SERIE DI POTENZE Esercizi risolti. Esercizio 1 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie di potenze. x n.

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1 SERIE DI POTENZE Esercizi risolti Esercizio x 2 + 2)2. Esercizio 2 + x Esercizio 3 dove a è u umero reale positivo. Esercizio 4 x a, 2x ) 3 +. Esercizio 5 x! = x + x 2 + x 6 + x 24 + x Esercizio ) x.

2 Esercizio 7 + log 2) 2 x. Esercizio ) 2 x. [Per lo studio della covergeza agli estremi si utilizzi lo sviluppo log + t) = t t2 2 + ot2 ), dove ot 2 ) idica u ifiitesimo di ordie superiore a t 2 per t 0.] Esercizio x. Esercizio 0 2)! 5!) 2 x. [Per lo studio della covergeza agli estremi si ricordi la formula di Stirlig:! e 2π )]. Esercizio ) + 3 log x. + 2 [Si ricordi l equivaleza log + ) ).] Esercizio 2 2 x.

3 Esercizio 3 Determiare lo sviluppo i serie di Taylor delle segueti fuzioi, cetrato ei puti idicati, idicadoe il raggio di covergeza:. fx) = e x2 x 0 = 0) 2. fx) = 2x 3 x 0 = 0) 3. fx) = log + x) x 0 = ) Esercizio 4 Sviluppare i serie di McLauri la fuzioe fx) = 2x 8 x 2 8x + 2 precisado il raggio di covergeza. Utilizzare il risultato otteuto per calcolare f ) 0) per geerico.

4 Svolgimeti Esercizio Per la determiazioe del raggio di covergeza utilizziamo il criterio del rapporto, calcolado a + a 2 + 2)2 = + ) 2 = + 2) = 2. Il raggio di covergeza è quidi R = 2. Nel puto x = 2 la serie si riduce a 2 + 2), che coverge è equivalete a / 2 ), metre per x = 2 abbiamo la serie ) 2 + 2), che è assolutamete) covergete. Quidi la serie proposta coverge i [ 2, 2]. Esercizio 2 Co la sostituzioe z = x 3 ci ricoduciamo alla serie + z Applichiamo il criterio del rapporto, calcolado = 3. La serie ella variabile z) ha raggio di covergeza R z = 3; quidi coverge per z < 3; ricordado la sostituzioe fatta, la serie iiziale coverge per x 3 < 3, cioè per x < 3 3. Il raggio di covergeza è quidi R = 3 3. Per x = 3 3 otteiamo la serie umerica + + 2, che o coverge i quato il suo termie geerale o tede a zero codizioe ecessaria di covergeza delle serie umeriche). Per x = 3 3 otteiamo la serie umerica 3 ) ; ache questa serie o coverge i quato il suo termie geerale o ammette ite per pari la successioe dei suoi termii tede a, metre per dispari tede a -). L isieme di covergeza della serie proposta è quidi 3 3, 3 3).

5 Esercizio 3 Determiiamo il raggio di covergeza co il criterio della radice. Si ha a = a = ) a =, dove abbiamo usato il ite fodametale =. Possiamo ache scrivere a = a/ = e a log / e 0 =, ricordado il ite fodametale log / = 0.) Il raggio di covergeza è quidi R = per ogi valore a > 0. Studiamo il comportameto ell estremo x = ; la serie coverge se a >, diverge se a. Sostituedo ivece x =, abbiamo la serie a segi alteri a ) a. Questa serie è covergete per ogi valore di a > 0, per il criterio di Leibiz. Ifatti il termie geerale è decrescete e ifiitesimo. L isieme di covergeza della serie proposta è quidi [, ) se a e [, ] se a >. Esercizio 4 La serie assegata o è della forma a z ; per ricodurla a questa forma scriviamo [2x /2)] 3 = + 2 x /2) 3. + Co la sostituzioe z = x /2 ci ricoduciamo a ua serie cetrata ell origie: 2 z 3 +. Il raggio di covergeza di questa serie è R z = 3/2, come si verifica co il criterio della radice o del rapporto; agli estremi dell itervallo la serie o coverge i etrambi i casi si ottiee ua serie il cui termie geerale o è ifiitesimo), per cui l isieme di covergeza risulta {z : 3/2 < z < 3/2}. Teedo coto della sostituzioe z = x /2, la serie proposta coverge per x /2 < 3/2 e ha duque raggio di covergeza R = 3/2 e isieme di covergeza {x : < x < 2}. Possiamo ache porre subito 2x = t, otteedo la serie 0 t /3 + ). Questa ha raggio di covergeza R t = 3, quidi la serie iiziale coverge per 3 < 2x < 3, cioè per < x < 2. Esercizio 5 Scrivedo la ostra serie come a x abbiamo che la successioe dei coefficieti a è,, 0, 0, 0,, 0, 0,..., 0,, 0, 0, 0,...,

6 dove gli zeri o si ripetoo co regolarità ma i blocchi sempre più gradi all aumetare di. No è quidi possibile operare ua sostituzioe z = x k allo scopo di otteere ua serie co coefficieti tutti o ulli. Per studiare l isieme di covergeza della serie assegata procediamo direttamete, trattadola come ua serie umerica per ogi valore fissato di x). È immediato osservare che la serie diverge i x = e i x =, metre coverge per x <. Ifatti se x < possiamo affermare che x! = x + x 2 + x x + x 2 + x 3 + x 4 + x ; la serie maggiorate è la serie geometrica presa i modulo, che sappiamo essere covergete per x <. Dal criterio del cofroto discede l assoluta covergeza della serie proposta, che ha quidi raggio di covergeza uguale a uo e isieme di covergeza, ). U altro metodo per studiare la covergeza è quello di applicare il criterio del rapporto alla serie umerica di termii b = x! = x! questa vale per ogi 2 essedo! pari): b + b = x +)! x! = x +)!! = x! 0 se x <, + se x >, se x =. Duque la serie coverge per x < e diverge per x >, e quidi R =. Esercizio 6 Applichiamo il criterio della radice. Posto a = /3 + /) si ha Il raggio di covergeza è allora R = 3. Per x = 3 la serie di poteze diveta a = 3 + ) = ) 3. Questa serie diverge i quato il termie -esimo + 3/) tede a e 3 0. Per x = 3 si ottiee la serie ) 3 + ) 3, che o coverge perchè il termie -esimo ) + 3/) o ha ite per e quidi o tede a zero). Ifatti la successioe dei termii di idice pari tede a e 3, quella dei termii di idice dispari a e 3. L isieme di covergeza è duque 3, 3). Esercizio 7 +log 2) Posto a = 2 si ha +log 2 a = 2 = +log 2 2,

7 2 da cui R = +log 2. Per x = R la serie di poteze si riduce alla serie armoica, che diverge. Per x = R otteiamo ivece la serie armoica a segi alteri per il criterio di Leibiz. L isieme di covergeza è duque [ 2 +log 2, 2 ) +log 2 )., che coverge Esercizio 8 Posto a = ) +2 2 si ha a = + 2 ) = + 2 ) = e 2. Il raggio di covergeza è R = e 2. Per x = e 2 la serie di poteze si riduce alla serie umerica ) e Proviamo a calcolare il ite per del termie -esimo a = e 2 ) Portado tutto all espoete di e e usado lo sviluppo log + t) = t t2 2 + ot2 ) si ha a = e2 + 2 = e2 2 ) )2 +o 2 ) = e2 2+2+o) = e 2 0. = e2 e 2 log+ 2 ) Poichè a o tede a zero, la serie a o può covergere essedo a termii positivi essa diverge). Per x = e 2 si procede i modo aalogo: si ottiee la serie ) e 2 ) +2 2, che o può covergere i quato il termie -esimo o tede a zero. Cocludiamo che l isieme di covergeza è l itervallo aperto e 2, e 2 ). Esercizio 9 Posto a = si ha ) / 2 a = = Duque R = 3/2. Agli estremi la serie o coverge. Ifatti per x = 3/2 si ottiee la serie , il cui termie geerale tede a 0, metre per x = 3/2 si ottiee la serie ) , il cui termie geerale o ha ite. L isieme di covergeza è duque 3/2, 3/2). Esercizio 0 Applichiamo il criterio del rapporto. Posto a = a + a 2 + 2)! 5!) 2 = )!) 2 2)! 2)! 5 si ha!) )2 + ) = 5 + ) 2 = 4 5.

8 Il raggio di covergeza è R = 5/4. Per x = 5/4 otteiamo la serie 2)! 4!) 2. Il criterio del rapporto o ci dice ulla i quato il rapporto dei coefficieti tede a, come si verifica subito. Applicado la formula di Stirlig! e 2π otteiamo 2)! 4!) 2 2)2 e 2 4π 4 e 2π ) 2 4π 4 2 e 2 2π =. π = 4 2 e 2 Per il criterio del cofroto asitotico la serie si comporta come la serie i quato /2. Per x = 5/4 si ottiee la serie ) 2)! 4!) 2. Posto a = 2)! 4!) 2 si ha a e duque π decrescete. Si ha a + a a = )! )!) 2 2)! 4!) )2 + ) 4 + ) Questa è verificata N. La serie coverge allora per il criterio di Leibiz. L isieme di covergeza è [ 5/4, 5/4). /2, che diverge Dimostriamo che a è Esercizio Posto a = log ), abbiamo ) + 3 = log + ) > 0 ) e ricordado che log ) a + a = log log Duque a + /a e per il criterio del rapporto) il raggio di covergeza è R =. Possiamo ache procedere osservado che a = log , e duque a x deve avere lo stesso raggio di covergeza di x, cioè. ) + 3 Per x = la serie log diverge per il criterio del cofroto asitotico, essedo + 2 log ) ) ) =. ).

9 ) + 3 coverge ivece per il criterio di Leibiz. Ifatti + 2 Per x = la serie ) log ) + 3 si ha log = log = 0. Ioltre la successioe a = log + 2 quato la disuguagliaza a + a log + ) log + ) è verificata N. L isieme di covergeza è [, ). ) + 3 è decrescete i + 2 Esercizio 2 Applicado il criterio della radice co a = /2 si ha a = Il raggio di covergeza è duque R =. Per x = otteiamo la serie a segi alteri =. ) 2, che coverge per il criterio di Leibiz i quato /2 tede a zero decrescedo. Per x = otteiamo la serie a termii positivi 2. Per studiare la covergeza, osserviamo che la successioe rapidamete della successioe 2 =. I effetti si ha e2 log 2 = e log 2 tede a zero più 2 2 cioè 2 = o ) ). Poichè la serie 2 per il criterio del cofroto asitotico. L isieme di covergeza è [, ]. 2 = 2 = log log 2 e2 = e = 0, coverge, ache la serie 2 2 coverge

10 Esercizio 3. Poichè fx) = e e x2, utilizzado lo sviluppo della fuzioe espoeziale e z = e operado la sostituzioe z = x 2, otteiamo z! x 2 ) fx) = e! ) x 2 = e.! La serie espoeziale coverge per ogi z reale e quidi la serie data coverge per ogi x reale R = + ). 2. Possiamo calcolare lo sviluppo di fx) ricoducedoci alla serie geometrica Scriviamo e sostituiamo z = 2x/3, otteedo z = z, z < ). fx) = 2x 3 = 3 2x 3 fx) = 3 ) 2x = 3 3 ) = 3 2x 3 ) 2 x. Poichè la serie geometrica coverge per z <, teedo coto della sostituzioe effettuata vediamo che la serie otteuta coverge se 2x 3 <, vale a dire per x < 3 2. Duque R = 3/2. È immediato verificare che la serie o coverge ei puti x = 3/2 e x = 3/2. 3. Co la sostituzioe t = x ci ricoduciamo allo sviluppo cetrato i t 0 = 0 della fuzioe log2 + t), che scriviamo ella forma log2 + t) = log 2 + t )) = log 2 + log + t ) Utilizzado lo sviluppo della fuzioe log + z): log + z) = ) + z, per z <, co la sostituzioe z = t/2, otteiamo log2 + t) = log 2 + ) + t 2, che coverge quado t/2 <, cioè quado t < 2, e ifie

11 log + x) = log 2 + ) + x ) 2. Questa serie coverge se x < 2 R = 2), cioè ell itervallo, 3). Nel puto x = 3 coverge, i quato si riduce alla serie armoica a segi alteri. Nel puto x = si ottiee ivece la serie log 2 + che è divergete. ) + ) 2 2 = log 2 + ) 2+ = log 2, Esercizio 4 Coviee decomporre fx) i fratti semplici e sviluppare le due fuzioi otteute: fx) = 2x 8 x 2 8x + 2 = x 6 + x 2 = 6 x/6) + 2 x/2) Utilizzado la serie geometrica z) = 0 z, co le sostituzioi z = x/6 e z = x/2 rispettivamete, otteiamo fx) = 6 x 6 2 x 2 = x 6 + x 2 + = 6 + ) 2 + x. La serie x/6) coverge per x/6 <, cioè per x < 6. Aalogamete la serie x/2) coverge per x < 2. Il raggio di covergeza della serie di Mc Lauri di f è duque R = 2. Ifie, ricordado la formula dello sviluppo i serie di Taylor, si ha che e quidi f ) 0)! = f ) 0) =!!