ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO a.s. 2002/2003 CORSO SPERIMENTALE PNI e Progetto Brocca SESSIONE SUPPLETIVA

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1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO.s. / CORSO SPERIMENTALE PNI e Progetto Brocc SESSIONE SUPPLETIVA Il cdidto risolv uo dei due problemi e 5 dei quesiti i cui si rticol il questiorio. PROBLEMA. I u pio, riferito d u sistem di ssi crtesii ortogoli (Oy), soo ssegte le prbole di equzioe: y ( ) +, dove è u prmetro rele diverso d. ) Determire quli tr esse ho puti i comue co l sse e quli o. y ( ) + ho puti i comui tutte quelle prbole che ho il delt mggiore o ugule zero ( ) ( ) b) Trovre le due prbole che ho il vertice i u puto di sciss. b V ( ) e ( ) c) Stbilire se le due prbole trovte soo cogrueti o o, foredo u esuriete spiegzioe dell rispost. Le due prbole y e y 4+ 4 ( ) poichè esiste u isometri tle che Y y Y y trsform u ell ltr per esempio oppure simmetri cetrle di X X + cetro (,) d) Scrivere l equzioe del luogo geometrico L dei vertici delle prbole ssegte e disegre l dmeto dopo vere determito i prticolre sitoti, estremi e flessi. 4 4 ( ) y 4 4( ) b y y ricvdo dll e sostituedo ( ) ( ) y ( ) ( ) ( ) ( ) Luogo:

2 y ( ) ( ) C.E. Positività e ull per. Pss per i puti A(,) e B(,) ( ) ( ) lim A.V. lim No Asitoti orizzotli ( ) ( ) ( ) ( ) lim m e lim + lim q Asitoto obliquo y- + + derivt (4 )( ) ( )( ) ( )( 4+ ) y ' 4 4 y ' ( )( + 4 ( ) 4 ( ) ( ) ) > e sempre egtiv Mi(,) e) Clcolre l re dell regioe fiit di pio delimitt dll curv L e dll rett di equzioe y. ( ) ( ) ( ( ) ) 4 6 +

3 ( ) ( ) ( )( ) soluzioi 6+ d d + d + + ( ) + l PROBLEMA. I u trpezio rettgolo ABCD, circoscritto d u cerchio, AB è l bse mggiore, CD l miore e BC il lto obliquo. Le misure, cosiderte rispetto ll stess uità di misur, del rggio del cerchio e del perimetro del trpezio soo ell ordie e 8. P y+ y 8+ + y 8 + y 5 e per il teorem di Euclide pplicto l trigolo rettgolo OCB. Il trigolo è rettgolo poiché ogi tgete è perpedicolre l rggio (del cerchio iscritto) e perchè CO e OB biseco gli goli DCB e CBA. (Vedi figur) Allor y4 y 4 + y 5 4 y y y 4 y 4 y e quidi ) Clcolre le misure dei lti del trpezio. DC DA AB 6 CB 5 b) Riferito il pio dell figur d u coveiete sistem di ssi crtesii (Oy), scrivere le coordite dei vertici del trpezio. c) Tr le cetro-ffiità di equzioi: + b y, y c + d y, trovre quell che trsform il vertice B del trpezio el vertice C e il vertice C el vertice D.

4 A (,) B(6,) D(,4) C(,4) ' + by y' c+ dy C i D B i C + b4 4 c+ d4 ' y 8 y' + y 6+ b 4 c6 + d c + b4 b d4 d ' y 8 y' + y puti uiti 4 y y 4 y puti uiti trovimo l ivers ' 4 y 6 y' 4+ y ' + y' 4 y 4 ' + y ' l rett ym+q deve trsformrsi i y m +q 4 ' + y' ' + y' m+ q ( 6 ' + y' ) ( ' + 9 y' ) m+ q 4 ( 9 my ) ' (m+ 6) ' + q m + 6 y' ' + 9m 9m q m + 6 m 9m q q 9m 9m + 6 qm m + 6 m 9m q q 9m m+ 6 m 9m q q 9mq m+ 6 m 9m q q 9mq m o q o soddisfo l prim equzioe e quidi o h rette uite.

5 d) Stbilire se l cetro-ffiità trovt preset rette uite. e) Clcolre l re dell figur trsformt del cerchio iscritto el trpezio i bse ll cetroffiità trovt sopr. Cosiderdo che se S e S soo le ree di due figure di cui u è l trsformt dell ltr S ' ecosiderdo che deta è il determite dell trsformt si h che det A S.SE det A llor l re dell trsformt del cerchio divet 8 S' S 4π π QUESTIONARIO ) Not l lughezz di u cord di u cerchio di dto rggio, clcolre quell dell cord sottes dll golo l cetro ugule ll metà di quello che sottede l cord dt. [Not L risoluzioe del problem è stt ust d Tolomeo, II sec. d.c., per l costruzioe di u tvol trigoometric i mier equivlete ll ostr formul di bisezioe del seo.] Secodo il teorem dell cord bbimo che AC l Rsiα l α cos si α AB Rsi R R R 4R l R R R l R R l AB R R R 4R R ) Nello spzio ordirio soo dti due pii α, β ed u rett r. Si s che r è prllel d α e perpedicolre β. Cos si può cocludere circ l posizioe reciproc di α e β? Forire u esuriete spiegzioe dell rispost. Sicurmete α e β o soo prlleli ltrimeti, per l proprietà trsitiv del prllelismo vrei che r è prllel co β il che è ssurdo. Se t α β e se fccio pssre pio γ per r e se chimo s l rett itersezioe co α e z l rett itersezioe co α e β ho che per r è perpedicolre co z per ipotesi, e dto che r e s soo prlleli, z è perpedicolre co s e quidi α e β soo perpedicolri. (teorem delle tre perpedicolri ). ) Il domiio dell fuzioe f() è l isieme degli reli tli che: A) e/o >; B) e/o ; C) e/o >; D) e/o.

6 U sol rispost è corrett: idividurl e forire u esuriete spiegzioe dell scelt opert. L rispost è l D. poiché il C.E. soluzioe e 4) Si cosideri u poliomio di grdo ell vribile rele co coefficieti reli. Dimostrre che codizioe ecessri e sufficiete ffiché esso mmett due zeri uguli l umero rele α è che il vlore del poliomio e quello dell su derivt prim si ullio per α. Se i poliomio mmette due zeri coicideti llor è divisibile per il ( ) (Teorem di Ruffii) P ( α) Quidi il teorem dice che P ( ) ( α) P ( ) Dove P () è u ' P ( α) poliomio di grdo. Se Il poliomio mmette due zeri coicideti llor cosiderdo che l derivt è ' P ( ) ( ) P ( ) + ( ) P' ( ) sicurmete α è soluzioe del poliomio e dell α α derivt. Vicevers se P ( α ) llor si h che P ( ) ( ) P ( ) l derivt ' P'( ) ( α) P ( ) + P ( ) si ul per α solo se P diveto due e coicideti. 5) Stbilire se esistoo i limiti dell fuzioe f() per: ) + ; b) ; c), e, i cso di rispost ffermtiv, determirli. Dto l( ) l( ) + + α α ( α) e quidi le soluzioi f( ) ( + ) e e il cmpo di esistez divet >- co diverso d. Esistoo solo i limiti ) l( + ) + + lim e e lim e c) lim e e lim e e + + 6) Si cosideri il seguete sistem di equzioi elle icogite, y, z: l( + ) + dove k è u prmetro rele. Dire se l ffermzioe: «il sistem mmette l sol soluzioe, y, z per ogi vlore di k diverso d» è ver o fls e forire u spiegzioe esuriete dell rispost. Per il teorem di Crmer se il deta è diverso d zero mmette u ed u sol soluzioe. k k Clcoldo il determite secodo l regol di Srrus bbimo che det A k k k

7 k k Si h che det A k k ( k + + ) ( k+ k+ k) k k+ k det A k k+ ( k ) ( k+ ) E fls poiché per k- il sistem mmette soluzioi diverse. Ricordimo l regol di Srrus su u determite : b c b c b det A d e f si riscrivoo le prime due righe di seguito det A d e f d e g h i g h i g h e si cosidero somm del prodotto delle digoli pricipli S(ei)+(bfg)+(cdh) meo l somm delle prodotto delle digoli secodrie D(ceg)+(fh)+(bdi) e llor il determite divet deta S(ei)+(bfg)+(cdh)-(ceg)-(fh)-(bdi) 7) Utilizzdo il procedimeto preferito, dimostrre l formul che forisce l re dell regioe y pi rcchius d u ellisse di semissi oti. Cosiderdo l ellisse geerle + ed b y b esplicitdo l y y b y ± b ±. Allor l re si b clcol come il doppio dell re rcchius dll fuzioe superiore (+) b b Are d 4 d cosiderdo gli itegrli otevoli π d rcsi + rcsi b bbimo che Are 4 b π 4 π 8) I u pio riferito d u sistem di ssi crtesii ortogoli (Oy) soo dte le ffiità di equzioi: (+) b y +, y ( ) + b y, dove, b soo prmetri reli. Dimostrre che fr esse vi è u similitudie dirett e di quest trovre il puto uito.

8 ' ( + ) by+ y' ( ) + by Per essere u similitudie deve essere Ricordimo che u similitudie dirett è del tipo similitudie è dto d k + b llor ' by + p y' b+ y+ q e che il rpporto di + b b ' 4 y+ b + b b y' + 4y 7 4 y+ y il puto uito è y + 4y + y 9 y 9) U ur cotiee pllie uguli i tutto e per tutto fuorché el colore: iftti 8 soo biche e ere. Vegoo estrtte cso, u dopo l ltr, due pllie. Qul è l probbilità che l secod plli estrtt si bic spedo che l prim: ) è bic e viee rimess ell ur? b) è bic e o viee rimess ell ur? c) è mess d prte sez gurdre il colore? ) b) c) 8 PE ( ),6 7 PE ( ), PE ( ) +,6 9 9 ) Cosidert l equzioe i : + b + c, dove, b, c soo umeri reli qulsisi, co, scrivere u lgoritmo che e determii le soluzioi reli e le comuichi, esmido tutti i csi possibili. Se llor Altrimeti Se Se e < b c llor.s. llor b b 4c b b 4 + c

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