A cura del dipartimento di Matematica dell Istituto Superiore N. BIXIO FORMULARIO DI MATEMATICA E COMPLEMENTI PER LE CLASSI III-IV-V

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1 cur del diprtimeto di Mtemtic dell Istituto uperiore N. IXIO FORMULRIO DI MTEMTIC E COMPLEMENTI PER LE CLI III-IV-V.. 5/6

2 INDICE EQUZIONI DI GRDO...3 EQUZIONI E DIEQUZIONI DI GRDO CON... EQUZIONI E DIEQUZIONI IRRZIONLI...5 EQUZIONI E DIEQUZIONI CON I MODULI...5 GEOMETRI PIN...6 GEOMETRI NLITIC...8 Rett...8 Prol...8 Circoerez...9 Ellisse...9 Iperole... GONIOMETRI E TRIGONOMETRI... Fuzioi oiometriche... Relzioi odmetli... Grici delle uzioi oiometriche... Fuzioi oiometriche espresse medite u sol di esse...3 Vlori di oli prticolri... Formule oiometriche...5 Relzioi tr li elemeti di u triolo rettolo...6 Relzioi tr li elemeti di u triolo qulsisi...6 Equzioi oiometriche...7 EPONENZILI E LOGRITMI...8 Fuzioe espoezile...8 Loritmi...8 Fuzioe loritmic...9 Equzioi e disequzioi espoezili...9 Equzioi e disequzioi loritmiche... CLCOLO COMINTORIO... Fttorile... Coeicieti iomili... Disposizioi... Comizioi... Permutzioi... NLII...3 LIMITI...3 DERIVTE...5 INTEGRLI INDEFINITI...6 INTEGRLE DEFINITO...7 INTEGRZIONE NUMERIC...8 FUNZIONI IN DUE VRIILI DERIVTE PRZILI, HEINO...9 EQUZIONI DIFFERENZILI DEL PRIMO ORDINE...3 GEOMETRI OLID...3

3 EQUZIONI DI GRDO Dt l equzioe c co e,c si risolve clcoldo Discrimite c Formul risolutiv I prticolre se è pri si può pplicre l Formul risolutiv ridott e e c l equzioe c si deiisce pur ± ± c c c c No esistoo soluzioi reli oluzioi c< ± c e e c l equzioe si deiisce impur spuri, le soluzioi soo e composizioe del triomio e e soo le soluzioi dell equzioe c llor c 3

4 Discrimite ol. c EQUZIONI E DIEQUZIONI DI GRDO CON Grico ol. c ol. c ol. c< ol. c due soluzioi reli e distite < v v << due soluzioi reli e coicideti R < essu soluzioe rele R R N.. Per risolvere le disequzioi co < st moltiplicre mo i memri dell disequzioe per - e si ritor llo schem precedete.

5 5 EQUZIONI E DIEQUZIONI IRRZIONLI Equzioi irrzioli [ ] [ ] [ ] [ ] esistez di Codizioi se è pri se è dispri Disequzioi irrzioli e è dispri < [ ] [ ] < [ ] [ ] e è pri < [ ] < [ ] v < EQUZIONI E DIEQUZIONI CON I MODULI Equzioi co moduli v < co R ± < se se se impossiile Disequzioi co moduli i < < - < <

6 GEOMETRI PIN Teorem di Pitor I oi triolo rettolo il qudrto costruito sull ipoteus è equivlete ll somm dei qudrti costruiti sui cteti. c Teoremi di Euclide I I u triolo rettolo ciscu cteto è medio proporziole tr l ipoteus e l su proiezioe sull ipoteus C: : H II - I u triolo rettolo l ltezz reltiv ll ipoteus è medi proporziole tr le proiezioi dei cteti sull ipoteus CH: H H: H Teorem di Tlete Dto u scio di rette prllele tlite d due trsversli il rpporto r i semeti e CD idividuti dlle rette del scio su u trsversle è uule l rpporto dei corrispodeti e C D sull ltr trsversle : CD : C D Fiur pi Immie Fiur Formule Triolo qulsisi p C C h Formul di Eroe p p p p c Triolo equiltero p 3 l l 3 6

7 Fiur pi Immie Fiur Prllelormm Formule p C h Qudrto p l l d l Trpezio h Romo d d Polioo p Cerchio π r C π r α rco π r 8 7

8 GEOMETRI NLITIC FORMUL DECRIZIONE Distz tr due puti co l stess ordit Distz tr due puti co l stess sciss M M C G G C Distz tr due puti Coordite del puto medio M del semeto di estremi Coordite del ricetro G del triolo di vertici,, C C C FORMUL c mq m m Rett DECRIZIONE Equzioe dell rett i orm implicit Equzioe dell rett i orm esplicit Coeiciete olre ot l eq. I orm implicit Coeiciete olre oti due puti dell rett. m Equzioe del scio proprio di cetro P d d m c m c m Equzioe del scio improprio isieme di tutte le rette prllele co coe. olre m Equzioe dell rett oti due puti. Distz d u puto P d u rett r: c Distz d u puto P d u rett r: mq c Prol Equzioe coic dell prol co sse di simmetri prllelo ll sse V F Vertice dell prol Fuoco dell prol c c 8

9 sse di simmetri dell prol Direttrice dell prol c c V Equzioe dell prol co sse di simmetri V prllelo ll sse oto il Vertice. c Equzioe coic dell prol co sse di simmetri prllelo ll sse Vertice dell prol c V Fuoco dell prol c F sse di simmetri dell prol c Direttrice dell prol c V Equzioe dell prol co sse di simmetri V prllelo ll sse oto il Vertice. Circoerez c Equzioe coic dell circoerez r Equzioe dell circoerez oto Cetro C C C e rio r Coordite del Cetro ot l eq. coic dell C C circoerez r Misur del rio ot l eq. coic dell circoerez c se c se c se e c se Ellisse Equzioe coic dell ellisse emidistz ocle Eccetricità è sempre miore di 9

10 Iperole Equzioe coic dell iperole co i uochi sull sse Equzioe coic dell iperole co i uochi sull sse emidistz ocle c Equzioi deli sitoti ± c Eccetricità è sempre miore di e se i uochi soo sullsse c se i uochi soo sullsse Equzioe dell iperole equilter Equzioe dell iperole equilter rierit li sitoti

11 GONIOMETRI E TRIGONOMETRI Fuzioi oiometriche tα seα cos α P π T α π P se α cos α Relzioi odmetli seα t α cos α Grici delle uzioi oiometriche Fuzioe seo: Domiio R codomiio [- ] Periodic di periodo π Fuzioe dispri: se--se Grico simmetrico rispetto ll oriie

12 Fuzioe coseo: Domiio R codomiio [- ] Periodic di periodo π Fuzioe pri: cos-cos Grico simmetrico rispetto ll sse Fuzioe tete: Domiio R π π, Z codomiio R Periodic di periodo π Fuzioe dispri: t--t Grico simmetrico rispetto ll oriie

13 Fuzioi oiometriche espresse medite u sol di esse Espress medite Fuzioe seα cosα tα cotα secα cosecα seα seα ± cos α tα ± ± sec α ± t α cot α secα cos ecα cosα ± se α cosα cot α ± ± cos ec α t α cot α secα ± cos ecα tα seα ± cos α tα ± ± sec α ± se α cosα cot α cos ec α cotα se α cosα cotα ± ± ± ± cos ec α seα cos α tα sec α secα ± α ± t cot α secα cos ecα se α cosα ± ± cot α cos ec α cosecα ± t α ± cot α secα cosecα seα ± ± cos α tα sec α 3

14 Vlori di oli prticolri olo i olo i eo Coseo Tete Cotete rdi rditi ± 5 π π π 8 3 π π π 5 3π π π 8 7 π π π ± 8 π - ± 7 3π - ± 36 π ±

15 Formule oiometriche DDIZIONE E OTTRZIONE α ± β seα cos β seβ cosα cos α ± β cosα cos β m seαseβ se ± tα ± tβ t α ± β m tα tβ se α seα cosα t tα t α α α cosα se ± cosα ± cosα α t cosα seα seα cosα DUPLICZIONE IEZIONE cot α ± β cot α cot β m cot α ± cot β cos α se α cos α cos α se α cot α cot α cot α α cosα cos ± cosα ± cosα α cot cosα seα seα cosα α t t co α π co Z t t seα cosα t t Posto PRMETRICHE t tα t p q p q se p se q se cos p q p - q cos p cos q cos cos seα α cos β cos α β cos α β PROTFEREI WERNER p q p - q se p se q cos se p q p - q cos p cos q se se se α seβ cos α β cos α β cos β [ se α β se α β ] cos αseβ [ se α β se α β ] cos [ ] [ ] 5

16 Relzioi tr li elemeti di u triolo rettolo seβ cosγ c cos β c seγ c t β t γ c α 9 Relzioi tr li elemeti di u triolo qulsisi Teorem dei sei c seα seβ seγ Teorem di Crot o del coseo c c cosα c c cos β c cosγ Teorem dell cord r seγ re di u triolo seγ 6

17 Equzioi oiometriche elemetri Equzioi oiometriche oluzioi i Fuzioe Equzioe oluzioi i rdi rditi α 36 α π se 8 α 36 π α π eo α β 36 α β π se α seβ α 8 β 36 α π β π cos ± α 36 ± α π Coseo α β 36 α β π cos α cos β α β 36 α β π t α 8 α π Tete t α tβ α β 8 α β π Z Equzioi lieri omoeee i seo e coseo se cos co, Dividimo i memri per cos e otteimo t Equzioi lieri o omoeee i seo e coseo se cos c co,,c Veriichimo che l equzioe iizile i come soluzioe vlore o esiste t Poimo t t π π i quto per questo usimo le ormule prmetriche e otteimo t t c t t Equzioi omoeee di secodo rdo i seo e coseo se se cos c cos e v c e qulsisi: pplichimo l lee di ullmeto del prodotto e c e qulsisi: dividimo mo i memri per cos e otteimo se se cos c cos d t Osservimo che d d d se cos omoee. t c e sostituedo otteimo cor u equzioe 7

18 Fuzioe espoezile EPONENZILI E LOGRITMI co Proprietà Il domiio è R I vlori dell uzioe espoezile soo sempre positivi. Il suo rico itersec l sse el puto L sse delle scisse è u sitoto dell uzioe. e l uzioe è crescete rico e << l uzioe è decrescete rico Grico co Grico co << Loritmi lo, Loritmo eperio o turle lo l Loritmo decimle o di ris Proprietà lo c c lo e lo lo lo lo co Operzioe Proprietà Cso Prticolre Prodotto lo c lo lo c Quoziete Potez Cmimeto di se lo lo lo c lo lo c c c lo lo lo lo loc lo lo c 8

19 Fuzioe loritmic lo co Proprietà Il domiio è R Il suo rico itersec l sse el puto L sse delle ordite è u sitoto dell uzioe. e l uzioe è crescete rico e << l uzioe è decrescete rico Grico co Grico co << Equzioi e disequzioi espoezili Equzioi espoezili lo[ ] lo[ ] lo lo Disequzioi espoezili e < < e << < < I eerle lo[ ] lo[ ] lo lo 9

20 Equzioi e disequzioi loritmiche Equzioi loritmiche co lo lo Disequzioi loritmiche co lo lo e e << < co lo lo < e e << <

21 CLCOLO COMINTORIO Fttorile!!! LL3 Coeicieti iomili!!! Formul di tiel Proprietà di ricorrez Formul di Trtli Newto

22 Disposizioi el coteio è importte l ordie deli oetti elemeti uuli i ordie diverso o prte di rruppmeti diversi Disposizioi EMPLICI Disposizioi co oi elemeto o può comprire più di u volt Disposizioi semplici di elemeti di clsse ruppi di, D,...!! RIPETIZIONE qulche elemeto o tutti può ripetersi Disposizioi co ripetizioe di elemeti D r, Comizioi el coteio o è importte l ordie deli oetti elemeti uuli i ordie diverso o prte dello stesso rruppmeto Comizioi EMPLICI due comizioi soo diverse se dieriscoo per lmeo u elemeto Comizioi semplici di elemeti di clsse ruppi di, C, D,!...! Comizioi co RIPETIZIONE due comizioi soo diverse se dieriscoo per lmeo u elemeto o per il umero di volte che u elemeto compre Comizioi co ripetizioe di elemeti, può essere miore di r... C,! e si prl di Permutzioi PERMUTZIONI EMPLICI PERMUTZIONI CON RIPETIZIONE si scmi semplicemete di posto li α uuli, β uuli, γ oetti uuli αβγ P D, 3!! si ttriuisce il vlore,,! P α β γ α! β! γ!

23 LIMITI NLII Clcolo dei limiti lim lim lim [] lim [-] l l l l l - l l ± ± m ± l ± ± idetermito idetermito idetermito idetermito lim lim lim [] lim [/] l l l l l / l l ± ± l< ± m ± l ± ± ± l< m m ± ± idetermito ± m idetermito l l ± idetermito ± idetermito idetermito Proprietà e lim l e lim lllor lim l lo lol lim l l lim lim [ ] l lim[ ] l Reol prtic per il limite i orm idetermit io e poliomi rispettivmete di rdo ed m se m lim rpporto dei coeicieti di rdo mssimo se m se < m 3

24 Limiti otevoli se lim cos lim lim l se lim cos lim lim lim e lim e lim l e lim lim se lim e

25 5 DERIVTE Reole di derivzioe io, uzioi derivili Derivt dell somm leric [ ] D Derivt del prodotto [ ] D Derivt del quoziete [ ] D Derivt dell uzioe compost [ ] D Fuzioe Derivt Fuzioe compost Derivt. compost m m m m m m l l e e e e lo e lo lo lo e l l l l se cos se[] cos[] cos -se cos[] -se[] t cos t[] [ ] cos cot se cot[] [ ] se rcse rcse[] rccos rccos[] rct rct [] rccot rccot []

26 Proprietà deli iterli d d [ ] d d d Iterli immediti INTEGRLI INDEFINITI d c d c d c e d e c [ ] [ ] d c e d e c d c l d c l d l c d l c se d cos c se d cos c cos d se c cos d se c cos d t c d cot c se d t c cos se d cot c d rct c d rcse c d rccot c d rccos c Iterle per prti Dte e, co derivile ed F primitiv di si h: d F F d 6

27 Iterle di rzioli rtte Dti e poliomi d si possoo presetre due csi: Il rdo di è miore del rdo di iso scomporre umertore e deomitore. Il rdo di è miore del rdo di si devoo dividere umertore e deomitore e detto Q il poliomio quoziete ed R il poliomio resto si ottiee: R d Q d d N.. e h rdo uo e h rdo due iso studire il del deomitore - - d d d - d d d INTEGRLE DEFINITO d F F Proprietà d d Teorem dell medi e è cotiu i [] esiste lmeo u puto c [] tle che d c Clcolo delle ree [ ] d d d 7

28 INTEGRZIONE NUMERIC Metodo dei rettoli i cotiu ell itervllo [ ], [ ] i i llor h, i i h e c i i i puto medio di d h i c i e l uzioe h derivt secod cotiu ell itervllo [] e è u costte tle che per oi [] l errore stimto è Metodo dei trpezi i cotiu ell itervllo [ ], d h i i E R h, i i h llor e l uzioe h derivt secod cotiu ell itervllo [] e è u costte tle che per oi [] l errore stimto è Metodo delle prole i cotiu ell itervllo [ ], E T h, i i h 3 llor d h 3 L 3 [ ] e l uzioe h derivt qurt cotiu ell itervllo [] e è u costte tle che per oi [] l errore stimto è E T

29 9 FUNZIONI IN DUE VRIILI DERIVTE PRZILI, HEINO Fuzioe i due vriili i deiisce uzioe i due vriili l uzioe che ssoci d oi coppi ordit pprteete d u sottoisieme D di R detto domiio uo ed u solo umero rele z. z D R : Il rico di quest uzioe è l isieme di tutte e sole le tere z dello spzio crtesio tli che z. i deiiscoo curve di sezioe le itersezioe del rico dell uzioe co i pii prlleli i pii z e z. z oppure z i deiiscoo curve di livello le itersezioe del rico dell uzioe co i pii prlleli l pio. z z Derivte przili z lim z lim Pio tete z z Derivte przili del secodo ordie z z z z Teorem di chwrz: i z u uzioe i due vriili co le derivte secode cotiue rispetto ciscu vriile, llor z z Dierezile totle d d d

30 Hessio i z u uzioe i due vriili cotiu co le derivte prime e secode cotiue rispetto ciscu vriile, si deiisce Hessio il determite dell mtrice costituit dlle derivte del secodo ordie : H Mssimi, miimi e puti sell i z u uzioe i due vriili cotiu co le derivte prime e secode cotiue rispetto ciscu vriile, per determire se u puto P P è puto di mssimo, miimo o puto sell è ecessrio che: È suiciete che Puto Codizioi P puto di miimo e H H e < H < P puto di mssimo P puto sell 3

31 EQUZIONI DIFFERENZILI DEL PRIMO ORDINE i deiisce equzioe dierezile di ordie eesimo u relzioe del tipo F,,,, K, i prticolre si dice del primo ordie l equzioe,, F. U uzioe che soddis quest equzioe si chim soluzioe o iterle dell equzioe dierezile. Iterle eerle e iterle prticolre L uzioe c è l iterle eerle dell equzioe F,, se per quluque vlore del prmetro c l uzioe è sempre soluzioe dell equzioe dierezile. i deiisce iterle prticolre dell equzioe F,, u soluzioe che soddisi u codizioe prticolre per cui si deve clcolre il vlore di c. Equzioi dierezili del primo ordie L equzioe dierezile del primo ordie si risolve iterdo mo i memri dell uuliz: d d d cui co F primitiv di d quidi F c iterle eerle Esempio: Determi l iterle eerle dell seuete equzioe dierezile 3 e poi l iterle prticolre che soddisi l codizioe 5 3 d c 3 iterle eerle Impoimo c llor c7 l iterle prticolre è 3 7 Equzioi dierezili del primo ordie vriili seprili U equzioe dierezili del primo ordie è vriili seprili se è del tipo F,, e si può scrivere come d d dove e soo uzioi cotiue. Esempio: si può scrivere d d cui d d d Iterdo mo i memri si ottiee d d c quidi c 3

32 3 GEOMETRI OLID olido Fiur re dell supericie Volume Prllelepipedo rettolo h h t l Not: h d h V Prism retto l t l h p h V Pirmide rett l t l p h V 3 Cilidro r h r l t l π π h r V π Coo r r l t l π π h r V 3 π er r π 3 3 r V π

33 olido di rotzioe V π [ ] d 33