Introduzione al calcolo letterale: Monomi e polinomi

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1 A SCUOLA DÌ MATEMATICA Lezioi di mtemtic cur dì Eugeio Amitro Argometo. Itroduzioe l clcolo letterle: Moomi e poliomi U pgi del liro Al-Kitā l-mukhtṣr fī hīsā l-ğr w l-muqāl Liero d Copyright, l diffusioe è lier.

2 Itroduzioe l clcolo letterle Coteuti: N. TITOLO Pg.. Itroduzioe ll lger elemetre Proprietà delle poteze Sommtori, produttori e fttorile Coefficiete iomile Moomi e sue operzioi Poliomi e sue operzioi Prodotti otevoli Scomposizioe di poliomi Espressioi letterli Amitro Eugeio Novemre

3 Itroduzioe l clcolo letterle Itroduzioe ll lger elemetre L'lger è u rc dell mtemtic che studi le strutture lgeriche, cioè quegli isiemi di sostego muiti di operzioi i cui gli operdi soo espressi si co umeri che co lettere. Le origii dell lger rislgoo l oto mtemtico persio Muhmmd i Mus l- Khwrizmi, e precismete il termie lger è preso dl titolo del suo liro Al-Kitā lmukhtṣr fī hīsā l-ğr w l-muqāl i cui trtt l risoluzioe delle equzioi di primo e di secodo grdo. Il più semplice tipo di lger è pputo l lger elemetre, che rppreset u evoluzioe i pricipi se dell'ritmetic, dove oltre i umeri e le quttro operzioi ritmetiche, compioo che simoli. I tutte le disciplie scietifiche l lger è molto utilizzt, i quto cosete l formulzioe delle relzioi fuzioli. Ad esempio i fisic clssic, l mggior prte delle relzioi che descrivoo i feomei turli soo espresse medite formulzioi lgeriche. I questo rgometo, trtteremo i prticolre le proprietà e i metodi di risoluzioe delle operzioi i cui compioo operdi costituiti d umeri e lettere, l fie di poter risolvere espressioi letterli. Amitro Eugeio Novemre

4 Itroduzioe l clcolo letterle Proprietà delle poteze Prim di procedere è utile itrodurre il cocetto di vriile. Il termie vriile idic u oggetto, u letter o u qulsisi simolo che può ssumere vlori diversi, pprteeti d u certo isieme, i mometi diversi. Ad esempio, se cosiderimo l formul per clcolre l re di u rettgolo, A h, dove A è l re del rettgolo, l se ed h l ltezz, è fcile ituire che le vriili e h ssumero vlori diversi per rettgoli diversi. Di seguito u reve schem che illustr le proprietà delle poteze i cui soo preseti le lettere, le quli possoo essere sostituite co qulsisi umero. Codizioe importte! Se i u espressioe letterle, u letter compre più volte, i ogi mometo letter ugule corrispode umero ugule. Ricordimo che l potez è l operzioe i cui si moltiplico più volte umeri uguli:... volte E di seguito vedimo le pricipli proprietà delle poteze: Potez di u prodotto: L potez di u prodotto è il prodotto delle sigole poteze: (.) Potez di u frzioe: L potez di u frzioe è l frzioe delle sigole poteze: (.) Amitro Eugeio Novemre

5 Itroduzioe l clcolo letterle Potez d espoete uitrio: Ogi potez d espoete uitrio corrispode ll su stess se: (.) I prtic, il umero è l elemeto eutro dell potez. Potez d espoete ullo: Ogi potez co se divers d zero, d espoete ullo corrispode d : Potez d espoete egtivo: (.) Ogi potez co espoete egtivo corrispode l reciproco dell potez d espoete positivo: (.5) (.5) (.5c) Dll defiizioe di potez e d queste prime cique proprietà, si ricvo tutte le proprietà descritte i seguito. Prodotto di poteze veti l stess se: Il prodotto di poteze veti l stess se, è u potez che per se h l stess se e per espoete l somm degli espoeti degli operdi: m m (.) Esempio: 5 Dimostrzioe: m volte m volte m volte m Amitro Eugeio Novemre 5

6 Itroduzioe l clcolo letterle Frzioe o divisioe di poteze veti l stess se: L divisioe, o frzioe di poteze veti l stess se, è u potez che per se h l stess se e per espoete l differez degli espoeti degli operdi. m m m : (.7) Esempio: 7 7 Dimostrzioe: m m m m m Potez di u potez: L divisioe, o frzioe di poteze veti l stess se, è u potez che per se h l stess se e per espoete il prodotto degli espoeti degli operdi. Esempio: Dimostrzioe: m m (.8) m m m volte volte volte m volte m volte Amitro Eugeio Novemre

7 Itroduzioe l clcolo letterle Sommtori, produttori e fttorile U ltro richimo importte è quello del cocetto di fuzioe che è stto descritto ell rgometo- di quest oper. Def. Dti due isiemi o vuoti, A e B, l fuzioe (o ppliczioe) tr l isieme A e l isieme B che si idic co l scrittur f : A B è u legge che ssoci d ogi elemeto di A uo e u solo elemeto di B (corrispodez uivoc). Per l spiegzioe, pprofodire l rgometo ttrverso il prgrfo Cei di Fuzioi dell rgometo-. I sostz, prtire d u isieme A, ttrverso u legge f : A B, otteimo come risultto u isieme C (sottoisieme di B ) cotete gli elemeti di B che soo ssociti gli elemeti dell isieme A. Dto u isieme A, costituito d u sequez di umeri che v d, co il vlore di oto, e dt u legge f : A B, possimo defiire: Sommtori, l somm di tutti gli elemeti dell isieme C ; Produttori, il prodotto di tutti gli elemeti dell isieme C. Geerlmete, ell sommtori e ell produttori, l vriile idipedete si idic co l letter i. Il simolo utilizzto per idicre l sommtori è (sigm miuscolo), e l su operzioe si scrive i f Attrverso quest scrittur, possimo dire che l isieme A è costituito dgli elemeti,,,...,, metre l isieme C, per l legge f : A B, è costituito dgli elemeti ssociti f, f,... f. Il risultto dell sommtori è u umero dto dll somm degli elemeti dell isieme C. Pertto possimo scrivere: i. i f i f f... f (.) Ad esempio provimo clcolre il risultto dell sommtori 5 i : i Amitro Eugeio Novemre 7

8 Itroduzioe l clcolo letterle L isieme A è costituito dgli elemeti,,,.,5, metre l isieme C, per l legge i, è costituito di qudrti degli elemeti di A, per cui,,,, 5 5 Quidi i i. C. No ecessrimete l sequez deve prtire d, st idicre sotto l simolo di sommtori, ivece di i, d esempio l scrittur i se si vuole prtire d oppure i se si vuole prtire d e così vi. Altro esempio, provimo clcolre i i L isieme A è costituito dgli elemeti,,, metre l isieme C, per l legge i, è costituito degli elemeti di A moltiplicti per e sottrtti di u uità, per cui C 5,8,, poiché 5, 8 e. Quidi 5 8 i i. Il simolo utilizzto per idicre l produttori è (pi miuscolo), e l su operzioe si scrive i f i. Il procedimeto è logo quello dell sommtori, cmi il clcolo del risultto, che ivece dell somm è il prodotto degli elemeti dell isieme C. i f i f f... f (.) Ogi ulteriore spiegzioe sree superflu, pertto pssimo direttmete gli esempi. Esempio, provimo clcolre i i L isieme A è costituito dgli elemeti,,, metre l isieme C, è costituito degli elemeti di A moltiplicti per e sommti di u uità, per cui C 5,7,9. Quidi i i. Amitro Eugeio Novemre 8

9 Itroduzioe l clcolo letterle Il fttorile di u umero, si scrive! e si legge fttorile o fttorile di, corrispode l prodotto dei umeri che vo d. Ad esempio! i. i! i... (.) Di seguito riportimo il fttorile dei primi umeri turli: i! i i! i i! i i! i i 5 5! i 5 i! i 5 7 i 7 7! i i 8 8! i i 9 9! i i! i i D questo eleco è fcile otre che il vlore del fttorile cresce molto rpidmete. U proprietà fodmetle è l su scomposizioe:!! (.) Cioè il fttorile di u umero corrispode l fttorile del precedete per il umero stesso, d esempio! corrispode l fttorile di moltiplicto per. Possimo scrivere quidi!!, iftti! i e! i. i Grzie quest proprietà, simo che i grdo di stilire che il fttorile di è ugule.! (.5) Dimostrzioe: Per l proprietà zidett!!!. Essedo!! e!, per l proprietà trsitiv che!. i Amitro Eugeio Novemre 9

10 Itroduzioe l clcolo letterle Coefficiete iomile Il coefficiete iomile, che riprederemo el clcolo comitorio elle prossime lezioi, è u importte ppliczioe del fttorile, i grdo di clcolre le comizioi semplici sez ripetizioe. Esempi di comizioe semplice sez ripetizioe li ritrovimo spesso ell ostr vit quotidi, d esempio qudo clcolimo le proilità di vicere l lotto. Co il coefficiete iomile possimo clcolre d esempio quti teri ci soo i cique umeri, oppure qute soo le comizioi del superelotto, o cor qute coppie posso formre co u certo umero di persoe e così vi. Come imo detto prim, il coefficiete iomile è u ppliczioe del fttorile, ci soo due vriili che idicheremo co e k, si scrive formul:! k k! k! (.) k ed è dto dll seguete Esempio : 5 5!! 5! 5!!! Esempio :!!!!!! I prtic, l scrittur k si formo utilizzdo umeri., clcol qute comizioi di k umeri (sez ripetizioi) Per itrodurci el cuore del cocetto, prtimo co u esempio molto semplice. Provimo rispodere quest domd: Qute coppie (due persoe) si possoo fre co persoe?. Idichimo le tre persoe co A, B e C. Le possiili coppie soo AB, AC e BC, quidi le coppie soo. Cofrotimo desso questo risultto co quello clcolto ttrverso il coefficiete iomile. Amitro Eugeio Novemre

11 Itroduzioe l clcolo letterle I questo cso vle poiché le persoe soo, metre k vle poiché le coppie soo formte d persoe.!!!!!! Il risultto è, proprio il umero delle possiili coppie. Procedimo co qulcos di leggermete più complicto. Or l domd è Quti teri si possoo fre co 5 umeri? I questo cso vle 5 e k vle, poiché voglimo clcolre le comizioi di umeri (sez ripetizioi) su ! 5!! 5!!! Aimo così clcolto che su 5 umeri ci soo e teri. Ifie, provimo clcolre le comizioi del superelotto. I prtic, doimo clcolre qute sestie (comizioi di umeri) si possoo fre co 9 umeri. I questo cso vle 9 e k vle, poiché voglimo clcolre le comizioi di umeri (sez ripetizioi) su !! 9! 9!!8! Fccimo qulche riflessioe sul clcolo. Il fttorile di 9 è u umero composto d 9 cifre, e questo rede il clcolo molto complesso. Possimo rederlo molto più semplice utilizzo le proprietà del fttorile. Sfruttdo l proprietà del fttorile (.) possimo scrivere: 9! 989! 98988! ! Sostituimo il fttorile di 9 el clcolo delle comizioi: 9! !!8!!8! Amitro Eugeio Novemre

12 Itroduzioe l clcolo letterle A questo puto, possimo semplificre il fttorile di 8 e clcolre le comizioi co umeri più gestiili ! 7. Forse questo risultto ci suggerisce qulcos. Il ome coefficiete iomile sce dl clcolo dell potez di iomio (iomio di Newto) che vedremo più vti i quest lezioe, el prgrfo delle operzioi co i poliomi. Amitro Eugeio Novemre

13 Itroduzioe l clcolo letterle Moomi e sue operzioi U moomio è u espressioe lgeric che esprime u qutità, ed è costituito d tre prti:. U sego (+, );. U prte umeric (coefficiete);. U prte letterle. U esempio di moomio è, dove, i questo cso il sego è, il coefficiete (prte umeric) è il e l prte letterle è. Vle l pe spedere qulche prol su tutto ciò che può essere sottiteso. Qudo o è specificto il sego, si sottitede che tle sego si positivo, d esempio per il moomio c è sottiteso che si trtt di c. Qudo o è specifict l prte umeric, si sottitede che tle coefficiete si il umero. Ad esempio per il moomio c è sottiteso che si trtt di c. Questo perché il umero è l elemeto eutro dell moltipliczioe, ed essedo il moomio sostzilmete u moltipliczioe tr le prti, è possiile pplicre quest proprietà. Iftti, se per tle proprietà, vle che l ugugliz. Qudo d u letter o è specificto l espoete, per l proprietà (.) delle poteze, si sottitede che tle espoete si il umero. Ad esempio per il moomio c è sottiteso che si trtt di c. Qudo i u prte letterle o è specifict u letter, possimo evetulmete sottitedere che quest letter ci si co espoete ullo. Iftti, comido l proprietà dell elemeto eutro dell moltipliczioe co l proprietà (.) delle poteze, possimo sottitedere l presez di ltre lettere ell prte letterle. Ad esempio cosiderimo il moomio cd. Per l proprietà dell elemeto eutro possimo scrivere cd cd Per l proprietà (.) delle poteze possimo scrivere d esempio.. Ifie, per queste proprietà cd cd cd. Ioltre, u moomio può essere cosiderto tle che se mcte dell prte letterle. Amitro Eugeio Novemre

14 Itroduzioe l clcolo letterle Pssimo desso lle defiizioi più importti: Moomi simili: Due moomi si dicoo simili qudo ho l stess prte letterle. Ad esempio, i moomi c e c soo simili, iftti, ho l prte letterle ( c ) i comue. Grdo di u moomio: Doimo distiguere due tipi di grdo: Il grdo complessivo; Il grdo rispetto d u letter. Il grdo complessivo è l somm di tutti chi espoeti delle lettere preseti ell prte letterle, metre il grdo rispetto d u letter corrispode ll espoete dell letter cui si f riferimeto. Esempio : cd Grdo complessivo: Grdo rispetto ll : Grdo rispetto ll c : Grdo rispetto ll d : Esempio : Grdo complessivo: Vedimo desso le operzioi. Addizioe e sottrzioe L ddizioe o l sottrzioe lgeric fr moomi può vveire solo qudo gli ddedi soo tr loro simili, cioè che posseggoo l stess prte letterle. L somm o l differez lgeric è ch ess u moomio che h l stess prte letterle dei suoi operdi e come coefficiete l somm o l differez lgeric dei coefficieti degli operdi. Ad esempio 5. Prte letterle: Operzioe lgeric: 5 Quidi 5 Amitro Eugeio Novemre

15 Itroduzioe l clcolo letterle Per l ddizioe e l sottrzioe lgeric fr moomi vlgoo tutte le proprietà dell ddizioe e dell sottrzioe ritmetic descritte ell rgometo-. Moltipliczioe Il prodotto tr due o più moomi è quel moomio che h: Per sego il prodotto dei segi; Per coefficiete il prodotto dei coefficieti; L prte letterle si costruisce seguedo l regol del prodotto di poteze (.). Ad esempio, eseguimo l seguete moltipliczioe: c c Sego: Coefficiete: Lettere preseti:,, c Espoete di : Espoete di : Espoete di c : Quidi, c c c Divisioe Il quoziete tr due moomi è quel moomio che h: Per sego il prodotto dei segi; Per coefficiete il quoziete dei coefficieti; L prte letterle si costruisce seguedo l regol delle frzioi di poteze (.7). Ad esempio, eseguimo l seguete divisioe: Sego: Coefficiete: Espoete di : Espoete di : Espoete di c : 5 Quidi, c c 5 c c c 5 Amitro Eugeio Novemre 5

16 Itroduzioe l clcolo letterle Elevmeto potez L elevmeto potez di u moomio produce come risultto quel moomio che h: Per sego l potez del sego; Per coefficiete l potez del coefficiete; L prte letterle si costruisce seguedo l regol dell potez di potez (.8). Per l potez del sego, ricordimo che il sego positivo rime positivo per qulsisi potez, metre il sego egtivo rime egtivo per le poteze dispri e divet positivo per poteze pri. Regol dell potez del sego:.. pri.. disp. Ad esempio, eseguimo l seguete potez: c Sego: Coefficiete: 8 Espoete di : Espoete di : 9 Espoete di c : 9 Quidi, c 8 c M.C.D. e m.c.m. Il mssimo comue divisore (M.C.D.) e il miimo comue multiplo (m.c.m.) di due o più moomi è u moomio che v clcolto come segue: Per l prte umeric, il mssimo comue divisore e il miimo comue multiplo seguoo le regole descritte ell rgometo-. Per l prte letterle ivece seguimo le due semplici regole segueti: ) L prte letterle del M.C.D. è formt dlle lettere solo comui, prese u sol volt co il miimo espoete. Amitro Eugeio Novemre

17 Itroduzioe l clcolo letterle ) L prte letterle del m.c.m. è formt dlle lettere comui e o comui prese u sol volt co il mssimo espoete. Ad esempio, clcolimo i M.C.D. e il m.c.m. dei segueti moomi: 9 c ; c d ; c 5 d ; M.C.D. Prte umeric: M. C. D.(9,,) Lettere comui:, c Miimo espoete di : ( moomio) Miimo espoete di c : ( moomio) Risultto: c m.c.m. Prte umeric: m. c. m.(9,,) Lettere comui e o:,, c, d Mssimo espoete di : ( moomio) Mssimo espoete di : ( e moomio) Mssimo espoete di c : 5 ( moomio) Mssimo espoete di d : ( e moomio) Risultto: 5 c d Amitro Eugeio Novemre 7

18 Itroduzioe l clcolo letterle Poliomi e sue operzioi U poliomio, come il moomio è u espressioe lgeric, rppresetto dll somm lgeric di uo o più moomi. Ad esempio c. Ogi moomio che costituisce u poliomio è chimto termie. U poliomio costituito d due termii è chimto iomio, d esempio 5 ; U poliomio costituito d tre termii è chimto triomio, d esempio ; Il moomio è u poliomio formto d u solo termie, geerlmete però si preferisce ssocire l prol poliomio d lmeo due termii. Come per il moomio, il grdo di u poliomio può essere complessivo o rispetto d u letter. Il grdo complessivo corrispode l grdo del termie mggiore. Metre il grdo rispetto d u letter corrispode l grdo mssimo posseduto dll letter di riferimeto. Esempio: c d cd Grdo moomio: 9 grdo mggiore! Grdo moomio: Grdo poliomio: 9 (= grdo moomio) Grdo rispetto ll : ( moomio) Grdo rispetto ll : ( moomio) Grdo rispetto ll c : ( moomio) Grdo rispetto ll d : ( moomio) Or vedimo u po di defiizioi. U poliomio che h tutti i termii dello stesso grdo si dice omogeeo, d esempio cd h tutti i moomi di grdo. U poliomio si dice ridotto i form ormle, qudo tutti i moomi simili soo stti sommti e soo stti elimiti i moomi ulli. Ad esempio il poliomio c c o è ridotto form ormle, per frlo, doimo sommre tutti i moomi simili. Ricerchimo i moomi simili e li cotrssegimo: c c c c c Amitro Eugeio Novemre 8

19 Itroduzioe l clcolo letterle Dopo quest operzioe otteimo c, poliomio ridotto i form ormle, poiché soo stti sommti ed elimiti tutti i termii simili e ulli. U volt ridotto i form ormle, se esiste il moomio di grdo, questo srà il termie oto del poliomio. Ad esempio c o h termie oto, metre el poliomio il termie oto è. U poliomio si dice ordito rispetto d u letter se esiste u relzioe d ordie (decrescete) tr le poteze di quest letter prtire dl primo termie co il mssimo grdo fio ll ultimo co il miimo grdo. Ad esempio, verifichimo l ordie rispetto ll letter dei segueti due poliomi:. Poteze di :,,, Ordito!. Poteze di :,, No ordito! U poliomio si dice completo, se è presete u sol vriile, e soo preseti tutti i grdi d d di quest vriile, dove è il grdo el poliomio. Ad esempio 5 è u poliomio completo, iftti, esiste solo l vriile, il grdo del poliomio è e soo preseti tutti i grdi d per l letter. Di seguito soo illustrte le pricipli operzioi co i poliomi. Addizioe L somm tr due o più poliomi è quel poliomio formto di termii di tutti i poliomi. poliomio poliomio poliomio poliomio Molto spesso cpit, che il poliomio risultte o è ridotto i form ormle, e pertto vo sommti tutti i moomi simili. Esempio: c c d c c d c d Sottrzioe L differez tr due poliomi è quel poliomio formto di termii del primo poliomio e del secodo poliomio co il sego cmito. Amitro Eugeio Novemre 9

20 Itroduzioe l clcolo letterle poliomio poliomio poliomio poliomio co.. sego.. opposto Come per l ddizioe, che ell sottrzioe cpit che il poliomio risultte o è ridotto i form ormle. Esempio: c c d c c d c d Moltipliczioe di u moomio per u poliomio Il prodotto di u moomio per u poliomio è u ltro poliomio i cui termii si ottegoo moltiplicdo il moomio per tutti i termii del poliomio. ( c...) c... Esempio: c c c c c c c c c Moltipliczioe di due poliomi Il prodotto di u poliomio per u poliomio è u ltro poliomio i cui termii si ottegoo moltiplicdo ogi termie del primo poliomio per tutti i termii del secodo. y... ( c...) c... y y cy... Esempio: c c c c c c c c c c c 9c c /\/\/ /\/\/ oooo c 5c c oooo Amitro Eugeio Novemre

21 Itroduzioe l clcolo letterle Divisioe di u poliomio per u moomio U poliomio è divisiile per u moomio (o ullo), se esiste u ltro poliomio che moltiplicto per il moomio si ottiee il primo poliomio. Ioltre, è fodmetle che ogi termie del poliomio si divisiile per il moomio. I termii del risultto (del secodo poliomio), si ottegoo dividedo ogi termie del primo poliomio per il moomio. Esempio: c ( c...) :... c c c c c c : c c Divisioe di poliomi c c c Codizioe ecessri per l esecuzioe dell divisioe e che i poliomi sio orditi. Ioltre, per semplicità cosiderimo solo i poliomi co u vriile. Coveziolmete, idichimo l vriile co l letter, il primo poliomio (dividedo) co l scrittur A e il secodo (divisore) co l scrittur B. Richimimo u importte regol delle divisioi: Idichimo co A il dividedo, co B il divisore, co Q il quoziete di B A e co R il resto di tle divisioe, possimo scrivere che B Q R A. Ad esempio se il dividedo A e il divisore è B 5, otteimo Q A: B : 5 co resto R, possimo verificre che 5. L stess regol vle per i poliomi. L oiettivo dell divisioe di poliomi è quell di ricvre il poliomio quoziete e il poliomio resto R, tli che B Q R A Q Poiché ell divisioe il resto deve essere sempre iferiore l divisore, ell divisioe di poliomi, il poliomio resto deve essere di grdo iferiore l poliomio divisore. grdor grdob Amitro Eugeio Novemre

22 Itroduzioe l clcolo letterle Procedimeto: Prim di iizire:. Nel cso i cui i poliomi o fossero orditi, ordire i due poliomi;. Nel cso i cui i poliomi o sio completi, ggiugere uo zero ell posizioe dei termii mcti; Divisioe:. Dividere il primo termie di primo termie di Q.. Moltiplicre il primo termie di risultto d A A co il primo termie di B, e otteimo il Q per tutti i termii di B e sottrrre il. Quello che si ottiee si chim resto przile. A il resto przile otteuto l puto 5. Si ripete dl puto () utilizzdo ivece di (), fio qudo il resto przile h grdo iferiore L ultimo resto przile srà il resto dell divisioe R. Esempio: 8 : Puto, ordire i poliomi: 8 Puto, rimpizzre i termii mcti co uo : 8 B. Puto, dividere il primo termie di A co il primo termie di B 8 Puto, moltiplicre il primo termie di risultto d A Q per tutti i termii di B e sottrrre il Amitro Eugeio Novemre

23 Itroduzioe l clcolo letterle Amitro Eugeio Novemre // 8 8 Puto 5, si ripete dl puto () utilizzdo ivece di A il resto przile otteuto l puto (), fio qudo il resto przile h grdo iferiore B // //. // 8 8 // 5 5 Q R I questo cso, R, vuol dire che A è divisiile per B. Fccimo l prov A R Q B : 5 8 Proprio il dividedo A. Divisioe medite l regol di Ruffii L divisioe medite l regol di Ruffii può essere pplict solo se il divisore è del tipo, dove rppreset il termie oto, o solo del divisore, m il termie oto dell iter divisioe. Divisioe: q p :...

24 Itroduzioe l clcolo letterle Procedimeto: Prim di iizire:. Nel cso i cui i poliomi o fossero orditi, ordire i due poliomi;. Nel cso i cui i poliomi o sio completi, ggiugere uo zero ell posizioe dei termii mcti; Divisioe:. Eseguire l seguete costruzioe: Coefficieti del dividedo compreso gli zeri.... p q L ultimo termie del dividedo v messo ll estero.. Assre il primo coefficiete;... p q 5. Si moltiplic per il termie oto e v sommto l secodo coefficiete;... p q. Si moltiplic il vlore ricvto per il termie oto e sommto l coefficiete successivo; 7. Ripetere l operzioe fio ll ultimo termie. Amitro Eugeio Novemre

25 Itroduzioe l clcolo letterle Idicdo co ',, p ' i risultti delle somme, ll fie si ottiee: ' p p' q R I umeri che vo d fio p ' soo i coefficieti del risultto ed R ivece è il resto dell divisioe. Esempio: 8 : Il termie oto dell divisioe è Puto, ordire i poliomi: 8 : Puto, rimpizzre i termii mcti co uo : 8 : Puto, eseguimo l costruzioe: 8 Puto, ssimo il primo coefficiete: 8 Puto 5, moltiplichimo per il termie oto e sommimo l coefficiete successivo: 8 Amitro Eugeio Novemre 5

26 Itroduzioe l clcolo letterle Amitro Eugeio Novemre Puto -7, proseguimo fio ll ultimo coefficiete: All fie, 8 : e il resto è R. Fccimo l prov A R Q B : 8 8 8

27 Itroduzioe l clcolo letterle Prodotti otevoli Somm per differez: U iomio, somm di due moomi, se moltiplicto per l differez, d come risultto l differez dei qudrti dei moomi. Esempio: (7.) 9 Dimostrzioe: Qudrto di Biomio: Il qudrto di u iomio, produce come risultto u triomio formto dl qudrto del primo moomio, più il qudrto del secodo moomio, più il doppio prodotto del primo moomio per il secodo. Esempio: (7.) 9 Dimostrzioe: U potez l qudrto corrispode ll se moltiplict per se stess. Qudrto di u poliomio co più di due termii: Il qudrto di u poliomio, produce come risultto u poliomio formto dll somm dei qudrti di tutti i moomi, più il doppio prodotto di tutte le coppie formte di moomi. c... c... c... c c... (7.) Amitro Eugeio Novemre 7

28 Itroduzioe l clcolo letterle Qudrto di triomio: c c Somm dei qudrti dei moomi: Possiili coppie:, c, c Somm del doppio prodotto delle coppie: c c Risultto: c c c Quidi c c c c (7.) Qudrto di poliomio co quttro termii: c d c d Somm dei qudrti dei moomi: Possiili coppie:, c, d, c, d, cd Somm del doppio prodotto delle coppie: c d c d cd Risultto: c d c d c d cd Quidi c d c d c d c d cd (7.5) Il procedimeto è logo che per i poliomi più umerosi. Esempio: (triomio) c Somm dei qudrti dei moomi: Possiili coppie:, c, c c 9 c Somm del doppio prodotto delle coppie: c c Risultto: 9 c c c Quidi c 9 c c c Cuo di Biomio e di Triomio: Il procedimeto per clcolre il cuo di u poliomio è molto simile quello per clcolre il qudrto: Si clcol l somm dei cui di tutti i moomi; () Si verifico le possiili coppie; Per ogi sigol coppi (formt d due moomi): o Triplo prodotto del qudrto del primo moomio per il secodo moomio; o Triplo prodotto del primo moomio per il qudrto del secodo moomio; o Si cosider l somm dei due tripli prodotti () Il risultto è dto dll somm di () e di () sopr idicti. Amitro Eugeio Novemre 8

29 Itroduzioe l clcolo letterle Cuo di Biomio: Somm dei cui dei moomi: () Possiili coppie: Somm dei tripli prodotti dell coppi : () Risultto ()+(): Quidi (7.) Cuo di Triomio: c c Somm dei qudrti dei moomi: c () Possiili coppie:, c, c Somm dei tripli prodotti dell coppi : () Somm dei tripli prodotti dell coppi c : c c () Somm dei tripli prodotti dell coppi c : c c () Risultto ()+(): c c c c c Quidi c c c c c c (7.7) Potez -sim di Biomio: Per clcolre l potez di iomio è possiile utilizzre due metodi: Metodo di Newto Il metodo di Newto prevede l utilizzo dell seguete formul, i cui ritrovimo il coefficiete iomile descritto i precedez: k k k k (7.8) Vedimo l utilizzo dell formul dll potez ll potez : Potez : k k k k Amitro Eugeio Novemre 9

30 Itroduzioe l clcolo letterle Amitro Eugeio Novemre Potez : k k k k Potez : k k k k Metodo di Trtgli Il metodo di Trtgli rppreset u gevolzioe l metodo precedete. Come ci suggerisce l formul di Newto e lo sroglio dell formul ei tre csi precedeti, ogi termie del poliomio risultte è formto dl prodotto di tre prti che seguoo u cert regolrità:. Coefficiete (coefficiete iomile). Potez del primo moomio. Potez del secodo moomio Vedimo di seguito l regolrità che seguoo questi tre elemeti che costituiscoo ogi termie del risultto dell potez -sim di iomio. Coefficiete Il coefficiete è sempre u coefficiete iomile k, i cui è l potez del iomio metre k è u vriile che prte d el primo termie del risultto fio d rrivre d ell ultimo, icremetdosi di u sol uità ll volt:... Potez del primo moomio Il primo moomio è presete i ogi termie del risultto ed h u potez che scede di grdo d ogi termie successivo. L potez di el primo termie è proprio cioè l potez del iomio, e perdedo u uità ll volt rriv ll ultimo termie co potez ull:...

31 Itroduzioe l clcolo letterle Potez del secodo moomio Il secodo moomio come per il primo è presete i ogi termie del risultto ed h u potez che ivece di scedere di grdo, sle d ogi termie successivo. L potez di el primo termie è rggiugedo l ultimo termie co potez :... Riepilogdo Coefficiete... moomio (scede di grdo) moomio (sle di grdo) Termii risultto... Risultto:... Possimo elimire dl risultto uguli d. L formul risultte è l seguete: e poiché per l proprietà delle poteze (.) soo... Per risprmire il clcolo del coefficiete iomile, si può utilizzre u trigolo di umeri molto semplice, il Trigolo di Trtgli. Vedimo come si costruisce il trigolo di Trtgli e come si utilizz ell formul precedete. Amitro Eugeio Novemre

32 Itroduzioe l clcolo letterle Il Trigolo di Trtgli è u Trigolo di umeri così formto: I umeri esteri (quelli cerchiti i rosso) ssumoo sempre il vlore I umeri iteri ivece (quelli cerchiti i lu) corrispodoo ll somm dei due umeri del rigo superiore più vicii lui: Riprededo l precedete formul c c... Possimo sostituire d ogi coefficiete k il k -esimo umero i rig del trigolo. Per compredere meglio vedimo lo sviluppo delle poteze fio 7. Amitro Eugeio Novemre

33 Itroduzioe l clcolo letterle Trigolo rig per potez Trigolo rig per potez Trigolo rig per potez Trigolo rig per potez Trigolo rig per potez Trigolo rig 5 per potez Trigolo rig per potez Trigolo rig 7 per potez 7 5 Amitro Eugeio Novemre

34 Itroduzioe l clcolo letterle Vedimo lcui esempi: Esempio : y 5 Trigolo rig 5 per potez Sostituimo d il moomio e sostituimo il moomio y y y y 5y y y 8 y y 5y y y 8 y y y y Ifie, y 5 Esempio : y Trigolo rig per potez y 8 y y y y Sostituimo d il moomio e sostituimo il moomio y y y y y 8 y 9y 7y 8y 8 y 5 y 8 y 8y Ifie, y 8 y 5 y 8 y 8y Amitro Eugeio Novemre

35 Itroduzioe l clcolo letterle Scomposizioe di poliomi Nell rgometo- imo visto che l scomposizioe i fttori primi è molto utile i vrie operzioi, come per esempio el clcolo del m.c.m. e del M.C.D. e elle operzioi co le frzioi. Ache i poliomi si possoo scomporre. Prtedo d u qulsisi poliomio, l oiettivo è quello di trsformrlo el prodotto di più poliomi di grdo più sso fio ridurlo i miimi termii. Questo oiettivo viee rggiuto u psso ll volt, cioè ssdo di u grdo ll volt il poliomio. Come vedremo i seguito, questo o è sempre possiile. U poliomio o è sempre scompoiile. Di seguito soo illustrte tutte le teciche di scomposizioe di uso comue, che geerlmete soo le operzioi iverse quelle viste ei tre prgrfi precedeti. Rccoglimeto fttor comue: Il rccoglimeto fttor comue corrispode ll operzioe ivers dell moltipliczioe di u moomio per u poliomio. Il moomio è rppresetto dl M.C.D. dei vri termii, metre il poliomio si ricv, dividedo tutti i termii del primo poliomio per il M.C.D. L operzioe del rccoglimeto fttor comue è che detto mess i evidez, ioltre, può essere totle se eseguito su tutti i termii, o przile se eseguito su lcui termii. Rccoglimeto totle: c c (8.) Esempio: Il M.C.D. è, e lo mettimo i evidez. Il rccoglimeto przile, forisce u cert coveiez qudo i poliomi ricvti di vri rccoglimeti soo tutti uguli. Quest codizioe, permette di rccogliere i u secod fse i poliomi ricvti come elemeto comue tr i vri uovi termii. Amitro Eugeio Novemre 5

36 Itroduzioe l clcolo letterle Rccoglimeto przile: y y y y y (8.) Esempio: c c y y Tr il primo e il secodo termie, il M.C.D. è c Tr il terzo e il qurto termie, il M.C.D. è y Mettimo i evidez c per i primi due termii e y c y per gli ltri due. Possimo mettere i evidez comue d etrmi i termii: c y Differez di due qudrti: È l operzioe ivers dell somm per differez. Esempio: (8.) 9 Dimostrzioe: Somm e Differez di cui: Esempio per l somm: (8.) (8.5) c c 9 c 7 c c Esempio per l differez: c c c 8c c Amitro Eugeio Novemre

37 Itroduzioe l clcolo letterle Dimostrzioe: Per l differez, Per l somm,.. Somm e Differez di poteze dispri: Somm:... (8.) Differez:... (8.7) Nell somm, i termii del secodo poliomio soo di sego ltero..., metre ell differez il secodo poliomio h solo segi positivi. Differez di poteze pri: (8.8) Somm di poteze pri: Geerlmete o è scompoiile m esistoo csi prticolri: Primo cso: qudrto.. di.. iomio differez.. di.. due.. qudrti Geerlizzdo: (8.9) qudrto.. di.. iomio Secodo cso: somm.. di.. poteze.. dispri d d d Geerlizzdo: d (8.) somm.. di.. poteze.. dispri differez.. di.. due.. qudrti Triomio prticolre: Il triomio prticolre è u triomio di secodo grdo d u vriile, del tipo s p, dove le lettere s e p soo coefficieti, metre l letter è l vriile. Amitro Eugeio Novemre 7

38 Itroduzioe l clcolo letterle Per idicre i coefficieti, soo stte scelte le lettere s e p per u questioe di memori, poiché s st per somm e p st per prodotto. Il triomio si scompoe el seguete modo: s p s p (8.) I prtic, dto il triomio s p, doimo trovre due umeri e tli che l loro somm è ugule d s e il loro prodotto è ugule p, i questo modo il triomio si può scomporre i. Esempio : Trovre due umeri che sommti do e moltiplicti do ; I umeri soo e, iftti, e ; I fie,. Esempio : Trovre due umeri che sommti do e moltiplicti do ; I umeri soo 5 e, iftti, 5 e 5 ; I fie,. Dimostrzioe: Spedo che s e p Risult s p. Iverso del qudrto di iomio: Esempio: 9 Amitro Eugeio Novemre 8

39 Itroduzioe l clcolo letterle Scomposizioe medite l regol di Ruffii: L scomposizioe medite l regol di Ruffii, e quel tipo di scomposizioe che si pplic quluque poliomio ordito di u vriile. Lo scopo di quest scomposizioe è quello di trsformre u poliomio P di grdo, i u prodotto di due poliomi: il primo Q, di grdo, e l ltro u iomio di tipo. L codizioe ecessri è che il poliomio deve risultre ullo se sostituimo ll vriile il umero. P Q P Dto u poliomio... p q, vedimo quli soo i pssi d seguire per scomporlo medite quest regol: Prim fse - Ricerc del vlore di :. Assicurrsi che il poliomio si ordito e ridotto form ormle;. Determire i divisori di q, termie oto del poliomio;. Determire i divisori di, coefficiete del termie di grdo mssimo. Elecre tutte le possiili frzioi divisori.. di.. q divisori.. di.. 5. Verificre qule frzioe, che sostituit ll vriile zzer il poliomio; A questo puto imo trovto il tto ricercto vlore di, e quidi cooscimo che l struttur del iomio. Quidi,... p q poliomio. Secod fse - Costruzioe del secodo poliomio: Per l secod fse, cioè per ricvre il secodo poliomio, st eseguire l divisioe medite l regol di Ruffii descritt precedetemete, tr il primo poliomio e il iomio. ; ; poliomio... p q Amitro Eugeio Novemre 9

40 Itroduzioe l clcolo letterle Esempio: Scomporre il poliomio P 7 medite l regol di Ruffii Seguimo i pssggi per l ricerc del termie oto e quidi del iomio : Puto, ssicurrsi che il poliomio si ordito. P 7 Ordito! Puto, determire i divisori di q : q Divisori di q :, e Puto, determire i divisori di : Divisori di q : e Puto, elecre le possiili frzioi: ; ; ; ; ;. Quidi i possiili vlori di soo:,, e Puto 5, qule di questi vlori zzer il poliomio?. Provimoli uo d uo fio che o si ull il poliomio. Provimo, P 7 NO! Provimo, P 7 SI! Trovto! Quidi il termie oto, pertto il poliomio P è divisiile per. 7 poliomio Per ricvre il secodo poliomio, o ci rest che pplicre l divisioe medite l regol di Ruffii. Amitro Eugeio Novemre

41 Itroduzioe l clcolo letterle // L prim cos che isog teer coto è che il resto deve ecessrimete essere ullo, ltrimeti è stto commesso qulche errore di clcolo. I fie, il poliomio è 5, per cui il risultto di quest prim scomposizioe è P 7 5 Riepilogo delle scomposizioi: Qudo scompoimo u poliomio, l scomposizioe termi, qudo tutti i fttori o soo più scompoiili (Ridotto i miimi termii). Ad esempio, ell esercizio precedete, imo scomposto P 7 5 Quest scomposizioe o è fiit, poiché tr i fttori del risultto è presete il poliomio 5 che è cor scompoiile. Di seguito u tell di riepilogo per le possiili scomposizioi i fuzioe del umero dei termii: Numero Termii > pri > dispri Scomposizioe Rccoglimeto fttor comue Differez di qudrti Somm o differez di cui Somm o differez di poteze Rccoglimeto fttor comue Iverso del qudrto di iomio Triomio prticolre Regol di Ruffii Rccoglimeto fttor comue totle o przile Regol di Ruffii Rccoglimeto fttor comue Regol di Ruffii Amitro Eugeio Novemre

42 Itroduzioe l clcolo letterle M.C.D. e m.c.m. di poliomi L filità delle scomposizioi è quello di poter eseguire le espressioi lgeriche i cui soo preseti le frzioi. Iftti, qudo semplifichimo, o eseguimo u qulsisi operzioe co le frzioi, che se o sempre ce e ccorgimo, ricorrimo sempre ll scomposizioe i fttori primi. Per eseguire il M.C.D. e il m.c.m. per prim cos si devoo scomporre i poliomi i miimi termii. Il M.C.D. è il prodotto dei fttori solo comui, presi u sol volt co il miimo espoete. Il m.c.m. è il prodotto dei fttori comui e o comui, presi u sol volt co il mssimo espoete. Esempio, clcolre il M.C.D. e il m.c.m. dei segueti poliomi: Poliomio : Poliomio : Poliomio : y y cz cz dz dz Questi esempi soo utili che come esercitzioe lle scomposizioi. Scompoimo il poliomio : Mettimo i evidez comue tutti i termii: Possimo cor scomporre I fie, Scompoimo il poliomio : y y Mettimo i evidez y comue tutti i termii: y y y Possimo cor scomporre I fie, y y y, iverso del qudrto di iomio:, differez di qudrti: Amitro Eugeio Novemre

43 Itroduzioe l clcolo letterle Scompoimo il poliomio : cz cz dz dz Mettimo i evidez z comue tutti i termii: cz cz dz dz z c c d d Possimo cor scomporre c c d d, co u rccoglimeto przile: c c d d c d c d I fie, cz cz dz dz z c d Cofrotimo tr loro le scomposizioi. Poliomio scomposto: Poliomio scomposto: y Poliomio scomposto: z c d Il M.C.D. è il prodotto dei fttori solo comui, presi u sol volt co il miimo espoete. Fttori comui: ; Miimo espoete di : Miimo espoete di : M.C.D. = Il m.c.m. è il prodotto dei fttori comui e o comui, presi u sol volt co il mssimo espoete. Fttori comui e o: ; ; ; y ; z ; ; ; c d; Mssimo espoete di : Mssimo espoete di : Mssimo espoete di : Mssimo espoete di y : Mssimo espoete di z : Mssimo espoete di : Mssimo espoete di : Mssimo espoete di c d : m.c.m. = y z c d yz c d Amitro Eugeio Novemre

44 Itroduzioe l clcolo letterle Amitro Eugeio Novemre Espressioi letterli Nell rgometo- imo ffrotto l risoluzioe delle espressioi umeriche. Nelle espressioi letterli, l presez delle lettere o costituisce u vrizioe el metodo di risoluzioe, l differez sostzile st solmete ell esecuzioe delle sigole operzioi, che o soo operzioi di umeri m operzioi co moomi e poliomi. Se si è i grdo di svolgere le operzioi umeriche co fcilità, risulterà ltrettto fcile risolvere espressioi letterli. A tle scopo, riportimo qui di seguito u esempio. Risolvere l seguete espressioe: Prim di tutto doimo risolvere le espressioi coteute elle pretesi. Poiché ci soo somme di frzioi, che richiedoo il clcolo del m.c.m. dei deomitori, per prim cos, scompoimo tutti i deomitori scompoiili. Solo il primo deomitore è scompoiile come differez di due qudrti. Il m.c.m. è ecessrio solo ell prim pretesi, elle ltre due pretesi trovimo l ddizioe di umero misto. Or ci trovimo di frote l prodotto di tre frzioi. Ache per l semplificzioe è utile l scomposizioe, pertto portimo i umertori form ormle e successivmete li scompoimo.

45 Itroduzioe l clcolo letterle Amitro Eugeio Novemre 5 U volt ridotti form ormle, procedimo co le scomposizioi. A questo puto è tutto scomposto i miimi termii e possimo quidi procedere co le semplificzioi. = FINE =

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