PROGETTO SIRIO PRECORSO di MATEMATICA Teoria

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1 Vi Aldo Mo ro, Chioggi (VE) t el fx ww w. itisri ghi.com POTENZA i N... DIVISIBILITÀ e NUMERI PRIMI...3 MASSIMO COMUN DIVISORE e MINIMO COMUNE MULTIPLO...3 FRAZIONI...4 ADDIZIONE TRA FRAZIONI...5 SOTTRAZIONE TRA FRAZIONI...5 MOLTIPLICAZIONE FRA FRAZIONI...5 DIVISIONE TRA FRAZIONI...5 POTENZA DI UNA FRAZIONE...5 NOTE PER IL CALCOLO DI ESPRESSIONI ARITMETICHE CON FRAZIONI...6 PRODOTTI NOTEVOLI...6 1

2 Vi Aldo Mo ro, Chioggi (VE) t el fx ww w. itisri ghi.com POTENZA i N - Def.: si chim potez di u dto umero ogi prodotto di fttori tutti uguli quel umero; - termiologi: il fttore che si deve ripetere si chim bse dell potez; il umero che idic quti soo i fttori d ripetere si chim espoete dell potez; l operzioe co l qule si ottiee l potez di u umero si chim elevmeto potez; l potez co espoete di u umero si dice che qudrto del umero; l potez co espoete 3 di u umero si dice che cubo del umero; - i bse ll termiologi ppe vist possimo llor ripetere l defiizioe el seguete modo: se e soo due umeri turli, co >1, si chim potez di bse ed espoete il umero: = volte - per coerez si devoo itrodurre che le segueti defiizioi: si chim potez di u umero co espoete 1 il umero stesso, cioè: 1 = si chim potez di u umero, diverso d zero, co espoete 0, il umero uo, cioè: 0 = sempre per coerez: o si defiisce l potez di bse 0 ed espoete 0, cioè: 0 il simbolo 0 o h sigificto. - proprietà delle poteze: prodotto di due (o più) poteze di ugul bse: il prodotto di due (o più) poteze co l stess bse è u potez che h per bse l stess bse e per espoete l somm degli espoeti m m+ = quoziete di due poteze di ugul bse: il quoziete di due poteze co l stess bse (divers d zero) e co espoete del dividedo mggiore o ugule quello del divisore, è u potez che h per bse l stess bse e per espoete l differez degli espoeti m m : = co : 0 e m potez di u potez: l potez di u potez è ugule d u potez che h per bse l stess bse e per espoete il prodotto degli espoeti m m ( ) = prodotto di due (o più) poteze di ugul espoete: il prodotto di due (o più) poteze co lo stesso espoete è u potez che h per espoete lo stesso espoete e per bse il prodotto delle bsi b = ( b) quoziete di due poteze di ugul espoete: il quoziete di due poteze co lo stesso espoete (e bse del divisore divers d zero) è u potez che h per espoete lo stesso espoete e per bse il quoziete fr le bsi ( : b) co : 0 : b = b il simbolo si legge: per ogi

3 Vi Aldo Mo ro, Chioggi (VE) t el fx ww w. itisri ghi.com DIVISIBILITÀ e NUMERI PRIMI - Def.: u umero si dice divisibile per b, co b diverso d zero, se e solo se l divisioe tr e b è estt, cioè se esiste u umero c tle che: b c = ; - def.: se è divisibile per b, si dice che è multiplo di b; - def.: u umero si dice primo se e solo se è divisibile solo per se stesso e per l uità; - def.: u umero si dice composto se e solo se o è primo; - def.: due umeri si dicoo primi fr loro se ho come divisore comue solo l uità. - criteri di divisibilità: u umero è divisibile per qudo termi co u cifr pri 1 ; u umero è divisibile per 3 qudo lo è l somm delle sue cifre; u umero è divisibile per 5 qudo termi per 0 o per 5; u umero è divisibile per 11 qudo l differez fr l somm delle cifre di posto dispri ( prtire dlle uità) e quell delle cifre di posto pri è zero, oppure è divisibile per 11 MASSIMO COMUN DIVISORE e MINIMO COMUNE MULTIPLO - Def.: dti due o più umeri turli (diversi d zero) si chim mssimo comue divisore (M.C.D.) il umero più grde che divide esttmete tutti i umeri dti; - regol per clcolre il M.C.D.: scomporre i umeri i fttori primi; moltiplicre fr di loro tutti i fttori comui presi u sol volt co l espoete miore; - def.: dti due o più umeri turli diversi d zero, si chim miimo comue multiplo (m.c.m.) il più piccolo fr i loro multipli comui; - regol per clcolre il m.c.m.: scomporre i umeri i fttori primi; moltiplicre fr loro tutti i ftto comui e o comui presi u sol volt co l espoete mggiore; 1 def.: u umero si dice pri se e solo se è multiplo del umero 3

4 Vi Aldo Mo ro, Chioggi (VE) t el fx ww w. itisri ghi.com FRAZIONI - Def.: si chim frzioe u simbolo costituito d u coppi ordit di umeri turli e b, co b 0. - Termiologi: o o o il simbolo b, si legge frtto b, oppure bi-esimi, oppure su b ; il umero si chim umertore; il umero b si chim deomitore. - Def.: l frzioe b si dice: o propri se < b; o impropri se > b e o è multiplo di b; o pprete se > b e è multiplo di b. - Covezioe: se b = 1 si scrivoo le frzioi sez il deomitore; c - Def.: due frzioi e si dicoo equivleti se, e solo se risult: d = cb ; b d c o i tl cso si scriverà: =. b d - Proprietà ivritiv: dt u frzioe, se e ottiee u ltr equivlete moltiplicdo o dividedo si il umertore che il deomitore per uo stesso umero turle (diverso d zero) m : m = oppure = co m 0 b b m b b : m - Cosegueze: o semplificzioe di u frzioe (o riduzioe i miimi termii se dopo l semplificzioe il umertore ed il deomitore soo primi fr loro ); o trsformzioe di più frzioi l miimo comue deomitore (m.c.d.), tle operzioe si effettu medite l seguete procedur: ridurre le frzioi i miimi termii; determire il m.c.m. fr i deomitori (cioè il m.c.d.); dividere il m.c.d. per ciscu deomitore e moltiplicre il quoziete otteuto per il rispettivo deomitore; le frzioi trsformte ho per deomitore il m.c.d. e per umertore i umeri trovti l puto precedete; o cofroto tr frzioi, riducedole llo stesso deomitore e cofrotdo i uovi deomitori (d ciò segue l seguete regol più veloce per cofrotre due frzioi: c > b d se, e solo se : d > cb cioè ho come uico divisore comue il umero uo 4

5 Vi Aldo Mo ro, Chioggi (VE) t el fx ww w. itisri ghi.com ADDIZIONE TRA FRAZIONI - Def.: dte due frzioi. si chim somm l frzioe che h: 1) per deomitore lo stesso deomitore e per umertore l somm dei umertori, se le frzioi ho lo stesso deomitore; ) per deomitore il m.c.d. dei deomitori e per umertore l somm dei umertori otteuti medite l trsformzioe l m.c.d. se le frzioi ho deomitori diversi. - Si estedoo ll ddizioe fr frzioi tutt l termiologi e le proprietà dell ddizioe tr umeri turli. SOTTRAZIONE TRA FRAZIONI - Def.: dte due frzioi. si chim differez l frzioe che h: 3) per deomitore lo stesso deomitore e per umertore l differez dei umertori, se le frzioi ho lo stesso deomitore; 4) per deomitore il m.c.d. dei deomitori e per umertore l differez dei umertori otteuti medite l trsformzioe l m.c.d. se le frzioi ho deomitori diversi. - Si estedoo ll sottrzioe fr frzioi tutt l termiologi e le proprietà dell sottrzioe tr umeri turli. MOLTIPLICAZIONE FRA FRAZIONI - Def.: si chim prodotto di due frzioi l frzioe che h per umertore il prodotto dei umertori e per deomitore il prodotto dei deomitori. - Si estedoo ll moltipliczioe fr frzioi tutt l termiologi e le proprietà dell moltipliczioe tr umeri turli. - Not: l semplificzioe i digole si bs sull proprietà commuttiv dell moltipliczioe fr umeri turli. DIVISIONE TRA FRAZIONI - Def.: si chim reciproco di u umero rziole p quel umero rziole q che moltiplicto per p dà per risultto l elemeto eutro dell moltipliczioe; 5) i prtic il reciproco di b è b. - Def.: si chim quoziete fr due umeri rzioli, il secodo dei quli si diverso d zero, quel umero che moltiplicto per il secodo dà per risultto il primo; 6) i prtic bst moltiplicre il primo per il reciproco del secodo; dto che esiste sempre il reciproco di u umero rziole (diverso d zero), possimo dire che: l operzioe di divisioe fr.r. è sempre possibile (purchè il divisore si diverso d zero). - Teedo presete quest ultim importte proprietà, si estedoo ll divisioe fr frzioi tutt l termiologi e le ltre proprietà dell divisioe tr umeri turli. POTENZA DI UNA FRAZIONE - Si estedoo lle poteze delle frzioi l defiizioe, tutt l termiologi e le proprietà delle poteze dei umeri turli. 5

6 Vi Aldo Mo ro, Chioggi (VE) t el fx ww w. itisri ghi.com NOTE PER IL CALCOLO DI ESPRESSIONI ARITMETICHE CON FRAZIONI - Ovvimete vlgoo tutte le regole geerli (reltive ll precedez fr le operzioi) ormlmete uste per le espressioi sez frzioi; - se ci soo frzioi termii frziori: o si risolvoo prllelmete le operzioi l umertore e l deomitore i modo completo (cioè i modo tle che rimg u sol frzioe ridott i miimi termii umertore e u sol frzioe ridott i miimi termii deomitore); o si trsform poi l frzioe termii frziori i u frzioe ormle dividedo il umertore per il rispettivo deomitore; - se ci soo umeri decimli: o scrivere sotto form di frzioe tutti i umeri decimli; o eseguire i clcoli co le frzioi otteute; o (evetulmete) trsformre il risultto file i umero decimle. PRODOTTI NOTEVOLI + b b = b ( )( ) + b = + b + b ( ) ( + b + c) = + b + c + b + bc + c 3 + b = + 3 b + 3b + b 3 3 ( ) + b b + b = + b 3 3 ( )( ) b + b + b = b 3 3 ( )( ) 6