a ij Indice di riga Indice di colonna Def. Matrice Tabella costituita da m righe ed n colonne. Si dice di tipo m x n o (m,n)

Transcript

1 MTRICI: defiizioi Cosiderimo delle tbelle di umeri, i cui ci si imbtte spesso i molti problemi di mtemtic o di scieze pplicte. Tle tbelle ho u doppio ordimeto, per righe e per coloe, utilizzeremo i segueti simboli: Α m m m ij ij ij i,,m j,, ij R Idice di rig Idice di colo Def. Mtrice Tbell tituit d m righe ed coloe. Si dice di tipo m x o m, Def. Vettore Rig Tbell tituit d righe ed coloe. Si dice di tipo x o, Def. Vettore Colo Tbell tituit d m righe ed coloe. Si dice di tipo m x o m, Def. Mtrice Qudrt Tbell tituit d u umero di righe ugule l umero di coloe. Se tle umero è l mtrice è t di qudrt di ordie.

2 MTRICI: defiizioi Def. Digole priciple Gli elemeti di u mtrice qudrt che ho uguli il umero di rig e di colo tituiscoo l digole priciple dell mtrice. Digole Priciple Α Digole Secodri Def. Ugugliz di Mtrici Due mtrici e soo uguli se ho lo stesso umero di righe e di coloe e se soo uguli gli elemeti di ugule posto. Α ij b ij i,., m j,.,

3 MTRICI: defiizioi Def. Mtrice Trspost L mtrice trspost dell mtrice è l mtrice che si ottiee scmbido le righe co le coloe di. Verrà idict co t. Α T Α Def. Mtrice Simmetric Dt u mtrice qudrt l mtrice è t simmetric qudo risult: = T. T Α Α T ij ji Α Α T

4 MTRICI: defiizioi Def. Mtrice Emisimmetric Dt u mtrice qudrt l mtrice è t emisimmetric qudo risult: = - T. Α Α T Α T Α ij ji Def. Mtrici Simili Due mtrici e soo te simili se ho lo stesso umero di righe e lo stesso umero di coloe. Α ij b ij i,., m j,.,

5 MTRICI: defiizioi Def. Mtrice Trigolre Dt u mtrice qudrt l mtrice è t trigolre qudo soo ulli tutti gli elemeti sotto l digole priciple mtrice trigolre lt o sopr l digole priciple mtrice trigolre bss. Α Def. Mtrici Digole U mtrice è t digole se soo ulli tutti gli elemeti fuori dll digole priciple. Α mtrice trigolre lt mtrice trigolre bss Α Mtrice digole

6 Operzioi: Mtrice Somm Def. Mtrice Somm Dte due mtrici simili e chimimo somm di e l mtrice C ì defiit: Α C Α c Proprietà dell Somm ij ij b ij C ssocitiv Commuttiv Elemeto Neutro Elemeto Simmetrico Α C Α C Α : Α, : Α Gruppo belio Def. Mtrice Zero Mtrice è l mtrice co tutti gli elemeti uguli. ij co ij i, j Def. Mtrice Oppost L mtrice - oppost dell mtrice simmetric rispetto ll somm è l mtrice co tutti gli elemeti opposti gli elemeti di. co ij ij

7 Operzioi: Prodotto di u mtrice per uo sclre Def. Dt l mtrice e lo sclre k, l mtrice C=k=k è ì defiit: Α k C kα k c ij k ij k C Proprietà del prodotto Mtrice per Sclre Α k h Α k h k Α k k k hα kh 8 Not L isieme delle mtrici di tipo m x tituisce, co le due operzioi ppe defiite di somm e prodotto per uo sclre, uo Spzio Vettorile. 7

8 8 Operzioi Es. U mtrice può essere scritt come somm di u mtrice simmetric e di u mtrice emisimmetric Α T S T E E S / / S / / E T Α

9 9 Operzioi: Prodotto di due mtrici righe per coloe Def. Mtrici Coformbili Si iderio due mtrici e tli che si di tipo m x e si di tipo x p cioè umero di coloe di si ugule l umero di righe di. Le mtrici e, sifftte, soo te CONFORMILI. Def. Prodotto righe per coloe Dte due mtrici di tipo m x e di tipo x p, coformbili, si chim prodotto dell mtrice per l mtrice, l mtrice C che srà di tipo m x p ì defiit:. k kj ik ij b c Α C p j m i,.,,., Es. 9 8

10 Operzioi: Prodotto di due mtrici Es Not : Il prodotto o è commuttivo Not : Mtrici diverse dll mtrice possoo dre l mtrice come prodotto. Mtrici sifftte soo te DIVISORI DELLO ZERO.

11 Operzioi: Prodotto di due mtrici Not : No vle l legge dell Ccellzioe del Prodotto: =C o implic =C o si può semplificre l C C C Rissumedo: No vle i geerle l proprietà commuttiv = può essere co o Se =C può essere C che se è Se =C può essere C che se è

12 Operzioi: Prodotto di due mtrici Proprietà: Il prodotto di mtrici è ssocitivo: C= C Proprietà: Il prodotto di mtrici è distributivo rispetto ll somm si destr che siistr: + C= C + C D E+F= D E + D F Purchè e sio coformbili co C; D si coformbile co E ed F. Es. Dte le mtrici x,,c si verifichi che: t t t Α C C C C C C C C C t t t C C

13 Operzioi: Determite di u mtrice qudrt Il ermite di u mtrice qudrt è uo sclre ssocito ll mtrice. Dremo solo le regole per il clcolo e o i tgli di defiizioe. Determite di u mtrice qudrt di ordie è l elemeto stesso. Determite di u mtrice qudrt di ordie. c b d d-bc Cosiderimo or u mtrice qudrt di ordie. Α Def. Miore Complemetre Si chim miore complemetre dell elemeto ij dell mtrice, e si idic co M ij il ermite dell mtrice otteut ccelldo l rig i-esim e l colo j-esim dll mtrice.

14 Operzioi: Determite di u mtrice qudrt M M - Def. Complemeto lgebrico Si chim complemeto lgebrico dell elemeto ij dell mtrice, il umero: ij i j M ij Not M - i j se i j é pri - i j se i j é dispri M i j -

15 Operzioi: Determite di u mtrice qudrt Determite di u mtrice qudrt di ordie > Si chim ermite di u mtrice qudrt l somm dei prodotti degli elemeti di u quluque lie rig o colo per i loro complemeti lgebrici Prim regol di Lplce. I formule: fissdo l rig k k bbimo:. Oppure fissdo l colo k k bbimo: Es. k k Clcolimo i complemeti lgebrici dell prim rig: k k. k k k k k k k k Es. Se si moltiplico i complemeti lgebrici di u lie per gli elemeti di u lie prllel si ottiee sempre zero Secod regol di Lplce

16 Operzioi: Determite di u mtrice qudrt Es. Clcolimo i complemeti lgebrici dell secod colo: Es. Regol di Srrus solo per mtrici x

17 7 Operzioi: Determite di u mtrice qudrt Es. - Sviluppdo il ermite sempre sull prim colo bbimo:

18 8 Proprietà Determite Proprietà. Se h u colo od u rig di zeri = Si u mtrice x : Proprietà. Scmbido due righe o due coloe il ermite cmbi di sego Proprietà. Se h due righe o due coloe uguli =

19 9 Proprietà Determite Si u mtrice x : Proprietà. Il ermite è u fuzioe liere di ciscu rig o colo : Esemplificdo sull prim colo: b b b b b b dditività C C

20 Si u mtrice x : Proprietà Determite Proprietà. Il ermite è u fuzioe liere di ciscu rig o colo : Esemplificdo sull prim colo: k k k k omogeeità

21 Proprietà Determite. Proprietà. Se d u rig colo si ggiuge u quluque combizioe liere delle ltre righe coloe il ermite o cmbi ll prim colo è stt ggiut l combizioe liere dt d: *secod colo+-terz colo

22 Proprietà Determite. Proprietà. Se e solo se le righe coloe di soo vettori liermete dipei ** llor = 9 9 L terz rig è ì otteut: *prim rig+*secod rig ** Due vettori V e V soo liermete dipei se esistoo due sclri α e α o etrmbi ulli tli che: α V + α V =. vettori V V soo liermete dipei se esistoo sclri α. α o tutti ulli tli che: α V + + α V =.

23 Proprietà Determite. Proprietà 7. Se è u mtrice trigolre o digole llor Proprietà 8 k k C 9 C k 8

24 Proprietà Determite. 7 Proprietà 9 teorem di iet

25 Proprietà Determite 8 Es. Utilizzo precei proprietà per il clcolo del ermite Sottrggo ll prim rig il doppio dell secod, sostituisco ll prim rig il risultto Sommo ll prim colo il triplo dell secod, sostituisco ll prim colo il risultto 9

26 Miori e Rgo di u mtrice. Def. Miore Si chim miore di ordie p di u mtrice il ermite di u qulsisi sottomtrice qudrt di ordie p estrtt d. Not L estrzioe vviee sopprimedo u ermito umero di righe ed u ermito umero di coloe dll mtrice origiri. Es.,, 7, 7 Miori di ordie, Miori di ordie Miori di ordie Def. Rgo o Crtteristic Si chim rgo o crtteristic di u mtrice il mssimo ordie dei miori o ulli Es. Nell esempio precee, l mtrice può vere l mssimo rgo. Due sottomtrici di ordie ho ermite ullo lizzimo le ltre due:. 7 Tutti i miori di ordie tre soo ulli llor il rgo è miore od ugule due. Poiché esiste lmeo u miore di ordie due diverso d zero il rgo è

27 Mtrice Ivers Cosiderimo l isieme di tutte le mtrici qudrte di ordie. Def. Mtrice Iità Si chim mtrice iità o mtrice iic rispetto l prodotto di mtrice u mtrice I tle che: I I Not Tle mtrice deve essere di ordie e tituisce l elemeto eutro rispetto ll moltipliczioe di mtrici. Ess è uic per l isieme delle mtrici qudrte di ordie : è l mtrice digole co tutti gli elemeti dell digole ugule gli ltri soo zero!. I simboli: I i,j,, ij Simbolo di KROENECKER: ij se se i i j j 7

28 Mtrice Ivers bis Per u mtrice qudrt di ordie, ermire l ivers sigific, i geerle, risolvere il seguete sistem di equzioi lieri: I Posto: c b d I x x x x bbimo: I x x cx cx bx bx dx dx b c d x x x x I 8

29 Mtrice Ivers Def. Mtrice Ivers Si chim mtrice ivers dell mtrice l mtrice - che moltiplict destr o siistr per d come risultto l mtrice iità I : I Teorem Codizioe ecessri e sufficiete ffiché esist l mtrice - ivers dell mtrice è che. Def. Mtrice Sigolre U mtrice si dice SINGOLRE se =. Teorem L mtrice - ivers dell mtrice o sigolre si trov fcedo: L trspost dell mtrice dei complemeti lgebrici di divis per il ermite di. I prtic Prtedo d, mtrice o sigolre: Si ottiee l mtrice dei complemeti lgebrici Si trspoe tle mtrice otteedo l mtrice ggiut di Si divide per il ermite di 9

30 Mtrice Ivers Es. * Mtrice complemeti lgebrici * T Trsposizioe mtrice ggiut divido per / / * t Verific: / / I

31 Mtrice Ivers Es. * Mtrice complemeti lgebrici Trsposizioe divido per Verific: Sviluppo il ermite sull secod colo * t / / / * t / / / I

32 Coclusioi Cosiderto l isieme di tutte le mtrici qudrte di ordie, il sottoisieme dell mtrici NON SINGOLRI idicto co GL tituisce u gruppo rispetto ll moltipliczioe. Tle gruppo è o commuttivo o belio: soo soddisftte le segueti proprietà: Iter: ssocitiv: Elemeto eutro: Elemeto simmetrico: ΑGL, Α, GL Α C C I GL : Α I I Α, Α : ΑΑ Α Α I

33 Proprietà: Rissuto Es. Trsposizioe ed Operzioi lgebriche T Α T Α T T T Α Α T T kα kα T T T Α Α Es. Iversioe ed Operzioi lgebriche Α Α T Α T Α Α Α Es. No commuttività e Simmetri Α Α Α Α Α Α Α Α Α T Α mtrice simmetric S S E E T Α mtrice emisimmetr ic T Α simmetric S mtrice

34 Sistemi Lieri e Mtrici Sistem Liere di m equzioi i icogite i form ormle: Form mtricile: m m.... x x x b x x x b. mx mx mx b m Mtrice dei coefficieti x x x. x m Vettore icogite b b b. b m Vettore termii oti x b I geerle o si può dre l lgoritmo di soluzioe m solo idicre se ci soo o meo soluzioe l sistem teorem di Rouché-Cpelli ; tuttvi se il umero delle equzioi è ugule l umero delle icogite llor l mtrice dei coefficieti è qudrt e possimo rgometre quto segue:

35 Sistemi Lieri e Mtrici x b Se l mtrice o è sigolre llor esiste ivers -. Possimo llor scrivere: b x bbimo duque che il vettore soluzioe è uico e si ottiee moltiplicdo l mtrice ivers di per il vettore dei termii oti b. b x Es. x x x x x x x x x x b / / / / / / / / / b x

36 Mtrici e Trsformzioi el Pio R Le mtrici possoo essere utilizzte per rppresetre trsformzioi fuzioi prticolri d R d R : f : R R tle che x, y x', y' I prticolre lcue fuzioe possoo essere rppresette d mtrici: per fr ciò utilizzimo gli elemeti di R come vettori: x' y' c bx d y x by cx dy x' x by y' cx dy d esempio Simmetri rispetto sse x S x Simmetri rispetto sse y S y Simmetri rispetto isettrice I-III S xy Simmetri rispetto ll Origie S O

37 7 Mtrici e Trsformzioi el Pio R Rotzioe si si R R Diltzioe D α,β R S O / / / / R / / / / R R I / / / / R

38 8 Mtrici e Trsformzioi el Pio R Es. Rotzioe di u vettore i coordite polri si V si si si si RV Es. Rotzioe Ivers R R si si si si si si si si Es. Rotzioi Composte si si si si R R R si si si si si si si si

39 9 Mtrici e Trsformzioi el Pio R Es. Poteze di Mtrici R R k k R R R R R R