Def: Il PRODOTTO di due numeri relativi (entrambi diversi da zero) è il numero relativo che ha: per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti per segno quello ottenuto con la regola dei segni: il segno + se i due fattori sono concordi (stesso segno) il segno se i due fattori sono discordi (segni diversi) ( + 5) ( + 2 ) = +10 ( 5 ) ( 2 ) = +10 ( 5 ) ( + 2 ) = 10 ( + 5 ) ( 2 ) = 10 PRODOTTO DI PIÙ NUMERI RELATIVI ( 4) (+5) ( 2) = ( 20) ( 2) = +40 (+2) ( 3) ( 4) (+10) ( 2) = ( 6) ( 40) ( 2) = (+240) ( 2) = 480 5
6 REGOLA: il prodotto di tre o più numeri relativi è il numero relativo che ha: per valore assoluto il prodotto di tutti i valori assoluti per segno: il segno + se i fattori negativi sono in numero pari il segno se i fattori negativi sono in numero dispari. Proprietà della moltiplicazione: COMMUTATIVA Il prodotto di numeri relativi non cambia cambiando l ordine dei fattori ( 3 ) ( + 6 ) = ( + 6 ) ( 3 ) = 18 ASSOCIATIVA: Il prodotto di tre o più numeri relativi non cambia se a due o più di essi si sostituisce il loro prodotto. DISSOCIATIVA: ( 3 ) ( + 6 ) ( 2 ) = ( 18 ) ( 2 ) = +36 Il prodotto di due o più numeri relativi non cambia se uno o più di essi vengono sostituiti da fattori, il cui prodotto sia uguale al fattore sostituito. Es. ( 3) (+24) ( 2) = ( 3) ( 4) ( 6) ( 2) =
7 DISTRIBUTIVA DEL PRODOTTO RISPETTO ALL ADDIZIONE ALGEBRICA: Per moltiplicare una somma algebrica per un numero relativo, si può moltiplicare ciascun addendo per quel numero e addizionare poi i prodotti ottenuti. Esempi: (+8) (+2 3) = = (+ 8 2 ) + ( 8 3 ) = = ( 24) = = = 8 ( ) ( 2) = = [( + 7 ) ( 2 )] + [( + 4 ) ( 2 )] + [( 2 ) ( 2 )] = = 14 + [ 8 ] + [ + 4] = = = 18 CASI PARTICOLARI: LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO Il prodotto di due o più fattori è uguale a ZERO se almeno uno dei fattori è uguale a zero, e viceversa. ( + 3 ) ( + 6 ) ( 21 ) ( 0 ) = 0 ELEMENTO NEUTRO: +1 ( + 3 ) ( + 1 ) = +3 ( 3 ) ( + 1 ) = 3 ATTENZIONE: il numero 1 non è elemento neutro, perché inverte il segno! 7
8 Def: Due numeri si dicono INVERSI o RECIPROCI fra loro se il loro prodotto è uguale a +1. (+4) il suo inverso è (+ 1 4 ) perché ( 5) il suo inverso è ( 1 5 ) perché (+4) (+ 1 4 ) = = +1 ( 5) ( 1 5 ) = = il suo inverso è perché 1 8 il suo inverso è 8 1 perché (+ 2 7 ) (+ 7 2 ) = +1 ( 1 8 ) ( 8 1 ) = +1 Def: due numeri si dicono ANTIRECIPROCI se il loro prodotto è: 1. (+4) il suo ANTIRECIPROCO è ( 1 ) perchè 4 (+4) ( 1 4 ) = = 1 ( 3 5 ) il suo ANTIRECIPROCO è (+ 5 3 ) perché ( 3 5 ) (+ 5 3 ) = = 1 8
9 DIVISIONE Def: Il QUOZIENTE di due numeri relativi è il numero relativo che ha: per valore assoluto il QUOZIENTE DEI VALORI ASSOLUTI per segno quello ottenuto con la REGOLA DEI SEGNI, ovvero: Esempi: il segno + se il dividendo e il divisore sono concordi (stesso segno) il segno se il dividendo e il divisore sono discordi (segno diverso) (+10): (+2) = + 10: 2 = +5 ( 10): ( 2) = + 10: 2 = +5 (+10): ( 2) = 10: 2 = 5 ( 10): (+2) = 10: 2 = 5 Proprietà: Il quoziente fra due numeri relativi, di cui il secondo non nullo, si può ottenere moltiplicando il primo per il RECIPROCO del secondo. ( 5): ( 3 2 ) = = ( 5 4 ) : (+15) = =
10 Casi particolari: se due numeri relativi sono uguali il loro quoziente è +1 ( 3) ( 3) = +1 se due numeri relativi sono opposti il loro quoziente è 1 (+ 3 ) ( 3 ) = 1 se il divisore è +1 il quoziente è uguale al dividendo (+5) (+1) = +5 ( 12 ) ( + 1 ) = 12 se il divisore è 1 il quoziente è uguale all opposto del dividendo (+5) ( 1) = 5 ( 12 ) ( 1 ) = + 12 se il dividendo è 0 e il divisore è diverso da 0, il quoziente è 0 0 (+4) = 0 0 ( 3 ) = 0 se il divisore è 0 il quoziente non esiste (la divisione perde di significato) ( 8) 0 = impossibile x R perché non c è nessun numero che moltiplicato per 0 dà come risultato -8 se dividendo e divisore sono entrambi uguali a 0 il quoziente è indeterminato, cioè può avere un valore qualsiasi. Es : 0 0 = indeterminato. xεr 10
11 Proprietà INVARIANTIVA: Se moltiplichiamo (o dividiamo) dividendo e divisore per UNO STESSO NUMERO relativo diverso da zero, il quoziente non cambia. Esempi: ( 14) (+ 7) = 2 ( 14 2) (+ 7 2) = ( 28) (+14) = 2 (+ 24) ( 8) = 3 (+24 2) ( 8 2) = (+12) ( 4) = 3 Osservazione: questa proprietà si utilizza ogni volta che si semplifica numeratore e denominatore in una frazione = 10: 2 12: 2 =
12 LE ESPRESSIONI ALGEBRICHE NUMERICHE 1. Si risolvono i calcoli all interno delle parentesi TONDE, poi QUADRE e poi GRAFFE; 2. Eliminate tutte le parentesi si risolvono i calcoli seguendo l ordine: PRIMA si risolvono le moltiplicazioni e le divisioni POI le somme algebriche. ( ) : ( 15 4 ) + ( ) : (+ 5 9 ) = si risolvono le parentesi tonde ( ) : ( ) + ( 18 ) : ( ) = ( ) : ( 15 4 ) + ( 5 12 ) : (+ 5 9 ) = si risolvono prima le divisioni o moltiplicazioni ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = ( 1 9 ) + ( 3 4 ) = si risolvono le somme algebriche togliendo le parentesi = =
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