SERIE NUMERICHE esercizi. R. Argiolas

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1 esercizi R. Argiols L?

2 Quest piccol rccolt di esercizi sulle serie umeriche è rivolt gli studeti del corso di lisi mtemtic I. E bee precisre fi d or che possedere e svolgere gli esercizi di quest dispes o è codizioe é ecessri é sufficiete per il supermeto dell esme stesso. Quest dispes o sostituisce il libro di testo dottto, e sostituisce le esercitzioi svolte dl docete. Quest dispes è solo di supporto tutti coloro che voglio pprofodire l loro preprzioe ll esme co ulteriori esercizi oltre quelli del libro di testo suggerito dl docete. I quest dispes soo stti rccolti lcui degli esercizi svolti lezioe e ssegti lle prove scritte, soo quidi esercizi che possoo trovrsi i u qulsisi testo di lisi mtemtic del primo o del corso di studi. Lo scopo dell dispes è di forire u guid per l soluzioe degli esercizi. Rigrzio ticiptmete tutti coloro che vorro seglrmi evetuli errori. R.A.

3 Richimi Si u successioe di umeri reli. Si defiisce serie di termii l successioe s così defiit: s s s s s LLL L L L elemeto s si chim somm przile (o ridott) -esim dell serie. U serie si dirà covergete, divergete o irregolre secod che l successioe s si covergete, divergete o irregolre. Nel cso l successioe coverg, il ite di tle successioe si dirà somm dell serie. Codizioe ecessri (m o sufficiete) per l covergez di u serie umeric: Affichè u serie umeric poss covergere, il termie geerle dell serie deve tedere zero, cioè. Osservzioe Vegoo proposti u serie di esercizi reltivi ll codizioe ecessri per l covergez di u serie che soo che u occsioe per ricordre il clcolo dei iti di successioe. Per u esercizio più pprofodito sui iti di successioe si ved che l dispes Successioi.

4 Esercizi 6. Assegt l serie, verificre se l codizioe ecessri è soddisftt. soluzioe Verifichimo prim l presez di u form idetermit, pssimo poi l clcolo del ite mettedo i evidez umertore e deomitore. L serie o coverge. 66. Assegt l serie ( 6), verificre se l codizioe ecessri è soddisftt. soluzioe 6 ( 6) L codizioe ecessri o è soddisftt quidi l serie ssegt diverge. 67. Assegt l serie ( ), verificre se l codizioe ecessri è soddisftt. soluzioe

5 6 ( ) Ache i questo cso l serie diverge. 68. Assegt l serie ( ) 8 7, verificre se l codizioe ecessri è soddisftt. soluzioe ( ) L codizioe ecessri o è verifict quidi l serie diverge. 69. Assegt l serie, verificre se l codizioe ecessri è soddisftt. soluzioe Si h: Poiché l codizioe ecessri è verific l serie potrebbe covergere. 7. Assegt l serie, verificre se l codizioe ecessri è soddisftt. soluzioe

6 7 Si h che: L serie diverge. 7. Assegt l serie, verificre se l codizioe ecessri è soddisftt. soluzioe Si ottiee: L serie diverge. 7. Assegt l serie ( ) 9, verificre se l codizioe ecessri è soddisftt. soluzioe Si h che:

7 ( ) 9 9 L serie diverge. 7. Assegt l serie ecessri è soddisftt. ( )( ), verificre se l codizioe soluzioe Si ottiee: L serie diverge. ( )( ) 7. Assegt l serie, verificre se l codizioe ecessri è soddisftt. soluzioe Si ottiee: L serie potrebbe coverge. 8

8 7. Assegt l serie, verificre se l codizioe ecessri è soddisftt. soluzioe Si ottiee: L serie diverge. 76. Assegt l serie codizioe ecessri è soddisftt., verificre se l soluzioe L serie diverge. 77. Assegt l serie ecessri è soddisftt., verificre se l codizioe soluzioe 9

9 L serie diverge. Le Pricipli Serie Numeriche L serie geometric L serie geometric è l seguete: q q q... q... dove il termie q si chim rgioe dell serie. L somm przile eesim (somm dei primi termii dell serie) è dt d: s q q... q Tle somm (che rppreset l somm dei primi termii di u progressioe geometric) può essere scritt che come: s q q Si osservi che: S s q q q o esiste se se se q < q q -

10 pertto l serie: q è covergete co somm q diverge o esiste se se se q < q q - Grfico dell serie geometric di rgioe /:.. Grfico dell serie geometric co rgioe : Grfico dell serie geometric co rgioe,:

11 8 6 Esercizi 78. Studire l covergez dell serie geometric: Clcolre se è possibile l somm. Soluzioe Abbimo stbilito che l serie geometric coverge per tutti quei vlori per cui q <, quidi ffiché l serie ssegt coverg è sufficiete richiedere che:. < < 7 > ( ) Si osservi che che l codizioe ecessri è verifict! L somm dell serie è dt d: S q 79. Studire l covergez dell serie geometric: Clcolre, se è possibile, l su somm. Soluzioe.

12 Abbimo stbilito che l serie geometric coverge per tutti quei vlori per cui q <, quidi ffiché l serie ssegt coverg è sufficiete richiedere che: ( ) < < < Si osservi che che l codizioe ecessri è verifict! L su somm è dt d: q S 8. Studire l covergez dell serie geometric:. Clcolre, se è possibile, l su somm. Soluzioe Affichè l serie ssegt coverg è sufficiete richiedere che: ( ) - ± < < < < Si osservi che che l codizioe ecessri è verifict! L su somm è dt d: q S L serie rmoic E l serie dei reciproci dei umeri turli, così defiit:......

13 L serie rmoic è u esempio di serie che o coverge, beché il termie geerle dell serie ted zero: (ricordimo iftti che quest è solo u codizioe ecessri m o sufficiete per l covergez). Grfico dell serie rmoic: L serie rmoic geerlizzt E defiit come: p p p p... p... dove p è u umero rele L serie rmoic geerlizzt coverge per vlori di p > e diverge per p. Grfico dell serie rmoic geerlizzt co p:

14 Grfico dell serie rmoic geerlizzt co p/: 8 6 L serie telescopic L esempio più semplice di serie telescopic è l serie di Megoli. É l serie: ( ) Si osservi che ( ) Quidi si h che che: ( )

15 Clcolimo l su somm: s ( ) k k k k k k... questo grzie l ftto che i termii si semplifico. D questo si vede come il termie geerle dell serie si del tipo: k k c c k k di coseguez grzie lle ccellzioi si trov, i geerle, che: s c c se il termie c, l serie è covergete e h somm c. Grfico dell serie di Megoli: Esercizi 8. Dimostrre che l serie clcolre l su somm. ( )( ) è covergete e Soluzioe Si osservi che il termie geerle può che essere scritto come: 6

16 7 ( )( ) ( ) l somm eesim è dt d: s L e quidi: 6 s 8. Dimostrre che l serie ( )( ) è covergete e clcolre l su somm. Soluzioe Si osservi che il termie geerle può che essere scritto come: ( )( ) ( ) l somm eesim è dt d: 8 s L e quidi: s

17 Criteri di covergez per serie termii o egtivi Il criterio del cofroto Eucito Dte due serie termii positivi e b tli che. se diverge che b diverge,. se b coverge che coverge. b, llor: 8. Utilizzdo il criterio del cofroto, verificre l covergez delle segueti serie. ) b) c) d) ( ) ( ) e) ( ) (egli esercizi precedeti il sego di sommtori vri per che v d zero ll ifiito). soluzioi 8

18 ) Abbimo che <. Iftti per poter mggiorre è sufficiete dimiuire l qutità deomitore (ricordimo che ssume vlori sempre positivi). Or è il termie geerle dell serie che è rmoic geerlizzt co espoete mggiore di uo (i questo cso iftti l espoete è ), duque l serie coverge. Per il criterio del cofroto coverge che l serie ssegt. b) Abbimo che < <. Or è il termie geerle dell serie rmoic geerlizzt co espoete mggiore di uo (i questo cso iftti l espoete è ), duque l serie coverge. Per il criterio del cofroto coverge che l serie ssegt. c) Abbimo che <. Per redersi coto dell mggiorzioe bst ( ) sviluppre il cubo di biomio deomitore e procedere come ei csi precedeti. Or è il termie geerle dell serie rmoic geerlizzt co espoete mggiore di uo (i questo cso iftti l espoete è ), duque l serie coverge. Per il criterio del cofroto coverge che l serie ssegt. d) Abbimo che >. I questo cso stimo miordo. Or è il termie geerle dell serie rmoic che diverge. Per il criterio del cofroto diverge che l serie ssegt. e) Abbimo che > >. ( ) ( )( ) ( )( ) Or è il termie geerle dell serie rmoic duque l serie diverge. Per il criterio del cofroto diverge che l serie ssegt. 9

19 Il Criterio Asitotico Eucito: Due serie termii positivi e b tli che ~ b, ho lo stesso comportmeto, cioè etrmbe o covergoo o divergoo. Osservzioe Già ell dispes successioi bbimo osservto che clcolre il ite di u successioe può essere prticolrmete difficoltoso. Tlvolt, si cerc di semplificre l successioe utilizzdo l relzioe di sitotico. Ricordimo: L gerrchi degli ifiiti. Ogi ifiito espoezile è di ordie superiore ogi ifiito potez.. Ogi ifiito potez è di ordie superiore ogi ifiito logritmo. Detto i ltri termii: L espoezile v più velocemete ll ifiito dell potez, l potez v più velocemete ll ifiito del logritmo. 8. Utilizzdo il criterio sitotico, verificre l covergez delle segueti serie. c) ) cos 7 b) log si 7 9 d) cos ( ) log e) cos log si ( ) 6

20 Soluzioi cos ) Si verific fcilmete che ~ 7. L serie è rmoic geerlizzt (co espoete mggiore di uo) quidi coverge. Per il criterio sitotico coverge che l serie ssegt. log si b) I questo cso si h: ~ 7 9 L serie è rmoic geerlizzt (co espoete mggiore di uo) quidi coverge. Per il criterio sitotico coverge che l serie ssegt. ( ) cos c) Abbimo che ~. L serie è geometric co rgioe miore di uo, quidi coverge. Per il criterio sitotico coverge che l serie ssegt. log d) Si verific che ~. L serie è geometric co rgioe miore di uo, quidi coverge. Per il criterio sitotico coverge che l serie ssegt. cos e) Si h: log si ( ) ~. L serie è rmoic quidi divergete. Per il criterio sitotico diverge che l serie ssegt. 6

21 Il criterio dell rdice Eucito Si u serie termii o egtivi per l qule esist il l. Allor se: < l > l serie coverge l serie diverge cso dubbio Osservzioe Nel cso l, il criterio dell rdice, così come il successivo criterio del rpporto, o foriscoo lcu iformzioe circ l covergez o meo dell serie cosidert. Ciò equivle dire che il crttere dell serie v studito co ltri metodi m o che ess è idetermit. 8. Utilizzdo il criterio dell rdice, verificre l covergez delle segueti serie. ) b) c) d) soluzioi ) L serie è termii o egtivi, quidi è pplicbile il criterio dell rdice. Si h:. 6

22 6 L serie ssegt diverge. b) L serie è termii positivi quidi è pplicbile il criterio dell rdice. Si h: > e. L serie diverge. c) L serie è termii positivi. Quidi: <. L serie coverge. d) L serie è termii positivi, è quidi pplicbile il criterio dell rdice. < e L serie coverge. Il criterio del rpporto Eucito Si u serie termii positivi per l qule esist il l. Allor se: > < cso dubbio l serie diverge l serie coverge l

23 Si ricordi che:! ( )( )( ) L ( k ), si ssume per covezioe:! esempio:!!!! 86. Utilizzdo il criterio del rpporto, verificre l covergez delle segueti serie. )! b)! c) d) e) f) ( ) ( )! ( )! ( ) ( )!! g) ( )!! soluzioi 6

24 ! ) Il termie geerle dell serie è: metre il termie successivo ( )! è (. Si osservi che per poter scrivere il termie successivo ) di u serie bst sostituire l termie ssegto,, l posto di. L serie è termii positivi, pplichimo quidi il criterio. Si h: ( )! ( )! ( ) ( )!! ( ). L serie diverge. b) Il termie eesimo dell serie ssegt è ( ) quidi: ( )! metre! ( ) ( )!! <. L serie coverge. c) Il termie geerle dell serie è successivo è L serie coverge. ( ) quidi: ( )! ( ) ( )! ( ) ( ) ( ) metre il termie ( )!! <. d) Il termie eesimo dell serie è quidi: ( )! metre il successivo è ( )! 6

25 L serie coverge. ( ) ( )! <.! e) Il termie eesimo dell serie è quidi: ( )! metre il successivo è ( )! ( ) ( )! <!. L serie coverge. f) Il termie geerle dell serie è quidi: ( )(! ) ( )! metre il successivo è ( ) ( )!! L serie coverge. ( ) <. g) Il termie eesimo dell serie è ( )! ( )(! ) quidi: ( )! metre il successivo è! ( )!! ( )(! ) ( ) ( )( ) ( )! e >. L serie diverge. Osservzioe 66

26 Utilizzdo il criterio del rpporto si osserv come il fttorile v più velocemete ll ifiito dell espoezile, e come v più velocemete ll ifiito del fttorile (e quidi dell espoezile). Il criterio di codeszioe Eucito L serie termii positivi coverge se è solo se coverge l serie. 87. Utilizzdo il criterio di codeszioe, verificre l covergez delle segueti serie. ) b) log log c) log soluzioi ) Cosiderimo l serie. ( log ) log Quest ultim coverge per il criterio dell rdice, iftti: <. log Quidi che l serie ssegt per il criterio di codeszioe coverge. 67

27 b) Cosiderimo l serie ( ). log log ( ) Quest ultim coverge per il criterio dell rdice, iftti: log <. ( ) Quidi che l serie ssegt per il criterio di codeszioe coverge. c) Cosiderimo l serie. ( log ) log ( ) Quest ultim diverge per il criterio dell rdice, iftti: log ( ) >. Quidi che l serie ssegt per il criterio di codeszioe diverge. (si osservi come i questo cso utilizzre il criterio dell rdice è superfluo i quto il termie geerico dell serie o soddisf l codizioe ecessri per l covergez!) Serie termii di sego qulsisi E spoteo chiedersi se i criteri utilizzti precedetemete per le serie termii o egtivi, possoo i geerle essere utilizzti per le serie termii di sego qulsisi. Questo è possibile grzie l seguete teorem: Teorem Se l serie coverge llor coverge che l serie Attezioe! Il vicevers o è vero!!! Defiizioe: 68

28 U serie si dirà ssolutmete covergete se coverge l serie. L covergez ssolut implic l covergez semplice (cioè quell clssic), m o è vero il vicevers. D or i vti qudo prleremo di covergez ci riferiremo sempre ll covergez semplice, preciseremo ivece sempre qudo l covergez è di tipo ssoluto. Esercizi 88. Studire l semplice e ssolut covergez delle segueti serie. ) ( ) ( 6 ) b) ( ) ( ) ( ) c) d) ( ) ( ) ( ) e) ( ) (ei precedeti esercizi i vlori di el sego di sommtori dell serie vrio d ifiito). Soluzioe ) Cosiderimo l serie dei vlori ssoluti: ( 6 ) L serie otteut coverge per il criterio sitotico iftti ~ ( 6 ) 6, che coverge i quto serie rmoic geerlizzt co espoete mggiore. 69

29 di uo, quidi l serie coverge ssolutmete e di coseguez semplicemete. ( ) ( ) b) Cosiderimo l serie dei vlori ssoluti:. L serie otteut coverge per il criterio sitotico iftti l serie otteut ( ) coverge per il criterio sitotico iftti ~, che coverge ( ) i quto serie rmoic geerlizzt co espoete mggiore di uo, quidi l serie coverge ssolutmete e di coseguez semplicemete. c) Cosiderimo l serie dei vlori ssoluti:. Quest ultim è ( ) sitotic, che coverge i quto serie rmoic geerlizzt co espoete mggiore di uo, quidi l serie coverge ssolutmete e di coseguez semplicemete. d) L serie dei vlori ssoluti è:. Quest ultim è sitotic, che coverge i quto serie rmoic geerlizzt co espoete mggiore di uo, quidi l serie coverge ssolutmete e di coseguez semplicemete. e) L serie dei vlori ssoluti è:. Quest ultim è sitotic, che coverge i quto serie rmoic geerlizzt co espoete mggiore di uo, quidi l serie coverge ssolutmete e di coseguez semplicemete. Serie termii di sego ltero Il Criterio di Leibiz Eucito L serie termii di sego ltero ( ) co > N coverge se: 7

30 . è decrescete.. Ioltre le somme przili di idice pri pprossimo l somm per eccesso, metre le somme przili di idice dispri pprossimo l somm per difetto. Ricordimo che: U successioe è decrescete se: (). Poiché per pplicre il criterio di Leibiz si richiede che >, l () è equivlete dire che: 89. Utilizzdo il criterio di Leibiz, verificre l covergez delle segueti serie. ) b) c) d) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) e) ( ) ( ) 7

31 f) ( ) ( ) (egli esercizi precedeti il vlore di el sego di sommtori v sempre d ifiito). Soluzioe ) Abbimo che, ioltre si verific fcilmete che: 7 ( ) 7 7 <, quidi soo verificte le ipotesi del criterio di Leibiz. b) Abbimo che, ioltre si verific fcilmete che: < 9 per ogi vlore di, quidi soo verificte le ipotesi del criterio di Leibiz. c) Abbimo che, ioltre si verific fcilmete che: ( ) ( ) ( ) < per ogi vlori di, quidi soo verificte le ipotesi del criterio di Leibiz. d) Abbimo che ( ), ioltre si verific fcilmete che: ( ) ( ) < per qulsisi vlore di, quidi soo verificte le ipotesi del criterio di Leibiz. 7

32 e) Abbimo che, ioltre si verific fcilmete che: ( ) ( ) ( ) ( ) < ( ) ( ) ( ) ( ) < per qulsisi vlore di quidi soo verificte le ipotesi del criterio di Leibiz. f) Osservimo itto che i termii dell serie soo: se è pri se è dispri L prim codizioe del teorem di Leibiz è blmete soddisftt (l successioe è ifiitesim). Vedimo or di studire l mootoi. Se è pri ( e quidi è dispri!) dobbimo verificre che:. Si h: ( ) ( ) d cui segue che ( ) ( ) Svolgedo il qudrto di biomio e semplificdo si vede fcilmete come o ci si essu vlore di pri che soddisf l disugugliz. Questo ci permette di dire che l serie o coverge? Ovvimete o! Perché il criterio di Leibiz, così come tutti i criteri precedetemete illustrti soo solo codizioi sufficieti per l covergez. Per stbilire se l serie cosidert coverge possimo llor dre studire l covergez ssolut ricorddo che quest implic l semplice. L serie dei vlori ssoluti è l seguete: 7

33 ( ) Utilizzdo il criterio del cofroto si h che: ( ) ~ che coverge essedo il termie geerico di u serie rmoic geerlizzt co espoete mggiore di. Esercizi vri 9. Studire l covergez dell serie: ( log ) soluzioe L serie ssegt è termii o egtivi, per stbilire l covergez possimo utilizzre il criterio di codeszioe. ioltre: ( log ) Utilizzdo il criterio del rpporto si h: ( log ) ( log )( ) ( ) log < 8 L serie coverge. 9. Studire l covergez ssolut e semplice dell serie: cos π soluzioe 7

34 7 L serie coverge ssolutmete iftti, cosidert l serie dei moduli, per il criterio del cofroto si h: cos < π, che rppreset il termie geerle dell serie rmoic geerlizzt co espoete mggiore di uo e quidi coverge. 9. Studire l covergez dell seguete serie: ( ) si soluzioe L serie coverge ssolutmete iftti, cosidert l serie dei moduli, per il criterio del cofroto si h: si, che rppreset il termie geerle dell serie rmoic geerlizzt co espoete mggiore di uo e quidi coverge. 9. Assegt l serie: ) Verificre che il termie geerico è u ifiitesimo, b) Utilizzdo u criterio stbilire l covergez. soluzioe Verifichimo se l serie può covergere clcoldo il ite del termie eesimo: ( ).

35 76 L serie può duque covergere. Osservimo che i termii dell serie soo positivi possimo quidi pplicre il criterio dell rdice: ( ) < e. L serie coverge. 9. Assegt l serie: ) Verificre che l codizioe ecessri è soddisftt, b) Stbilire l covergez utilizzdo il criterio più opportuo. soluzioe Verifichimo se l serie può covergere clcoldo il ite del termie eesimo: ( ) utilizzdo il criterio dell rdice si ricv: ( ) ( ) ( ) < L serie ssegt coverge. 9. Studire l covergez dell seguete serie: 6 log soluzioe

36 Utilizzdo il criterio sitotico (l serie è termii positivi) si h: log 6 ~ L ultimo termie è il termie geerico dell serie rmoic geerlizzt co espoete miore di uo, quidi divergete. 96. Studire l vrire del prmetro α R il comportmeto dell seguete serie: α soluzioe L serie è termii positivi possimo, per esempio pplicre il criterio sitotico per stbilire l tur dell serie ssegt. Si verific che: α α ~ α α l serie è rmoic geerlizzt co 7 7 per α > e diverge per α. p α, quidi l serie coverge Studire l vrire del prmetro α R il comportmeto dell seguete serie: α soluzioe ( ) L serie è termii positivi possimo, per esempio pplicre il criterio sitotico per stbilire l tur dell serie ssegt. Si verific che: ( ) α α α α ~ α 9α 77

37 l serie α è rmoic geerlizzt co p α, quidi l serie coverge per α < e diverge per α. 97. Dimostrre che l serie clcolre l su somm. ( )( ) è covergete e Soluzioe Si osservi che il termie geerle può che essere scritto come: l somm eesim è dt d: e quidi: ( )( ) ( ) s L 6 s. 98. Assegt l serie: ) Studire l codizioe ecessri, b) Stbilire l covergez utilizzdo u criterio. soluzioe Iizimo col verificre se l codizioe ecessri è soddisftt. Si h: 78

38 79 ( ) Utilizzdo or il criterio dell rdice si ricv: ( ) < e. L serie ssegt coverge. 99. Studire l covergez dell serie geometric:. Clcolre, se è possibile, l su somm. Soluzioe Affiché l serie ssegt coverg è sufficiete richiedere che: > < < Si osservi che che l codizioe ecessri è verifict! L su somm è dt d: q S. Studire l covergez dell seguete serie: ( )! Soluzioe

39 Il termie geerle dell serie è: ( )! ( ) ( )! metre il termie successivo è. Si osservi che per poter scrivere il termie successivo di u serie bst sostituire l termie ssegto,, l posto di. L serie è termii positivi, pplichimo quidi il criterio. Si h: ( )! ( ) ( )! ( )! ( ) ( )! ( ). L serie diverge. Osservzioe Se coverge e b coverge llor ( b ) coverge Se coverge e b diverge llor ( b ) diverge Se diverge e b coverge llor ( b ) diverge. Studire l covergez dell seguete serie: (co d ll ifiito) Soluzioe ( ) cos L serie ssegt può essere scritt che cosi: cos ( ) cos ( ) L prim serie coverge per il criterio del cofroto iftti: cos l serie mggiorte è rmoic geerlizzt co espoete mggiore di uo (i questo cso ) quidi covergete. L secod serie ivece coverge per il criterio di Leibiz, come si verific fcilmete. L serie di prtez quidi coverge essedo somm di serie covergeti. 8

40 . Studire l covergez dell seguete serie: Soluzioe L serie ssegt può essere scritt che cosi: e e e L prim serie diverge. è geometric co rgioe > quidi Ache l secod serie diverge come si può vedere utilizzdo il criterio dell rdice: e e >. L serie di prtez quidi diverge essedo somm di serie divergeti. 8

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