Le proprietà che seguono valgono x, y > 0, a > 0 a 1, e b qualsiasi. Da queste si possono anche dedurre le seguenti uguaglianze log a 1 = 0

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1 Corso di Potenziamento a.a. 009/00 I Logaritmi Fissiamo un numero a > 0, a. Dato un numero positivo t, l equazione a x = t ammette un unica soluzione x che si chiama logaritmo in base a di t e si scrive x = log a t. Quando si parla di logaritmo occorre specificare sia l argomento t che la base a e bisogna tenere presente che: è definito solo per argomenti positivi; è definito solo per basi positive e diverse da ; può assumere valori positivi, negativi o nulli; vale 0 per t = Le proprietà che seguono valgono x, y > 0, a > 0 a, e b qualsiasi. a log a x = x log a (a x ) = x log a (xy) = log a x + log a y log a (x) b = b log a x Da queste si possono anche dedurre le seguenti uguaglianze log a = 0 log a a = log a ( ) = a log a ( ) = log x a x log a ( x y ) = loga x log a y Infine si ha log a x = 0 x =. I logaritmi

2 Corso di Potenziamento a.a. 009/00 Attenzione! log a (x + y) log a x + log a y log a (x y) (log a x) (log a y) log a (x b ) (log a x) b Per i logaritmi si usano generalmente due basi: la base 0 e la base e dove e è il numero irrazionale di Nepero, pari a, Per indicare i logaritmi in tali basi, detti rispettivamente logaritmi decimali e logaritmi neperiani o naturali, si usano due notazioni specifiche, che consentono di sottintendere la base: Logx log 0 x ln x log e x In ogni caso può essere talvolta d aiuto la formula che esprime il cambiamento di base di un logaritmo ESEMPI log b x = log ax log a b Esempio Calcolare ( ) log 6 log 6 = log = Esempio Calcolare log 0 + log log 5 log 0 + log log 5 = log 0 5 = log ( ) = log 3 = 3 I logaritmi

3 Corso di Potenziamento a.a. 009/00 Esempio 3 Calcolare log 9 3 log 9 3 = log 9 (3 ) = log 9 9 = Esempio Calcolare log 8 log 8 = log 3 = log = log 3( 3 ) 3 = 3 Oppure ponendo y = log 8 e applicando la definizione di logaritmo si ha 8 y = cioè 3y = 3y = y = 3 Esempio 5 Risolvere log ( x ) = Innanzi tutto dobbiamo imporre la condizione di esistenza chiedendo che l argomento del logaritmo sia positivo: deve essere x > 0 cioè < x < quindi log ( x ) = ( x ) = x + = 0 che non ammette soluzioni reali. Possiamo concludere che l equazione data non ammette soluzioni. Esempio 6 Risolvere Bisogna risolvere il sistema log (x + ) log (x + ) = 0 x + > 0 x + > 0 log (x + ) log (x + ) = 0 da cui x + > 0 x + > 0 log (x + ) log (x + ) log = 0 3 I logaritmi

4 Corso di Potenziamento a.a. 009/00 e anche x > x > log x + (x + ) = 0 x + (x + ) = Risolviamo la terza equazione x + (x + ) = x + = (x + ) x + = x + + x x + 3x = 0 x = 3± 9+6 = 3+5 = 3 5 = Sostituendo nella terza riga del sistema le soluzioni trovate x > x > x = x = troviamo che x = non è accettabile perchè non soddisfa la condizione di esistenza x >. Il valore x = è l unica soluzione dell equazione. Esempio 7 Risolvere log(x + ) + log(x ) log(x ) = log8 L equazione data è equivalente all equazione (x + )(x ) log x = log8 Bisogna risolvere quindi il sistema x + > 0 x > 0 x > 0 (x + )(x ) log x = log8 (x + )(x ) x = 8 I logaritmi

5 Corso di Potenziamento a.a. 009/00 da cui x > x > x > x = 5 x = 3, x. Le soluzioni del sistema sono x = 5 x = 3 perchè entrambe maggiori di Disequazioni logaritmiche Anche per le disequazioni logaritmiche non c è una regola comune da seguire per la loro soluzione, perchè ogni caso è diverso dal precedente. Comunque la prima regola da seguire è trasformare i due membri in logaritmi aventi la stessa base, per poi passare alla diseguaglianza degli argomenti e risolvere la diseguaglianza che ne deriva. Alla fine bisogna intersecare l insieme delle soluzioni con le condizioni di esistenza dei logaritmi. Nel passare dalla diseguaglianza tra i logaritmi alla diseguaglianza tra gli argomenti bisogna ricordare che x, y > 0 a IR : a > log a x > log a y x > y x, y > 0 a IR : 0 < a < log a x > log a y x < y ESEMPI Esempio 8 Risolvere log 3 > log x Bisogna confrontare due logaritmi nella stessa base maggiore di : la relazione d ordine fra i logaritmi si mantiene nello stesso verso tra gli argomenti. Bisogna comunque imporre la condizione di esistenza dei logaritmi. da cui 0 < x < 3 x > 0 3 > x Esempio 9 Risolvere log 5 x > 5 I logaritmi

6 Corso di Potenziamento a.a. 009/00 Osserviamo che = log 5 5 per cui l equazione si può scrivere Bisogna quindi risolvere il sistema da cui x > 5 log 5 x > log 5 5. x > 0 x > 5 Esempio 0 Risolvere log (x + x) > 5 ( ) Osserviamo che = log 5 5 per cui l equazione si può scrivere log (x + x) > log 5 5 ( 5) Bisogna quindi risolvere il sistema x + x > 0 x + x < 5 x < x > 0 5 < x < 5 < x < 0 < x < Esempio Risolvere log (3x x ) < 0 Osserviamo che 0 = log per cui l equazione si può scrivere Bisogna quindi risolvere il sistema 3x x > 0 3x x > log (3x x ) < log 0 < x < 3 < x < < x < 6 I logaritmi

7 Corso di Potenziamento a.a. 009/00 Esempio Risolvere log x < log 5 In questo caso i due logaritmi sono nella stessa base, ma minore di ; la relazione d ordine fra gli argomenti è inversa rispetto alla relazione d ordine tra i logaritmi da cui x > 5 Esempio 3 Risolvere x > 0 x > 5 log ( x) < log (x + 3) Si scrive il sistema considerando le due condizioni di esistenza dei logaritmi e la disequazione tra gli argomenti x > 0 x + 3 > 0 x < x > 3 3 < x < 3 x > x + 3 x < 3 7 I logaritmi