L insieme dei numeri Razionali

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1 L insieme dei numeri Razionali 1

2 Prendiamo confidenza col concetto di Numero Razionale La necessità di "ripartire m oggetti in n gruppi ciascuno con lo stesso numero di oggetti" si presenta frequentemente in Matematica. Il semplice problema di distribuire equamente 28 mele fra 7 bambini si risolve mediante una DIVISIONE, la 28:7=4. Il numero 4 esprime la quantità di mele che tocca ad ogni bambino. Se ora si prende la quantità di mele data a ogni bambino (4 mele), e la si moltiplica per il numero dei bambini (7), si riottiene il numero totale delle mele (28). Proprio questo desideravamo, ai fini di una ripartizione equa : di determinare quel numero di mele che, moltiplicato per il numero dei bambini, desse come risultato il numero totale di mele a disposizione. Avendo, invece, 12 mele e 8 bambini, la divisione 12:8 (cioè: la ricerca di un numero che moltiplicato per 8 dia 12) non ha risultato nell'insieme dei numeri naturali. Si esce dall impasse con l idea seguente: lasciamo indicata l'operazione 12:8 (magari, per comodità, scrivendola come 12/8) e diciamo: il risultato di questa operazione non è un numero naturale; è una nuova entità numerica, che si colloca al di fuori dell'insieme dei numeri naturali. COS E UNA FRAZIONE Il quoziente indicato fra due numeri interi (il secondo dei quali diverso da zero) si dice "frazione". Una frazione è un simbolo per indicare un'entità numerica che non è, di solito, un numero intero. L' entità numerica che viene indicata col simbolo 12/8, potrebbe essere indicata, indifferentemente, anche col simbolo 0/20, dato che, quando si distribuiscono 12 mele a 8 bambini, e quando si distribuiscono 0 mele a 20 bambini, in entrambi i casi ciascun bambino riceve la stessa quantità di mele (una mela intera, più uno dei due pezzi di un altra mela, tagliata in due parti uguali). Altri modi di indicare la stessa entità numerica potrebbero essere: /2; 6/4; /6; 1/10; 18/12; 21/14; ecc. ecc. Ricapitolando: i simboli /2, 6/4, /6, 12/8, 1/10, 18/12, 21/14, 24/16, 27/18, 0/20, ecc. sono tutti modi equivalenti per esprimere lo stesso numero. 2

3 COS E UN NUMERO RAZIONALE Un numero esprimibile sotto forma di frazione (cioè, sotto forma di "rapporto fra due numeri interi") viene chiamato "NUMERO RAZIONALE" (dal latino "ratio", fra i cui significati c è anche quello di "rapporto, quoziente"). Ma allora, in definitiva, che differenza c'è fra "frazione" e "numero razionale"? Diciamo che una frazione è un "simbolo", e più frazioni equivalenti sono simboli equivalenti per esprimere uno stesso numero razionale. In altre parole: tutte le infinite frazioni /2, 6/4, /6, 12/8, 1/10, 18/12, 21/14, 24/16, 27/18, 0/20, ecc. "hanno in comune un qualche cosa": insomma, "confrontando", "rapportando", il numero col numero 2, si ottiene "la stessa cosa", "la stessa entità astratta", che si otterrebbe rapportando il numero 6 col numero 4, o il numero col numero 6, ecc. ecc. Quel "qualcosa", quel "quid", che è comune a tutte le frazioni equivalenti ad una frazione data, viene detto "numero razionale". Ciascuna delle infinite frazioni equivalenti considerate è "una rappresentante" di questa "entità" astratta chiamata il "numero razionale". Vediamola anche così: l'insieme delle frazioni può essere suddiviso in "classi di equivalenza". Date due frazioni m/n e p/q, diciamo che sono "equivalenti" se risulta mq = np (osserviamo che in questo modo, ci stiamo riconducendo un confronto fra due numeri naturali, ossia a una nozione già acquisita). Ciascuna classe di frazioni equivalenti (=ciascun insieme di frazioni, tutte equivalenti fra loro) si dice "numero razionale"; o, meglio, si dice "numero razionale" quel "qualcosa" che è comune a tutte le frazioni appartenenti ad una stessa classe di equivalenza.

4 Consideriamo ora le seguenti uguaglianze: 4/1 = 4; 1/ = ; 0/7 = 0; = 18/6; 2 = 2/1; n = n/1 Esse ci dicono che i numeri naturali possono essere scritti sotto forma di frazione; quindi, che i numeri naturali sono particolari numeri razionali. Insomma, l'insieme N dei numeri naturali è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri razionali. Quest'ultimo viene di solito indicato con Q a, dove la Q proviene dall'inglese "quotient" = quoziente, e l indice a segnala che intendiamo riferirci ai razionali assoluti, ossia senza segno (il passaggio, poi, ai razionali relativi, sarà del tutto ovvio, come il passaggio dai naturali agli interi relativi). La situazione dal punto di vista insiemistico è perciò la seguente: 4

5 Definizione di Numero Razionale Definizione Si dice "frazione" una coppia ordinata di numeri interi, il secondo dei quali diverso da 0. Nell'insieme delle frazioni, definiamo la seguente relazione di equivalenza: m p = mq = np. n q Definizione Si dice "numero razionale" l'insieme di tutte le frazioni equivalenti ad una frazione data (se si preferisce: si dice "numero razionale" l'entità astratta comune a tutte le frazioni equivalenti ad una frazione data). Un numero razionale si indica ponendo entro parentesi quadre una qualsiasi delle infinite frazioni che possono rappresentare il numero razionale in questione. [4/6] = {2/, 4/6, 6/, 8/12, 10/1, 12/18,...} [4/6] è un numero razionale. [4/6] = [2/] = [20/0] =... Nella pratica, è consuetudine scrivere semplicemente m/n anziché [m/n]. Ad esempio, la scrittura 1/ potrà indicare, indifferentemente, la frazione 1/ oppure il numero razionale [1/]. In questo contesto si intende che stiamo parlando dei numeri razionali assoluti: il loro insieme si indica con Q a. Con Q indicheremo invece l'insieme dei numeri razionali relativi. (Tuttavia, quando è chiaro dal contesto, si può usare il simbolo Q in luogo di Q a ).

6 Le operazioni in Q Così come il concetto di "numero razionale" è stato introdotto a partire da quello di "numero naturale", così le operazioni fra numeri razionali vengono definite utilizzando le operazioni già precedentemente definite sull'insieme N; lo stesso dicasi per il criterio di confronto fra due razionali. Definizione (confronto in Q a ) Dati due numeri razionali a = [m/n] e b = [p/q], si dice che a<b se e solo se mq<np. Si può dimostrare che la definizione è corretta, cioè che l'esito del confronto non dipende dalle particolari due frazioni che si sono scelte per rappresentare a, b. Definizione (somma in Q a ) Si dice "somma" dei due numeri razionali a, b rappresentati rispettivamente dalle frazioni n m e q p, mq + pn il numero razionale c che è rappresentato dalla frazione ( ). nq Per indicare che c è la somma di a con b scriveremo c=a+b. Si può dimostrare che la definizione è corretta, cioè che il valore di c non dipende dalle particolari due frazioni che si sono scelte per rappresentare a, b. Brevemente, dunque: si dice "somma" di due numeri razionali [m/n], [p/q] il numero razionale [(mq+np)/nq]. Definizione (prodotto in Q a ) Si dice "prodotto" di due numeri razionali [m/n], [p/q] il numero razionale [mp/nq]. Si può dimostrare che la definizione è corretta, cioè che il valore del risultato non dipende dalle particolari frazioni scelte per rappresentare gli operandi. Sottrazione e divisione vengono poi definite come operazioni inverse, esattamente come era stato fatto nell'ambito dell'insieme N dei naturali. 6

7 Proprietà delle operazioni Q a è un insieme dotato di due operazioni interne, "+" e " " Q a è chiuso rispetto a queste due operazioni, cioè il risultato di ogni operazione su due numeri razionali è ancora un numero razionale. (Questo fatto è evidente per la somma e lo diventa anche per il prodotto se si considera che il risultato di a/b c/d è ac/bd, e poiché b 0 e d 0, anche bd 0, cioè il risultato è sempre un numero razionale). Le proprietà di queste operazioni nell operare sugli elementi di Q a vengono definite in maniera assiomatica come segue: Le operazioni sono entrambe commutative e associative. L'elemento neutro della somma è il numero razionale 1 0. Infatti L'elemento neutro del prodotto è 1 1, infatti a 0 a 1 + b 0 a + = =. b 1 b 1 b a 1 a =. b 1 b Ogni numero razionale x = b a ammette come opposto (cioè elemento inverso rispetto alla somma) il numero a b (che indichiamo con -x); infatti: a + b ba ab ab = 2 b 0 = 2 b = 1 0 ; (Attenzione. E chiaro che questa proprietà non vale nell insieme dei numeri razionali assoluti.) in Q esiste l'inverso rispetto al prodotto di qualunque numero razionale diverso da 1 0. L'inverso di b a è a b, infatti: a b ab 1 = =. b a ba 1 7

8 Indichiamo con il simbolo x -1 (oppure 1/x) l'inverso di un numero razionale x. In Q vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma. In modo del tutto analogo a quanto fatto con gli interi si può introdurre in Q una relazione d'ordine. Siano x = b a e y = d c due numeri razionali con x y. Diremo che x è maggiore di y se e solo se x - y è un numero razionale positivo. (Poiché x - y = b a - d c = ad bc, risulta x > y se e solo se (ad - bc) (bd) > 0 in Z). bd 8

9 Operare con le frazioni Concetti introduttivi La frazione è un operatore che ci permette di dividere l'intero in parti uguali e di considerare alcune di esse; pertanto la frazione m/n è un operatore sull'intero che ci permette di dividerlo in n parti uguali (quante ne indica il denominatore) e considerarne m (quante ne indica il numeratore). Una frazione indica quindi una parte di tutto l'intero. 8 Questa frazione rappresenta delle 8 parti in cui è stato diviso l'intero L'unità frazionaria 1/n rappresenta una sola delle n parti in cui si divide l'intero 1 7 Questa frazione rappresenta 1 delle 7 parti in cui è stato diviso l'intero Una frazione si dice propria se presenta il numeratore minore del denominatore ; ; 12 4 Queste sono delle frazioni PROPRIE Una frazione si dice impropria se presenta il ; ; numeratore maggiore del denominatore Queste sono delle frazioni IMPROPRIE Una frazione si dice apparente se presenta il numeratore uguale o multiplo del denominatore ; ; Queste sono delle frazioni APPARENTI

10 Equivalenza moltiplicando o dividendo sia il numeratore che il denominatore di una frazione per uno stesso numero (diverso da 0) si ottiene una frazione equivalente a quella data. = Queste sono 2 frazioni EQUIVALENTI Una frazione si può trasformare in un altra equivalente ed avente un dato denominatore solamente se questo è multiplo di quello della frazione data (o della stessa ridotta ai minimi termini). Per fare questa trasformazione si moltiplicano il numeratore e il denominatore della frazione data (o della stessa ridotta ai minimi termini) per il quoziente fra il nuovo denominatore e quello della frazione data (o della stessa ridotta ai minimi termini) Trasformare la frazione 2 in un altra equivalente ed avente come denominatore è impossibile. 10

11 Riducibilità e semplificazione Una frazione è riducibile se numeratore e denominatore ammettono divisori comuni Una frazione è irriducibile se numeratore e denominatore sono primi fra loro Questa frazione è RIDUCIBILE 7 Questa frazione è IRRIDUCIBILE Semplificare una frazione riducibile significa trasformarla in un altra equivalente avente i termini più piccoli. La semplificazione si effettua dividendo il numeratore e il denominatore per un loro divisore comune. Ridurre una frazione ai minimi termini significa trasformarla in un altra equivalente ed irriducibile. La riduzione ai minimi termini di una frazione si effettua dividendo il numeratore e il denominatore per il loro M.C.D. Fraz. Riducibile da semplificare 1 Frazione RIDOTTA AI MINIMI TERMINI 11

12 Confronto Confronto di due frazioni: 1) Se due frazioni sono una propria e l altra impropria è maggiore quella impropria 7 4 2) Se due frazioni hanno lo stesso denominatore, è maggiore quella che ha numeratore maggiore 8 ) Se due o più frazioni hanno lo stesso numeratore, è maggiore quella che ha denominatore minore 4 8 4) Se due frazioni hanno numeratore e denominatore diversi si riducono al m.c.d. e si confrontano come al punto 2 Riduzione allo stesso denominatore Per ridurre più frazioni al m.c.d. (minimo comune denominatore) si procede nel modo seguente: 1) si riducono le frazioni ai minimi termini 2) si calcola il m.c.m. dei denominatori (cioè il m.c.d.) ) si trasformano rispettivamente le frazioni date in altre equivalenti aventi come denominatore il m.c.d. Le seguenti frazioni 7 ; 6 8 ridotte al m.c.d. diventano 7 ;

13 Operazioni con le frazioni SOMMA E DIFFERENZA Somma di frazioni con lo stesso denominatore: Per sommare frazioni con lo stesso denominatore, somma i numeratori. Esempio Somma di frazioni con diverso denominatore: Per sommare frazioni che hanno differenti denominatori, riduci le frazioni allo stesso denominatore; quindi somma i numeratori. Esempio 1

14 PRODOTTO Prodotto: Per moltiplicare le frazioni, moltiplica i numeratori e i denominatori. Esempio Semplificazione: Per semplificare una frazione dividi il numeratore e il denominatore per i fattori comuni. Esempio 14

15 QUOZIENTE Quoziente: Per dividere due frazioni moltiplica la prima per l'inversa della seconda. Esempio ELEVAMENTO A POTENZA Elevamento a potenza: a b n a = b n n Per elevare all esponente n due frazioni si elevano alla n-esima potenza sia il numeratore che il denominatore. Esempio 2 = 2 2 = 2 1