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1 ELEMENTI DI BASE: Poteze Rdicli Logritmi

2 POTENZE L potez co bse ed espoete, o potez - esim di, si idic co ed è il prodotto di fttori tutti uguli d. =... ( volte) 0 = 1

3 PROPRIETÀ DELLE POTENZE m = +m : m = -m ( se = 0) ( ) m = m b = ( b) : b = ( :b) (se b = 0 )

4 RADICALI Defiizioe. Si dto u umero rele positivo, e si u itero positivo. Si chim rdice ritmetic -esim più semplicemete rdice -esim del umero, il umero rele positivo b tle che b =. Il umero b è idicto co il simbolo: Idice di rdice b = rdicdo

5 RADICALI (cotiuzioe) Csi prticolri: 0 = 0 1 =

6 PROPRIETÀ INVARIANTIVA DEI RADICALI 1. m = p m p Esempio = = 2. m = : p m : p Esempio : 3 12: = 6 = =

7 SEMPLIFICAZIONE DEI RADICALI Determire M.C.D. tr l idice del rdicle e quello del rdicdo Divido si l idice del rdicle si il rdicle per tle vlore trovto el puto precedete

8 Esempio Il M.C.D. (12, 6) = : 6 = 3 6: 6 = 3

9 Esempio 2 3 (1/ 2) 6 Il M. C.D. ( 3, 6) = (1 / 2) 2 (1/ 2) 6 = = (1/2) 2 = ¼

10 Esempio ) (3 5 7 ) = (3 5 7 =

11 Esercizio = = (2 2 3 ) 2 = 2 2 =

12 RADICALI (cotiuzioe) I cso di bse egtiv per poter semplificre devo usre l defiizioe di modulo. Esempio. 24 (-2) = = = 6 2

13 RIDUZIONE DI UNO O PIÙ RADICALI ALLO STESSO INDICE DI RADICE Sdl Si semplifico tutti i rdicli dti trsformdoli ell loro form irriducibile Si trov il m.c.m. tr tutti gli idici del rdicle Si divide il m.c.m. trovto per ciscu idice del rdicle e si moltiplic poi il quoziete otteuto per l idice del rdicdo

14 Esempio Il m.c.m ( 6, 12 ) =

15 CONFRONTO TRA RADICALI Per cofrotre due rdicli devo portrli d vere lo stesso idice di rdice Esempio. 4 5 ed = 10 = < < 10

16 PRODOTTO DI DUE O PIÙ RADICALI Teorem. Il prodotto di due o Teorem. più rdicli vete lo stesso idice è ugule d u rdicle vete lo stesso idice dei rdicli dti e per rdicdo il prodotto dei rdicdi. Ossi, se = 0,b = 0 ed è umero itero positivo si h : b = b

17 Esempio =

18 Esempio = = = 2 2= (prim di moltiplicre devo vere lo stesso idice di rdice)

19 Esempio = = = 2000

20 QUOZIENTE DI RADICALI Teorem. Il quoziete di due rdicli vete lo stesso idice è ugule d u rdicle vete lo stesso idice dei rdicli dti e per rdicdo il quoziete dei rdicdi. Ossi, se > 0,b > 0 ed è umero itero positivo si h : b = b

21 Esempio = 24 8 = 3 (per poter fre l divisioe come l moltipliczioe devoo vere lo stesso idice di rdice)

22 Esempio = =

23 TRASPORTO DI UN FATTORE SOTTO RADICE Regol : Qudo u rdicle è moltiplicto per u umero o egtivo, tle fttore si può trsportre sotto il sego di rdice, come fttore del rdicdo, purché lo si elevi d u potez ugule ll idice del rdicle. Ossi se = 0, b= 0 ed è u itero positivo si può scrivere : b b =

24 Esempi = = = = = =

25 TRASPORTO DI UN FATTORE FUORI DAL SEGNO DI RADICE Regol: Si dto u rdicle di idice, il cui rdicdo è u umero scomposto i fttori tutti o egtivi. Allor uo qulsisi di questi fttori, dicimo m, il cui espoete m è mggiore o ugule ll idice del rdicle, può essere portto fuori (ossi come fttore estero) del sego di rdice. Per fre ciò si divide l espoete del fttore dto per l idice del rdicle (ossi m : ), il quoziete di tle divisioe costituirà l espoete che il fttore dto vrà ll estero del sego di rdice, metre il resto dell divisioe, costituirà l espoete che il fttore dto vrà ll itero del sego di rdice.

26 Esempio I fttori trsportbili soo i umeri 3 e 7. Si h 20 :3 = 6 co resto 2 ed 7 : 3 = 2 co resto 1. Si ottiee quidi : =

27 POTENZA CON Sdl ESPONENTE INTERO NON NEGATIVO Regol : L potez m-esim di u rdicle, co umero itero o egtivo, è ugule u rdicle che h per idice del rdicle lo stesso idice del rdicle dto e per rdicdo l potez -esim del rdicdo. Ossi se = 0, itero positivo ed m itero o egtivo si h : ( ) m = m

28 Esempio ( 5) = = ( 3 2 ) 2 3 = ( ) =

29 RADICE DI UNA RADICE Regol : L rdice m-esim dell rdice -esim di u umero rele = 0, è ugule ll rdice di idice m= del umero. m = m

30 Esempio ,3 = 2, = 24 0, ,

31 SOMMA ALGEBRICA TRA RADICALI SIMILI Defiizioe. Due rdicli si dicoo simili, qudo ho lo stesso idice del rdicle, lo stesso rdicdo e differiscoo evetulmete solo per u fttore che li moltiplic, che viee detto coefficiete del rdicle.

32 Esempio = 29 50

33 RADICALI DOPPI + 2 b b b = + 2 b 2 b 2 = b 2

34 POTENZE CON ESPONENTE FRAZIONARIO DI UN NUMERO REALE = m m = m 1 m = : = = m p q m p q + m p q m p q m p q m p q Sdl

35 POTENZE CON ESPONENTE FRAZIONARIO DI UN NUMERO REALE (cotiuzioe) 6. m ( b c) = m b m c m 7. b m = b m m (co > 0, b >0, m,,p,q iteri > 1)

36 LOGARITMI Cosiderdo l equzioe x = b (co e b umeri reli tli che > 0 ed > 1 e b > 0) L soluzioe di quest equzioe è: bse log b rgometo

37 LOGARITMI (cotiuzioe) Logritmi decimli: ho bse 10 log 10 Logritmi turli o eperii: ho bse e log e b

38 PROPRIETÀ DEI LOGARITMI log c log 1 = 0 log = 1 = c log ( b c) = log b + log c log b c = c log b log = log b 1 b

39 Esempio 16 log 2 (1/5) = log log 2 5 = - log 2 5 log (37/7) = log 37 - log7 log (81 74) = log81 + log 74 log = 7 log 2 4 = log 3 27= log 3 27 = 1 3

40 Esempio 17 log (1/9) + log 36 + log 24 = log (9-1 ) (36)(24) = =log 9-1 (9 4) (8 3) = log(2 5 3) =5log 6 -log 2 + log log log 2 7 = =( ) log 2 = 0 ( > 0)

41 PASSAGGIO DA UNA Sdl DETERMINATA BASE AD UN ALTRA log b M = log M log b Esempio: log 5 3 = log 3 2 log 5 2

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