OPERAZIONI CON LE FRAZIONI

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1 OPERAZIONI CON LE FRAZIONI a) FRAZIONI CON LO STESSO DENOMINATORE = 7 9 Regola: La SOMMA di due o più frazioni che hanno lo stesso denominatore è la frazione che ha: per numeratore la SOMMA dei numeratori per denominatore lo STESSO denominatore. b) FRAZIONI CON DENOMINATORE DIVERSO = Non si può calcolare immediatamente il risultato perché i DENOMINATORI sono DIVERSI: 1) Si deve calcolare l m.c.m. dei denominatori m.c.m. ( 3, 4, ) = 60

2 ) Si devono trasformare TUTTE le frazioni in altre equivalenti con lo stesso denominatore = = = ) Adesso si possono sommare i NUMERATORI, lasciando i DENOMINATORI uguali = = = OSSERVAZIONE: Si può evitare un passaggio scrivendo subito la linea di frazione unica con: DENOMINATORE = mcm (3,4,) = 60 NUMERATORE = SOMMA DEI NUOVI NUMERATORI = = Esempio: = 6 18 = 18 OSSERVAZIONI: se le frazioni da addizionare NON sono ridotte ai minimi termini BISOGNA SEMPLIFICARLE, prima di fare i calcoli. Esempio: = dobbiamo semplificare = 3+ = Se il risultato non è ridotto ai minimi termini, occorre semplificare. Se si trovano dei numeri interi bisogna considerarli come frazioni con DENOMINATORE = + 3 = 10+3 = 13 m.c.m. ( 1, ) = 1

3 a) FRAZIONI CON LO STESSO DENOMINATORE Regola: La DIFFERENZA di due o più frazioni che hanno lo stesso denominatore è la frazione che ha: per NUMERATORE la DIFFERENZA tra i numeratori per DENOMINATORE lo STESSO denominatore = 9 13 = 4 13 b) FRAZIONI CON DENOMINATORE DIVERSO Come per le addizioni si deve: 1) Ridurre le singole frazioni ai minimi termini ) Trovare l m.c.m. tra tutti i denominatori 3) Il risultato è una frazione che ha per DENOMINATORE l m.c.m. e per NUMERATORE la DIFFERENZA tra i nuovi numeratori = = 1 30 mcm ( 10, 1 ) = 30 = 30 = 6 3 = 3 1 = 1 = = = 7 6 = 1 3 3

4 Def: si dice FRAZIONE COMPLEMENTARE una frazione che sommata a quella data dà come risultato l unità. la sua frazione complementare è 7 7 Perché + = 7 = Regola: il PRODOTTO di due o più frazioni è la frazione che ha: per numeratore il PRODOTTO dei numeratori per denominatore il PRODOTTO dei denominatori = = = = = 3 ATTENZIONE: nell esempio precedente si poteva SEMPLIFICARE le frazioni all inizio: 4 con 8 con 1 Questo tipo di semplificazione si dice: SEMPLIFICAZIONE INCROCIATA. OSSERVAZIONE Se le frazioni da moltiplicare sono più di due si deve: 1. SEMPLIFICARE INCROCIANDO, un qualsiasi numeratore con un qualsiasi denominatore;. MOLTIPLICARE i numeratori rimasti tra loro

5 3. MOLTIPLICARE i denominatori rimasti tra loro = si deve semplificare incrociando OSSERVAZIONE: se nella moltiplicazione uno dei fattori è un numero intero, si deve trasformare in frazione con denominatore = = 8 Def: due frazioni si dicono INVERSE o RECIPROCHE se il loro prodotto è uguale a 1. La frazione INVERSA o RECIPROCA di una frazione data si ottiene scambiando il numeratore con il denominatore. a b b inversa a

6 a 1 b 1 b 1 a1 = 1 7 l inversa è 7 infatti: 7 7 = 1 Regola di calcolo: per dividere una frazione per un altra (diversa da zero) si moltiplica la prima frazione per l INVERSA della seconda. 1 : 4 1 = = = 9 ESPRESSIONI CON LE FRAZIONI Valgono le stesse regole viste per le espressioni con i numeri interi. Prima di iniziare i calcoli si DEVE SEMPRE SEMPLIFICARE le frazioni.

7 POTENZE DELLE FRAZIONI Def: Si dice POTENZA di una FRAZIONE il prodotto di più frazioni uguali fra loro. La frazione si dice BASE e il numero di fattori si dice ESPONENTE. ( a b )n = a b a b a b. n volte = an b n a b è la base e n è l esponente Regola: per elevare a potenza una frazione si elevano all esponente sia il numeratore che il denominatore. ( 3 4 ) = = = 3 4 = 9 16 ( ) 4 = 4 4 = 16 6 Proprietà delle potenze 3 7 = (3 7 )1 ( 3 7 )0 = 1 ( 3 7 ) ( 3 7 )4 = ( 3 7 )+4 = ( 3 7 )6 somma tra gli esponenti prodotto tra le basi (uguali),

8 ( 3 7 )8 : ( 3 7 )3 = ( 3 7 )8 3 = ( 3 7 ) quoziente tra le basi (uguali), differenza tra gli esponenti [( 3 7 )8 ] esponenti = ( 3 7 )8 = ( 3 7 )16 potenza di potenza, prodotto tra gli ( 3 7 )3 ( 14 9 )3 ( )3 = ( )3 = ( 4 1 )3 basi diverse, ma stesso esponente, prodotto tra le basi lasciando lo stesso esponente ( 18 ) : ( 9 ) = ( 18 : 9 ) = ( 18 9 ) = ( ) basi diverse, ma stesso esponente, quoziente tra le basi lasciando lo stesso esponente