Polinomi, disuguaglianze e induzione.

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1 Allemeti Disid Mtemtic Geio 03 Poliomi, disuguglize e iduzioe. Qul è l mssim re di u rettgolo vete perimetro ugule 576? [Suggerimeto: utilizzre le medie e le loro disuguglize.] Svolgimeto. Predimo i cosiderzioe il rettgolo di lti e. Fissre il perimetro è equivlete issre l somm + = 88. Chimdo A l re del rettgolo si h ) + A = = 0736, dove si è utilizzt l disugugliz tr GM e AM. Il vlore mssimo per l re è rggiuto qudo = e quidi qudo il rettgolo è u qudrto. Quidi = = 0736 =. Avedo trovto dei vlori prticolri per e per cui l re è mssim, llor il vlore mssimo per l re è proprio Qul è l mssim re di u trigolo rettgolo co ipoteus ugule 36? [0736] Svolgimeto. Sio e le lughezze dei cteti. Per il teorem di Pitgor + = 36 = 86. Scrivedo duque l disugugliz GM QM, otteimo e quidi Dett A l re del trigolo + 86 = 86 = 8. A = 8 = 6.

2 Per poter ermre che 6 è l re mssim isog che mostrre u esempio i cui tle vlore veg eettivmete ssuto. Per poterlo re utilizzimo il tto che l ugugliz GM QM si h se e solo se = : i questo cso = = 68. Quidi l re è proprio 6. [6] 3 Si P x) u poliomio di grdo, co pri, e vete rdici reli positive e tli che P 0) =. Quto può vlere come miimo l somm delle rdici? Svolgimeto. Osservimo izitutto che P 0) è il termie oto ed è che il prodotto delle rdici essedo pri il grdo del poliomio. Per l disugugliz AM GM pplict lle rdici,..., che per ipotesi soo reli e positive, imo che e quidi si h = = Eettivmete è il vlore miimo i quto si ottiee per = =... = =. Due piloti di Formul o u gr su u percorso circolre decidedo di re giri. Il primo mtiee per tutt l durt dell cors u velocità costte di 38 km/h. Il secodo ivece v 3 km/h durte il primo giro, 30 km/h durte il secodo, 338 km/h durte il terzo e 3 km/h durte il qurto. Chi vice l cors? [Suggerimeto : utilizzre le medie e le loro disuguglize.] Svolgimeto. Geerlizzimo l questioe. Immgiimo che u pilot cci giri, mteedo durte il primo giro u velocità v, durte il secodo u velocità v e così vi. Se chimimo l l lughezz di u giro, llor il tempo impiegto compiere il k-esimo giro è t k = l v k. Il tempo totle è quidi t tot = t t = l v l v. [] L velocità medi risult v = s tot t tot = l t tot = v v

3 i cui s tot è lo spzio totle e osservimo che il termie v v è proprio l medi rmoic di v,..., v. Nel cso del ostro prolem il secodo pilot h u velocità che è l medi rmoic di 3, 30, 338, 3; il primo, ivece, h u velocità medi pri 38 km/h cioè pri ll medi ritmetic di 3, 30, 338, 3. Essedo l medi ritmetic mggiore o ugule ll medi rmoic i questo cso strettmete mggiore, perchè le quttro velocità o soo tutte uguli), vice il primo corridore. [Primo corridore] 5 Si dt u successioe di iteri λ, λ,... tli che l medi dei primi umeri iteri si esttmete, per ogi vlore di. Quto vle λ 03? Svolgimeto. L successioe risult essere uivocmete determit i modo ricorsivo, itti l equzioe λ λ = cosete di ricvre λ i uzioe di λ,..., λ. Spedo che ) =, ovvero ) =, l successioe λ k = k soddis l equzioe dt ed è pertto l uic soluzioe. I prticolre λ 03 = 03 = Qul è il miimo vlore che può ssumere ) 3 +? [05] Svolgimeto. Izitutto osservimo che l espressioe dt può essere riscritt el seguete modo +. 3

4 Applicdo or l disugugliz AM GM ll ter e quidi ,, ) si ottiee ) = 3 Tle vlore è il miimo se esiste u coppi di e per cui + = 3 3 ; ess esiste se e solo se posto = k, l equzioe k + k = 3 h soluzioe. U soluzioe esiste 3 per k = 3 e quidi, d esempio, = e = 3 ). [ 3 3 ] 7 Si P x) = x 30 + x + 8 x x + 0 u poliomio co i coeicieti i iteri. Sppimo che per tutti gli iteri z compresi tr e 30 si h pz) = 3z. Quli soo le ultime 3 cire di P 3)? Svolgimeto. Si Qx) = P x) 3x. Per ipotesi Qx) h grdo 30, è moico perchè P x) lo è) e si ull i tutti gli iteri tr e 30. Quidi Per x = 3 otteimo P x) = x ) x 30) + 3x. P 3) = 3 ) 3 30) = 30! + 3. Dto che 30! è u multiplo di 000, le ultime 3 cire di P 3) soo 03. [03] 8 Si determii il miimo vlore dell espressioe + c + d + c + d + cd se,, c, d soo umeri reli positivi l cui somm è 8.

5 Svolgimeto. Dll disugugliz tr medi ritmetic e medi rmoic pplicte i umeri, c, d, c, d, cd otteimo e quidi Notimo che 6 + c + d + c + d + cd + c + d + c + d + cd, ) 6 + c + d + c + d + cd 36 + c + d + c + d + cd. ) + c + d + c + d + cd = + + c + d) c d + + c + d) + + c + d) = dove si è pplict l disugugliz tr medi qudrtic e medi ritmetic. Comido ) e 3), deducimo + c + d + c + d + cd 6 7. Notimo che per = = c = d = 7 si h l ugugliz. Ne deducimo, quidi, che il miimo dell espressioe primo memro è proprio 6. 3) [ 6 ] Si P x) u poliomio di grdo tle che Quto vle P 00)? P ) =, P ) =,..., P 000) = 000. Svolgimeto. Si Qx) = xp x). Per ipotesi Qx) si ull per x =,,..., 000 e h grdo 000 poiché P x) h grdo ), quidi Qx) = kx )x ) x 000). Il coeiciete direttivo k può essere determito impoedo che Qx) +, che per deiizioe è ugule xp x), i termie oto ugule 0. Il termie oto di Qx) è k 000!, quidi imo che k = 000!. 5

6 Rissumedo, ior imo dimostrto che Per x = 00 otteimo xp x) = x )x ) x 000). 000! 00 P 00) = 00 )00 ) ) =. 000! Risult quidi che P 00) = 0. 0 Si u uzioe deiit per ogi x divers d 0 e d, tle che per ogi x divers d 0 e d si i Quto vle 0)? x) + ) = x. x Svolgimeto. Sostituedo x = 0 ell equzioe dt, otteimo ) 0) + = 0 0 [0] e quidi 0) + ) = 0; predimo or x =, sostituimolo ell equzioe dt e otteimo ) + + = e quidi ) ) + = 0 ; logmete co x = 0 trovimo ) = 0 6

7 e quidi ) + 0) = 0 0. Il prolem si riduce quidi l seguete sistem α + β = 0 β + γ = α + γ = 0 dove imo posto α = 0), β = trovimo che α = 0) = 80 ) ), γ =. Dopo lcui pssggi 0 che è il vlore che cercvmo. [ 80 ] 7