Rappresentazione numeri con e senza segno ([PH] par. 2.4) Giovedì 1 ottobre 2015 (ore 9-13)

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1 Rappresentazione numeri con e senza segno ([PH] par. 2.4) Giovedì 1 ottobre 2015 (ore 9-13)

2 Punto della situazione Abbiamo visto: la rappresentazione dei numeri positivi con e senza virgola nel sistema posizionale; in particolare basi 2, 8, 10, 16 e conversioni Codifica simboli non numerici (ASCII) Oggi vedremo le rappresentazioni per numeri con il segno; in particolare la rappresentazione in complemento a 2 e la sua aritmetica. Oggi 4 ore: lezione ed esercitazioni Domani: né lezione né ricevimento

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5 Rappresentazione in complemento a 2: vantaggi Una sola rappresentazione per lo zero Intervallo di rappresentazione: [-2 n-1, 2 n-1 1 ] per es. con 4 bit [-8, +7] anzichè [-7, +7] L aritmetica è più semplice Cambiare di segno/ ottenere l opposto è ancora semplice. Un osservazione.

6 Somma di potenze consecutive di = k i 0 2 i 2 k = ( )= = (2 7 1) (2 2 1) = k i h 2 i k h

7 Complemento a Due Il bit più a sinistra/più significativo viene utilizzato come segno: 0 significa positivo 1 significa negativo Il peso del bit di segno è negativo Il valore di b n-1 b n-2 b 0 è dato dalla relazione N 2 n 1 b n 1 n 2 i 0 2 i b i

8 Esempio con n=4 bit = = = = = = = = 7 Massimo=7 minimo= = = -8 +1= = -8+2= = -8+3 = = -8+4= = -8+5= = -8+6= = -8+7=-1 Intervallo di rappresentazione con 4 bit: [-8, +7]

9 Esempio con n=32 bit = = = = = = Massimo= minimo= = = = = = = = =-1 Intervallo di rappresentazione con 32 bit: [- 2 31, ]

10 Numeri Rappresentabili 8 bit in Complemento a = = = = bit in Complemento a = = = = bit in Complemento a = = = = -2 31

11 Intervallo di rappresentabilità Numeri rappresentabili con n bit in Complemento a 2 minimo: = -2 n-1 Massimo: = 2 n-1 1 [-2 n-1, 2 n-1 1 ]

12 Vantaggi Una sola rappresentazione per lo zero L aritmetica è più semplice Cambiare di segno/ ottenere l opposto è ancora semplice. La rappresentazione in complemento a 2 di un intero negativo si può ottenere trovando la rappresentazione in complemento a 2 del suo valore assoluto e calcolando poi l opposto.

13 Cambiamento di segno Cambiare di segno è semplice. Algoritmo 1: Si esegue il complemento bit a bit o negazione (si trasforma ogni 1 in 0 e viceversa) Si somma 1 Esempio: Con 8 bit: 3 10 = Si esegue il complemento bit a bit Si somma +1 1= = = = Sarà un caso?

14 Non è un caso Cambiare di segno è semplice: Si esegue il complemento bit a bit (si trasforma ogni 1 in 0 e viceversa) Si somma 1 Perchè funziona? Se sommiamo un numero x e il suo complemento c(x) = Otteniamo che in complemento a 2 è -1. Quindi: x + c(x) = -1 - x = c(x) + 1

15 Rivediamo: Cambiamento di segno (2) = c è un modo diretto? = Algoritmo 2: Partendo da destra si lasciano invariati tutti i bit fino al primo 1 compreso, poi si invertono i rimanenti

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17 Il caso dello 0 Proviamo a cambiare di segno lo 0 rappresentato con n=8 bit con l Algoritmo 1. 0 = Negazione: Somma di 1: 1 = Risultato: La cifra più a sinistra si perde (8 bit), quindi: - 0 = 0

18 Il caso del minimo Proviamo a cambiare di segno il minimo rappresentato con n=8 bit con l Algoritmo = = Negazione: Somma di 1: 1 = Risultato: = -128!!! In realtà sappiamo che con 8 bit l intervallo di rappresentazione è [- 2 7, 2 7-1] = [-128, 127] 128 non apparteiene all intervallo di rappresentabilità: c è overflow!

19 Estensione del segno Per i numeri positivi si aggiungono 0 nella parte più significativa +18 = = = = = = 18 Per i numeri negativi si aggiungono 1 nella parte più significativa -18 = = = = = = ( ) = = ( ) = = -18 Regola dell estensione del segno: Si completa la rappresentazione riportando a sinistra il bit più significativo.

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21 Aritmetica in binario

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23 La somma in binario = Non Sono sono un un problema 0+0=0 1+1= 0+1=1? =1

24 Regole c Somma Riporto

25 Addizione c n c n-1 c i c 2 c 1 a n-1 a i a 2 a 1 a 0 + b n-1 b i b 2 b 1 b 0 = s n s n-1 s i s 2 s 1 s 0 s i c i bit di somma bit di riporto / carry

26 Esempio =

27 Un caso particolare = In generale: ( ) 2 = 2 n n n ( ) = ( ) 2 = 2 n n n Da cui: ( ) 2 = 2 n - 1 n 2 n n = 2 n -1 n 1 i 0 2 i 2 n 1 Formula da ricordare! Dimostrata classicamente per induzione

28 Un altra prova Con n bit è possibile rappresentare tutti i 2 n interi compresi fra 0 e 2 n -1 Dimostrazione: Con n bit posso rappresentare gli interi da a (00 0 è il più piccolo, 11 1 è il più grande possibile) n n ( ) 2 = 0 n ( ) 2 = 2 n - 1 n 2 n n = 2 n -1 n 1 i 0 2 i 2 n 1

29 Un caso particolare = (111111) 2 = 127 può essere rappresentato con 6 bit ( ) 2 = (111111) = 128 necessita di 7 bit Nota: La somma di due numeri rappresentati con n bit può essere un numero che necessita di n+1 bit per essere rappresentato, cioè un numero che supera 2 n -1: OVERFLOW! Overflow = traboccamento

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31 Aritmetica in complemento a due

32 Complemento a Due Il bit più a sinistra viene utilizzato come segno. 0 significa positivo 1 significa negativo Il peso del bit di segno è negativo Il valore di b n-1 b n-2 b 0 è dato dalla relazione N 2 n 1 b n 1 n 2 i 0 2 i b i

33 Somma e Sottrazione in complemento a 2 Somma Si utilizza la normale somma binaria L ultimo (l n-esimo) bit di riporto si ignora Alla fine bisogna controllare la consistenza dei segni: se non c è consistenza significa che siamo in presenza diun numero al di fuori dell intervallo di rappresentazione: questa situazione si chiama overflow o traboccamento. Sottrazione Si calcola l opposto del sottraendo e si somma al minuendo a - b = a + (-b) Avremo quindi bisogno dei soli circuiti di somma e complemento Più in dettaglio.

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36 Maggiori dettagli ([P] 6.2) A= a n-1 a n-2 a 0, B= b n-1 b n-2 b 0, A+B= s n-1 s n-2 s 0 1. A 0, B 0 e A+B 2 n-1 (overflow): s n-1 =1 (somma negativa!) 2. A<0, B<0 e A+B 2 n-1 (overflow): s n-1 =0 (somma positiva!) 3. A 0, B<0 e A B : corretto ignorando l n-esimo riporto 4. A 0, B<0 e A < B : corretto Si usa che se B<0 allora b n-1 =1 e il valore di b n-2 b 0 è uguale a 2 n-1 - B. Esempio: n=4; B=1011=-5; 011=3 = 8-5

37 Caso 1: A 0, B 0 Somma di positivi è negativa: traboccamento! Corretto!

38 Caso 2: A < 0 B < 0 (es. 6.5 corretto) Somma di negativi è positiva: traboccamento! Corretto: trascurare riporto!

39 Casi 3 e 4: A 0, B<0 3 4 Corretto: trascurare riporto!

40 Regola La somma in complemento a 2 si fa come nel caso binario tranne che: Si trascura l eventuale bit di riporto finale (c n ) Si deve controllare la consistenza dei segni: se la somma di positivi è negativa o la somma di due negativi è positiva significa che c è traboccamento/overflow (altrimenti il risultato è corretto) Dimostrazione del caso generale: facoltativa ([P] par. 6.2)

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