Algebra» Appunti» Dis & Equazioni logaritmiche EQUAZIONI

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Stefano Grillo
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1 MATEMATICA & FISICA E DINTORNI Pasquale Spiezia Algebra» Appunti» Dis & Equazioni logaritmiche DEFINIZIONE EQUAZIONI Per equazione logaritmica s intende ogni equazione nella quale l incognita è presente nell argomento di uno o più logaritmi. FORME CANONICHE Utilizzando le proprietà dei logaritmi ed operando algebricamente sugli argomenti dei logaritmi mediante opportune scomposizioni e sostituzioni, ogni equazione logaritmica può essere ricondotta nelle due forme fondamentali: (i) log a f(x) = k con k R (ii) log a f(x) = log a g(x) con k R METODI RISOLUTIVI (i) log a f(x) = k Ricordando la definizione di logaritmo, la soluzione di questa equazione logaritmica si ottiene risolvendo il seguente sistema: (ii) log a f(x) = log a g(x) f( x ) >0 f( x ) =a Ricordando le proprietà dei logaritmi, la soluzione di questa equazione logaritmica si ottiene risolvendo il seguente sistema: k f x >0 gx >0 f x =g x Pagina di

2 ESERCIZI Risolvere le seguenti equazioni logaritmiche del tipo log a f(x) = k ( ) log x 9 = x 9 > 0 x < x > ( ) log x 9 = x = ±5 x 9 = ( ) = 6 accettabili ( ) log x + x 5 = x x < 5 x > ( ) x + x 5 > 0 x + x 5 > 0 log x + x 5 = x x = 5 x + x 5 = x x 5 = 0 log ( x ) log ( x ) = L equazione non è in forma canonica. Essendo ( ) ( ) x log x log x = log, si x x ha pure log =. Dunque: x x > 0 x > ( ) ( ) x > log x log x = x > 0 x > x = x = x = x x Risolvere le seguenti equazioni logaritmiche del tipo log a f(x) = log a g(x) log ( x + ) = log ( x + 0 ) x + > 0 x > ( ) ( ) x > log x + = log x + 0 x + 0 > 0 x > 0 x = x + = x + 0 x = Pagina di

3 ( ) log x = log x log x = log x = log x, si ha: Poiché ( ) x > 0 ( ) ( ) log x = log x log x = log x x > 0 x = x x > 0 x > x < x > x = x = da scartare x x = 0 log x = log x + log 6 Bisogna dapprima cambiare base. Utilizzando la formula del cambiamento di base e sfruttando alcune proprietà dei logaritmi si ha: log x log x log x = = log x ; log x = = log x; log 6 = log = log log Dunque: log x = log x + log 6 log x = log x + log x = x > 0 x > 0 = 6 x x = 6 ln ( 6 x ) = ln ( x ) Moltiplicando ambo i membri per si ha ln ( 6 x ) = ln ( x ) = ln ( x ). Dunque: 6 x > 0 x < 6 < x < 6 ( ) ( ) ln 6 x = ln x x > 0 x > x = 0 x = 7 ( ) 6 x = x da scartare x 7x = 0 Pagina di

4 SISTEMI DI EQUAZIONI LOGARITMICHE Per risolvere un sistema di equazioni logaritmiche occorre anzitutto porre le condizioni di e- sistenza dei logaritmi, poi ricondursi mediante le proprietà dei logaritmi a un sistema di equazioni algebrico cui si applicano le ordinarie tecniche risolutive ed infine confrontare le soluzioni trovate con le condizioni di esistenza per stabilire se sono accettabili. Diamo qualche esempio. ESERCIZI Risolvere i seguenti sistemi di equazioni logaritmiche log x log y = log ( x y ) = Condizioni di esistenza: x>0 y>0 x y>0. Dunque: log x log y = log x = x y = x=y x=8 y log ( x y ) = ( ) y y= log x y = y= x y= log ( x + ) log y = log x + log ( y + ) = Condizioni di esistenza: x>0 y>0 x>0 y>0 x>0 y>0. Dunque: x + > 0 y + > 0 x > y > ( ) x+ log x + log y = log = x+ = y y log x + log ( y + ) = ( ) log x y + = x ( y+ ) = x = y x = y x = y x= ( y ) ( y + ) = y= y= y + y = 0 y = da scartare Pagina di

5 log ( x + y ) = log log x + = 9 log y Condizioni di esistenza: x>0 x+y>0 x>0 y>0 y y>0y Per semplificare i calcoli è preferibile passare ai logaritmi in base. Applicando la formula del cambiamento di base, si ha: ( x + y) log log ( x + y ) = ; log log 9 x = log log x x = ; log =. Dunque: y log y log ( ) ( x + y) log x + y = log = log log log x + = log x 9 log + = log y y ( ) ( ) log x + y = log log x + y = log log log x log y = log y log x = log ( ) log x + y = log x + y = x= x = impossibile y y log = log = y= y = x x x da scartare log x log y = 5 + =5 log log 5 x y ( x>0 x ey>0 y ) Per la formula del cambiamento di base si ha: = log x ; = log log 5 x y log y 5 Dunque: log x log y = log x log y = 5 5 log x = x=8 log x + log y = =5 log y = y = 5 log log 5 5 x y log x + / / = 6 Pagina 5 di

6 DISEQUAZIONI DEFINIZIONE Per disequazione logaritmica s intende ogni disequazione nella quale l incognita è presente nell argomento di uno o più logaritmi. FORME CANONICHE Utilizzando le proprietà dei logaritmi, ogni disequazione logaritmica può essere ricondotta nelle seguenti forme fondamentali: METODI RISOLUTIVI (i) (i) log a f(x) < k e log a f(x) > k (k R) (ii) log a f(x) < log a g(x) e log a f(x) > log a g(x) (k R) log a f(x) < k ; log a f(x) > k Le soluzioni di queste disequazioni logaritmiche dipendono dal valore della base a. Dalla definizione e dalle proprietà di monotònia (crescenza e decrescenza) del logaritmo, si ricava che le soluzioni della disequazione log a f(x) < k si ottengono risolvendo uno dei seguenti due sistemi: f( x ) >0 f( x ) >a k 0<a< f( x ) >0 f( x ) <a k a> Per la disequazione log a f(x) > k, invece, le soluzioni si ottengono risolvendo uno dei seguenti due sistemi: (ii) f( x ) >0 f( x ) <a k 0<a< log a f(x) < log a g(x) ; log a f(x) > log a g(x) f( x ) >0 f( x ) >a k a> Anche le soluzioni di queste disequazioni logaritmiche dipendono dal valore della base a. Sempre dalla definizione e dalle proprietà di monotònia del logaritmo, si ricava che le soluzioni della disequazione log a f(x) < log a g(x) si ottengono risolvendo uno dei seguenti due sistemi: f( x ) >0 g( x ) >0 f( x ) >g( x) 0<a< f( x ) >0 g( x ) >0 a> f( x ) <g( x) Per la disequazione log a f(x) > log a g(x), invece, le soluzioni si ottengono risolvendo uno dei seguenti due sistemi: f( x ) >0 g( x ) >0 f( x ) <g( x) 0<a< f( x ) >0 g( x ) >0 a> f( x ) >g( x) Pagina 6 di

log x < x < x < 9 < x < <x< log ( x + ) > Essendo la base <, si ha: <x< x + > 0 x > ( ) 7 log x + > 7 < x < x + <

7 ESERCIZI Risolvere le seguenti disequazioni logaritmiche del tipo log a f(x) k log ( ) 5x > Essendo la base >, si ha: 5x > 0 x < ( ) 5 7 log 5x > x < 5x > 7 5 x < 5 ( ) log x < Essendo la base >, si ha: ( ) x > 0 x > x < x > log x < x < x < 9 < x < <x< log ( x + ) > Essendo la base <, si ha: <x< x + > 0 x > ( ) 7 log x + > 7 < x < x + < ( ) x < ( ) log x + < Essendo la base <, si ha: x + > 0 ( ) x + > 0 log x + < 6 x R x + > ( ) x + > 0 7 Pagina 7 di

Risolvere le seguenti disequazioni logaritmiche del tipo log a f(x) log a

x > log x + x + > 0 x > x > x + x < 0 < x < 0 log x + x < log x Essendo la

0 x > < x < 5 5 ( ) ( ) log x < log x Essendo la base <, si ha: 5 x < x > 0 (

8 Risolvere le seguenti disequazioni logaritmiche del tipo log a f(x) log a g(x) log ( x ) > log ( x + ) Essendo la base >, si ha: x > 0 x < ( ) ( ) log x > log x + x + > 0 x > x > x + x < 0 < x < 0 log x + x < log x Essendo la base 0>, si ha: x + x > 0 0 < x < log x + x < log x x > 0 x > 0 x + x < x x < 0 x > < x < 5 5 ( ) ( ) log x < log x Essendo la base <, si ha: 5 x < x > 0 ( ) ( ) log x < log x x > 0 x < 5 5 x > x x x < 0 < x < x < <x< < x < + Pagina 8 di

Inoltre, per la formula del cambiamento di base si ha: log x = log x = log x.

9 ( ) log x + < log x Essendo la base <, si ha: x + > 0 x R x R ( ) log x + < log x x > 0 x > 0 x > 0 x + > x x x + > 0 x < x > x> 5 8 log x + log x 0 8 Per l esistenza dei logaritmi deve essere x>0. Inoltre, per la formula del cambiamento di base si ha: log x = log x = log x. Dunque: 8 ( ) 8 log x + log x 0 8 log x + log x 0 log x + log x 0 8 Posto log x = y, si ha y + y 0 y y y y impossibile Passando ai logaritmi e notando che la base <, si ha: log x x x 0<x x log x x Pagina 9 di

10 SISTEMI DI DISEQUAZIONI LOGARITMICHE Per risolvere un sistema di disequazioni) logaritmiche occorre anzitutto porre le condizioni di esistenza dei logaritmi, poi ricondursi mediante le proprietà dei logaritmi a un sistema di disequazioni algebrico cui si applicano le ordinarie tecniche risolutive ed infine confrontare le soluzioni trovate con le condizioni di esistenza per stabilire se sono accettabili. Diamo qualche esempio. ESERCIZI Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni logaritmiche log ( x ) log ( x ) Condizione di esistenza: x >0 x>. Dunque: log ( x ) x x x ( ) x 9 log x x x x 9 log x log x + log x Condizione di esistenza: x>0; Per la formula del cambiamento di base si ha: x>0 x>0 x>0 x log x 0 x log x = log x. Dunque: log x log x + log x log x log x x + log x + log x + log x log x log x log x log x + log x Studiamo il segno della frazione log x Pagina 0 di

+ log x 0 log x x 0 log x > 0 log x > 0 x> + log x 0 x <.

ln x ln x 0 Condizioni di esistenza: N x >0 x > x< x> x> x>0 x>0 x>0 ( )

11 + log x 0 log x x 0 log x > 0 log x > 0 x> + log x 0 x <. Quindi: log x log x log x + x x x< log x log x + log ( x ) log ( x ) 0 Condizioni di esistenza: x>0 x>0 x >0 x> x> x >0 x> log x + log ( x ) ( ) ( ) log x x x x x x 0 log ( x ) 0 x x x x x da scartare x x ( ) ln x 0 ln x ln x 0 Condizioni di esistenza: N x >0 x > x< x> x> x>0 x>0 x>0 ( ) ln x 0 x x x x da scartare ln x ln x 0 0 ln x x e x e D x <x e x e Pagina di

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