NUMERI COMPLESSI. Definizione. Si dice numero complesso z la coppia ordinata di numeri reali (a, b), ossia: z = (a, b)

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1 NUMERI COMPLESSI Dto u poliomio P(x) di grdo ell vribile (rele) x, o sempre esso mmette rdici, e, qudo le mmette, esse possoo essere i umero iferiore rispetto l grdo del poliomio. (Ricordimo che si dice rdice di u poliomio P(x) ogi x tle che P(x) 0.) Per esempio, el cso di poliomi di grdo, P(x) x - h due rdici (x ), m P(x) x + o h lcu rdice. Nel uovo isieme umerico che or itroducimo, l'isieme dei umeri complessi C, ogi poliomio vrà esttmete rdici. Defiiioe. Si dice umero complesso l coppi ordit di umeri reli (, b), ossi: (, b) C dove è l prte rele, Re(), b l prte immgiri, Im(). A ogi coppi di umeri reli corrispode u puto del pio, che srà detto pio di Guss. Nel pio di Guss, l sse delle scisse è detto sse rele, l sse delle ordite è detto sse immgirio. Ai umeri complessi dell form (, 0) corrispodoo puti dell sse rele, ossi umeri reli. Pertto C si può vedere come u mplimeto di R, e vicevers u umero rele può essere cosiderto u cso prticolre di umero complesso. Ai umeri complessi dell form (0, b) corrispodoo puti dell sse immgirio, ossi umeri immgiri (puri). L'uità sull'sse immgirio, (0, ), corrispode l umero immgirio i, tle che i -. Proprietà dell'isieme C L'isieme umerico C coserv l struttur lgebric di R (operioi di somm e prodotto, co le proprietà commuttiv, ssocitiv e distributiv, elemeti eutri e opposto rispetto ll somm e rispetto l prodotto), ossi è cor u cmpo. Diversmete d R, C è u isieme o ordito, m i compeso l'elevmeto pote/estrioe di rdice (l su ivers) soo i esso sempre defiite. E' quest'ultim proprietà che grtisce l'esiste di tutte le rdici di u poliomio di grdo. Il umero complesso (, b) si può che rppresetre i tre forme equivleti: lgebric, trigoometric ed espoeile. Somm e prodotto di umeri complessi i form lgebric Defiiioe. Dto u umero complesso (, b), l su form lgebric è + bi. Dti due umeri complessi i form lgebric + bi e c + di, l loro somm (differe) è dt d:

2 ( + bi) (c + di) ( c) + (b d)i ossi si sommo (sottrggoo) le prti reli e quelle immgirie. L'elemeto eutro rispetto ll somm rime, come er i R, il umero rele 0, ossi 0 + 0i (0, 0); l'elemeto opposto di + bi è bi. L'iterpretioe geometric dell somm è dt dll regol del prllelogrmm. L stess iterpretioe vle che per l differe, se si cosider - + (- ). Dti due umeri complessi i form lgebric + bi e c + di, il loro prodotto è: ( + bi)(c + di) (c - bd) + (bc + d)i L'elemeto eutro rispetto l prodotto rime, come er i R, il umero rele, ossi + 0i (, 0); l'elemeto opposto rispetto l prodotto è dto d: bi bi bi bi bi b b - b b i Dti due umeri complessi i form lgebric + bi e c + di, il loro quoiete è: bi c di bi c di c di c di (c - bd) c (bc d d)i c c d bd bc d i c d + L'iterpretioe geometric del prodotto e del quoiete srà dt i riferimeto ll form trigoometric. Modulo di u umero complesso Dto il umero complesso (, b) + bi, il suo modulo è: bi b Dl puto di vist geometrico, il modulo può essere iterpretto come l dist dll'origie. Nel cso prticolre i cui (, 0), ossi è u umero rele, l defiiioe di modulo coicide co quell dt i R. Proprietà. Come i R, vle 0, co 0 se e solo se 0. Coiugto di u umero complesso Dto il umero complesso (, b) + bi, il suo coiugto è:

3 (, - b) - bi ossi e simmetrici rispetto ll'sse rele. ho stess prte rele, prte immgiri oppost. Dl puto di vist geometrico, soo Proprietà. + - b ( + bi)( - bi) + b (stess dist dll'origie). COORDINATE POLARI Per loclire u puto P del pio, iché le coordite crtesie P(x, y) si possoo utilire le coordite polri. Si defiisce u'origie (polo) O e u'sse polre (semirett oriett prtire d O). Idicdo co il rggio OP (dist dll'origie) e co l'golo formto dl rggio OP co l'sse polre, si defiiscoo le coordire polri del puto P, P(, ), dove è il modulo e l'rgometo. Osservioe. Risult sempre 0; per quto rigurd, si cosidero positivi gli goli percorsi i seso tiorrio, egtivi quelli percorsi i seso orrio. Le coordite polri di u puto o soo uivoche, i prticolre o è uico : lo stesso puto può essere idividuto d tutti gli goli k che differiscoo per u multiplo itero di, ossi: k + k, k Z. Per redere uico l'rgometo si può utilire l'rgometo priciple (0, ] oppure (-, ]. Relioe fr coordite polri e coordite crtesie Fccimo coicidere l sse polre co il semisse positivo delle x. I tl cso vlgoo le segueti relioi fr coordite polri e coordite crtesie:

4 d (, ) (x, y) x cos y si d (x, y) (, ) x y : cos x x y si x y y Form trigoometric di u umero complesso Tordo i umeri complessi, il umero può essere idetificto co le coordite polri iché quelle crtesie: (, b) (, ) dove, : cos si b. Utilido le coordite polri, si può defiire l form trigoometric del umero complesso. Dto: sostituedo cos, b si si ottiee: + bi cos + i si (cos + i si). Prodotto e quoiete dei umeri complessi i form trigoometric (formule di De Moivre) Dti due umeri complessi i form trigoometric (cos + i si) e (cos + i si), il loro prodotto è: (cos + i si) (cos + i si) (coscos + i sicos + i cossi - sisi) [(coscos - sisi) + i (sicos + cossi)] [cos(+) + i si(+)] ossi i moduli si moltiplico, gli rgometi si sommo. Il sigificto geometrico è immedito: se si moltiplic per u ltro umero complesso, il modulo di subisce u diltioe pri (cotrioe, se < ), l'rgometo subisce u rotioe pri. 4

5 Se i prticolre moltiplicdo per u ltro umero complesso di modulo, subisce solo u rotioe pri metre il modulo rest ivrito; moltiplicdo per, il modulo rest ivrito e l rotioe è 0 (coferm che il umero è l'elemeto eutro rispetto l proodotto), metre moltiplicdo per - l rotioe è, ossi si ottiee il umero opposto -. Dti due umeri complessi i form trigoometric (cos + i si) e (cos + i si), 0, il loro quoiete è: cos isi cos isi cos( ) isi( ) ossi i moduli si dividoo, gli rgometi si sottrggoo. I corrispode, il sigificto geometrico è logo quello del prodotto. Pote e rdici di u umero complesso i form trigoometric Tordo l prodotto, utilido l regol precedete si può dimostrre che vle, per l pote -esim di u umero complesso (cos + i si): cos i si Esempio. Dto - i (cos 7(cos + i si 9 + i si ), vle: 9 ) 7(cos cosiderdo ell'ultimo pssggio l'rgometo priciple. + i si I C vle l stess defiiioe di rdice -esim dt i R: dto, il umero v si dice rdice -esim (compless) di se risult: v. Teorem. Ogi C ( 0): (cos + i si) h rdici -esime complesse ( turle o ullo): dte d: ( )k k 0,,..., - ( k k )k (cos + i si ). Nel cso prticolre (rdici qudrte) si ottiee: ( )k [cos( k ) + i si( k )] k 0, ) 5

6 d cui le due rdici: ( )0 [cos + i si( )], ( ) [cos( ) + i si( )] - ( )0 che risulto opposte. Esempio. Dto 8i 8(cos + i si ), le rdici cubiche soo dte d: ( )k 8 (cos d cui le tre rdici: ( )0 (cos k + i si + i si k ), ( ) [cos k + i si k ] k 0,,. ) (cos + i si), ( ) (cos 5 + i si Iterpretioe geometric delle rdici -esime di u umero complesso. Le rdici -esime di (cos + i si) soo gli vertici di u poligoo regolre iscritto i u circofere di cetro O e rggio co il primo vertice el puto di rgometo volt l precedete rgometo. 5 )., metre i successivi si ottegoo sommdo ogi, 6