Algebra» Appunti» Disequazioni esponenziali

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1 MATEMATICA & FISICA E DINTORNI Psqule Spiezi Algebr» Appunti» Disequzioni esponenzili DEFINIZIONE Si definisce disequzione esponenzile ogni disequzione nell qule l incognit è presente nell esponente di un o più potenze. DISEQUAZIONI ESPONENZIALI CANONICHE Non esistono regole generli per l risoluzione di un qulsisi disequzione esponenzile. Per risolvere un disequzione esponenzile, bisogn nzitutto cercre di portrl in form cnonic, ossi in un form per l qule esiste un metodo risolutivo. Le disequzioni esponenzili cnoniche sono del tipo: (i) f g < f g (ii) f f <b f f b (iii) f f <b f f b Prim di esporre i metodi risolutivi delle disequzioni esponenzili cnoniche, è importnte ricordre l proprietà di monotoni delle potenze, secondo l qule risult: REGOLA PRATICA m n m n 0 < < m n m n Un disuguglinz esponenzile i cui due membri sino potenze di un stess bse minore < è equivlente d un disuguglinz di verso contrrio tr gli esponenti di tle potenz. Un disuguglinz esponenzile i cui due membri sino potenze di un stess bse minore è equivlente d un disuguglinz di verso concorde tr gli esponenti di tle potenze. METODI RISOLUTIVI (i) f g f g < e Queste disequzioni cnoniche rppresentno disuguglinze tr due potenze venti l stess bse. Per qunto detto in precedenz si h: f g f( ) g 0<< < f( ) <g f g f( ) <g 0<< f( ) g Pgin di 0

2 ESERCIZI Risolvere le seguenti disequzioni esponenzili riconducibili lle forme cnoniche f() < g() e f() g() 8 Essendo 8 =, si h: 8 < bse 6 Essendo 6 = = = 6, si h: 6 bse < 8 ( ) 6 8 = = e 0 = = < bse 7 < = = e Essendo ( ) =, si h: < 7 6 < < < 6<0 << bse < 6 7 Essendo 9 = = ( ) 9 9, si h: 9 < 8 8 < Pgin di 0

3 ( ) ( ) < < < 6 bse < Essendo = = =, si h: 0 0 <0 bse < 0 < <0 < In definitiv: < (ii) f f f f <b e b Queste disequzioni cnoniche rppresentno disuguglinze tr due potenze venti divers bse, m lo stesso esponente, e possono essere fcilmente risolte riportndole nell form cnonic precedente. Inftti, essendo f b 0, si può dividere mbo i membri per ossi ( b) f() ( b) 0 d cui f() 0 second del vlore di /b. Dunque: f 0 f( ) 0 0< < f f b <b < b b f( ) <0 b f 0 f( ) <0 0< < f f b b b b f( ) 0 b f b ottenendosi f() b f(), Pgin di 0

4 ESERCIZI Risolvere le seguenti disequzioni esponenzili riconducibili lle forme cnoniche f() b f() <0 < 8 bse < bse <0 < bse < ( ) 0 0 bse Pgin di 0

5 bse 0 (iii) f g <b e f g b Queste disequzioni esponenzili si risolvono utilizzndo i logritmi. Se f() b g(), llor risult nche log c f() log c b g() d cui f() log c g() log c b con il verso dipendente dl vlore dell bse scelt c. Nell prtic è preferibile utilizzre i logritmi decimli (o nturli) per vere un vlore pprossimto delle soluzioni medinte un clcoltrice scientific. Dunque: f g f logc < g logcb c <b f log c g logcb 0 < c < f g f logc g logcb c b f log c < g logcb 0 < c < ESERCIZI Risolvere le seguenti disequzioni esponenzili riconducibili lle forme cnoniche f() b g(), esprimendo i risultti nell form che ritieni più opportun Pssndo i logritmi in bse, si h: log log ( ) log ( ) log ( ) log log log log log log log ( log ) log log oppure log 0 Pgin di 0

6 6 6 Pssndo i logritmi decimli che hnno bse 0, si h: log log ( ) log log log log log ( ) log log log log log log log log log Essendo log <log, si h log log log Pssndo i logritmi nturli che hnno bse e, si h: ln ln ln ln ln L soluzione trvt può nche scriversi nell form ln ln ln ln =6 ( ) ( ) =6 = = = = = log = log log = log log = ( ) log log = log log ( log ) = log = log Pgin 6 di 0

7 EQUAZIONI ESPONENZIALI PARTICOLARI Nell prtic si possono presentre lcuni tipi di equzioni esponenzili che possono essere risolte medinte degli rtifizi che conducono d equzioni esponenzili elementri o cnoniche. Dimo qulche esempio. ESERCIZI Risolvere le seguenti equzioni esponenzili medinte opportune sostituzioni 9 =6 ( ) 9 =6 =6 =6. Posto =6 6 =0 = = =, si h: Per l sostituzione ftt, si ottengono le due equzioni cnoniche: = impossibile = = = 7 Per l reltà del rdicle, deve essere 0 = 7 = 7. Posto = 7 7 = 0 = = =, si h: Per l sostituzione ftt, si ottengono le due equzioni cnoniche: = = impossibile = = = 8 = = 0 8 = 0 8 = 0 9 Posto =, si h: 8 = 0 = = 9 Pgin 7 di 0

8 Per l sostituzione ftt, si ottengono le due equzioni esponenzili cnoniche: = = 9 = = = =0 8 =0 =0 8 =0. Posto =, si h: =0 =0 =0 = =± Per l sostituzione ftt, si ottengono tre equzioni esponenzili cnoniche: 0 = = =0 = = = = impossibile Pgin 8 di 0

9 SISTEMI DI EQUAZIONI ESPONENZIALI Le regole esposte finor si pplicno nche i sistemi. Concludimo questi semplici ppunti dndo qulche esempio di risoluzione di sistemi di equzioni esponenzili. ESERCIZI Risolvere i seguenti sistemi di equzioni esponenzili = 8 =7 ( )( ) ( ) ( ) = 8 = 8 7 = 8 8 = 8 =7 =7 =7 =7 ( 8 ) = 8 = = =7 =7 = 6 = 0 = 0 6 =0 6 =0 6 =0 =0 = = 9 6 =0 == =0 = 9 == = = = = = = = = = = = = = 9 Pgin 9 di 0

10 = 8 = = = = 8 = ( ) = ( ) = = 8 = 8 = 9 = ( ) = 6 8 = = = 6 = 8 = 0 = 8 = = = = 0 = 0 = = // = Pgin 0 di 0