Verica di Matematica su equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche [COMPITO 1]

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1 Verica di Matematica su equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche [COMPITO ]. Risolvere le seguenti equazioni esponenziali: (a) 3 x = 3 x ; (b) e x 0e x + = 0; (c) x x 40 = 0.. Risolvere le seguenti equazioni logaritmiche: (d) log 40 (x x ) = log 40 (x 4 ); (e) log (x) log (x) + 3 = 0; (f) ln(x + ) log e () = ln(x). 3. Risolvere le seguenti disequazioni esponenziali: (g) 4 x 3 6x 0; (h) ( ) x ( ) 44x 0 0 < Risolvere le seguenti disequazioni logaritmiche: (i) log (x) + log (x + 4) log (); (j) log (x + 4) log (4) > log (x + ).

2 Verica di Matematica su equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche [COMPITO ]. Risolvere le seguenti equazioni esponenziali: (a) 9 x = 9 x ; (b) 4 0 x 0 x 3 = 0; (c) 6 x+ + 6 x 4 = 0.. Risolvere le seguenti equazioni logaritmiche: (d) log 4 (x x) = log 4 (3); (e) log (x) + log (x) + 0 = 0; 3 3 (f) log (x ) log 4 () = log (x + 6). 3. Risolvere le seguenti disequazioni esponenziali: (g) x+ x 0; (h) ( x ) x ( ) 6 x > Risolvere le seguenti disequazioni logaritmiche: (i) log (x + 4) + log (x + ) log (8); (j) log (4 x) log (8) < log (0x + 0).

3 Soluzione degli esercizi Parte I Correzione Compito []. (a) Moltiplicando ambo i membri dell'equazione per 3 3 (x ) si ha: 3 x x = 3 da cui, essendo a n b n = (ab) n, 6 x = 6 = x = = x = 3. Dunque, l'equazione ammette l'unica soluzione x = 3. (b) Posto y = e x, l'equazione si scrive come y 0y + = 0 che ammette le soluzioni y = 3 y =. Dalla posizione fatta inizialmente segue che x = ln(y) per cui le soluzioni dell'equazione esponenziale sono date da x = ln(y ) = ln(3) x = ln(y ) = ln() e sono entrambe accettabili. (c) Applicando la proprietà delle potenze a m+n = a m +a n, l'equazione si scrive come x x 40 = 0 da cui, mettendo in evidenza x tra i primi due termini, x ( ) 40 = 0. Trasportando 40 al secondo membro e dividendo ambo i membri per = 0, si ha x = da cui, facendo, il logaritmo in base di ambo i membri ed applicando la proprietà log a (u v ) = v log a (u), x log () = log (). Da quest'ultima, essendo log () = poichè log a (a) = per ogni a (0, ) (, + ) e moltiplicando ambo i membri per, si ha la soluzione: x = log () ovvero x = log ( ) = log ( ) 3

4 . (d) Il dominio D dei logaritmi che compaiono è dato dall'intersezione dei singoli domini: D : insieme delle soluzioni dell'equazione x x > 0; D : insieme delle soluzioni dell'equazione x 4 > 0. facendo i calcoli, si trova che D = (0, ) mentre D = ( 4, + ); ne segue D = ( 4, ). Poichè due logaritmi nella stessa base son uguali se e solo se hanno lo stesso argomento, le soluzioni dell'equazione sono da ricercasi in quelle della seguente: x x = x 4 da cui x = 4 = x = ± e, di queste, è accettabile solo quella positiva perché giace nell'insieme D. In denitiva, l'equazione di partenza ammette l'unica soluzione x = /. (e) Il dominio dei logaritmi che compaiono nell'equazione coincide con l'insieme D = (0, + ) come segue dalla condizione x > 0. Posto t = log (x) da cui x = ( ) t, si ha: t t + 3 = 0 cossicché l'equazione è stata ricondotta ad un'equazione algebrica di secondo grado le cui soluzioni sono t = 4 t = 8. Le soluzioni dell'equazione logaritmica sono, allora, date da ( ) t ( ) 4 ( ) t ( 8 x = = x = = ) (f) Il dominio dei logaritmi, che compaiono nell'equazione, è dato dall'insieme D = D D dove D : insieme delle soluzioni dell'equazione x + > 0 = x > ; D : insieme delle soluzioni dell'equazione x > 0 = x > 0. Dunque, D = (, + ) (0, + ) = (0, + ). 4

5 Per la formula del cambiamento di base tra logaritmi ( log a (b) = log c (b) ) log c (a) si ha che log e () = ln() ln(e ) = ln() ln(e) = ln() per cui l'equazione può scriversi come od anche come ln(x ) ln() = ln(x) ln(x ) ln ( ) = ln(x) da cui, applicando la proprietà della dierenza di due logaritmi e tenendo conto del fatto che due logaritmi sono uguali se e solo se hanno lo stesso argomento, x = x = x = x = ( ) x = da cui x = 0, 34 / D per cui tale soluzione non è accettabile. 3. (g) Trasportando 3 6x al secondo membro, si ha 4 x 3 6x da cui, facendo il log 4 di ambo i membri (e ciò non altera il segno della disequazione), log 4 (4 x ) log 4 (3 6x ) = x log 4 (4) 6x log 4 (3) = x 6x log 4 (3) la cui soluzione è x 0. (h) Trasportando ( ) 44x 0 al secondo membro, si ha ( ) x ( ) 44x < 0 0 da cui, tenendo conto che la base è la stessa ed è strettamente compresa tra 0 ed, x > 44x = x 44x < 0 = x < 0 x > 44. Dunque, l'insieme delle soluzioni è S = (, 0) (44, ).

6 4. (i) Le soluzioni sono da ricercarsi nel sistema di disequazioni che si ottiene imponendo le condizioni di esistenza dei logaritmi e dalla risoluzione dell'equazione stessa: x > 0 x + 4 > 0 x + 4x 0 dove le prime due condizioni vanno imposte per determinare il dominio dei logarimi e la terza coincide con la risoluzione dell'equazione. Infatti, da log (x) + log (x + 4) log (), applicando la proprietà della somma dei logaritmi, si ha: log (x(x + 4)) log () da cui, essendo la base una frazione propria, x(x+4) = x +4x 0 = x D 3 = (, ] [, + ). La disequazione x > 0 da come soluzioni gli elementi dell'insieme D = (0, + ) mentre x + 4 > 0 ha come soluzione l'insieme D = ( 4, + ). Ne segue che, l'insieme S soluzione dele sistema (), è S = D D D 3 = [, + ). (j) Procedendo come nel caso precedente ma tenendo conto che la base qui è maggiore di, si ha che le soluzioni dell'equazione log (x + 4) log (4) > log (x + ) sono quelle che vericano il sistema di disequazioni x + 4 > 0 x + > 0 x + 4 > 8x + 0 L'ultima disequazione del sistema si ottiene dall'equazione di partenza: log (x+4) log (4) > log (x+) = log ( x + 4 ) > log 4 (x+) = x + 4 > x+ = x+4 > 8x+0 = x > 6 = x < 6 4. Dunque, le soluzioni della terza disequazione del sistema () coincidono con l'insieme D 3 = (, 6/). 6 () ()

7 Per quanto riguarda le altre due disequazioni del sistema (), si ha x + 4 > 0 = x > 4 = x D = ( 4, + ); x + > 0 = x > = x D = (, + ). Le soluzioni del sistema () sono date dall'insieme essendo 6/ > / > 4. S = D D D 3 = (, 6 )

8 Parte II Correzione Compito []. (a) Dividendo ambo i membri dell'equazione per x si ha: ( 9 ) x ( 9 = ) avendo tenuto conto del fatto che an b n Uguagliando gli esponenti si ha = ( ) a n. b x = = x, = ±. Dunque, l'equazione ammette due soluzioni: x = x =. (b) Posto z = 0 x, l'equazione si riconduce all'equazione algebrica 4z z 3 = 0 che ammette le soluzioni z = 3/4 z =. Dalla posizione fatta inizialmente segue che x = ln(z) per cui le soluzioni dell'equazione esponenziale sono date da x = ln(z ) = ln( 3/4) x = ln(z ) = ln() = 0 ed, evidentemente, solo x è accettabile. (c) Applicando la proprietà delle potenze a m+n = a m +a n, l'equazione si scrive come 6 6 x + 6 x 4 = 0 da cui, mettendo in evidenza 6 x tra i primi due termini, 6 x (6 + ) 4 = 0. Trasportando 4 al secondo membro e dividendo ambo i membri per 6 + =, si ha 6 x = da cui, facendo, il logaritmo in base 6 di ambo i membri ed applicando la proprietà log a (u v ) = v log a (u), x log 6 (6) = log 6 (). Da quest'ultima, essendo log 6 (6) = poichè log a (a) = per ogni a (0, ) (, + ), si ha la soluzione: x = log 6 () 8

9 . (d) Il dominio D dei logaritmi che compaiono è dato dall'insieme: D : insieme delle soluzioni dell'equazione x x > 0. Facendo i calcoli, si trova che D = (, 0) (, + ). Poichè due logaritmi nella stessa base son uguali se e solo se hanno lo stesso argomento, le soluzioni dell'equazione sono da ricercasi in quelle della seguente: da cui x x = 3 = x x 3 = 0 x = x = 3 che sono entrambe accettabili poiché x, D e, dunque, costituiscono le soluzioni dell'equazione di partenza. (e) Il dominio dei logaritmi che compaiono nell'equazione coincide con l'insieme D = (0, + ) come segue dalla condizione x > 0. Posto u = log (x) da cui x = ( ) u, 3 3 si ha: u + u + 0 = 0 cossicché l'equazione è stata ricondotta ad un'equazione algebrica di secondo grado le cui soluzioni sono u = u =. Le soluzioni dell'equazione logaritmica sono, allora, date da ( ) u ( ) ( ) u ( ) 4 x = = = 9 x = = = (f) Il dominio dei logaritmi, che compaiono nell'equazione, è dato dall'insieme D = D D dove Dunque, D : insieme delle soluzioni dell'equazione x > 0; D : insieme delle soluzioni dell'equazione x + 6 > 0. D = (, + ) ( 6, + ) = (, + ). Per la formula del cambiamento di base tra logaritmi si ha che log 4 () = log () log (4) = log () = log ( ) 9

10 per cui l'equazione può scriversi come log (x ) + log ( ) = log (x + 6) da cui, applicando la proprietà della somma di due logaritmi log [ (x )] = log (x + 6) e tenendo conto del fatto che due logaritmi sono uguali se e solo se hanno lo stesso argomento, (x ) = x + 6 da cui x = + 6 e tale soluzione è accettabile in quanto sta nell'insieme D. 3. (g) Trasportando x al secondo membro, si ha x+ x da cui, facendo il log di ambo i membri (e ciò non altera il segno della disequazione), log ( x+ ) log ( x ) = (x + ) log () x log () = ( log )x + 0 = x log () e, dunque, l'insieme delle soluzioni coincide con S = (, log () ]. (h) Trasportando ( ) 6 x al secondo membro, si ha ( x ) x ( 6 x < ) da cui, tenendo conto che la base è la stessa ed è strettamente compresa tra 0 ed, x x < 6 x = x 6 < 0 = 4 < x < 4. Dunque, l'insieme delle soluzioni è S = ( 4, 4). 0

11 4. (i) Le soluzioni sono da ricercarsi nel sistema di disequazioni che si ottiene imponendo le condizioni di esistenza dei logaritmi e dalla risoluzione dell'equazione stessa: x + 4 > 0 x + > 0 x + 6x dove le prime due condizioni vanno imposte per determinare il dominio dei logarimi e la terza coincide con la risoluzione dell'equazione. Infatti, da log (x + 4) + log (x + 4) log (8), applicando la proprietà della somma dei logaritmi, si ha: log ((x + 4)(x + )) log (8) da cui, essendo la base una frazione propria, (x + 4)(x + ) = x + 6x = x + 6x 0 = 6 x 0 = x D 3 = [ 6, 0]. La disequazione x + 4 > 0 da come soluzioni gli elementi dell'insieme D = ( 4, + ) mentre x + > 0 ha come soluzione l'insieme D = (, + ). Ne segue che, l'insieme S soluzione del sistema (3), è S = D D D 3 = (, 0]. (j) Procedendo come nel caso precedente ma tenendo conto che la base qui è maggiore di, si ha che le soluzioni dell'equazione log (4 x) log (8) > log (0x + 0) sono quelle che vericano il sistema di disequazioni 4 x > 0 0x + 0 > 0 4 x 8 < 0x + 0 L'ultima disequazione del sistema si ottiene dall'equazione di partenza: log (4 x) log (8) < log (0x+0) = log 4 x 8 = 4 x 8 (3) (4) < log (x+) < 0x+0 = 4 x > 80x+60 = 8x < 6 = x > 6 8.

12 Dunque, le soluzioni della terza disequazione del sistema (4) coincidono con l'insieme D 3 = ( 6/8, + ). Per quanto riguarda le altre due disequazioni del sistema (4), si ha 4 x > 0 = x < 4 = x D = (, 4); 0x + 0 > 0 = x > 0 0 = = x D = (, + ). Le soluzioni del sistema () sono date dall'insieme essendo 6/8 >. S = D D D 3 = ( 6 8, 4 )