3 Limiti e continuità

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1 3 Limiti e cotiuità I questo corso ci occuperemo prevaletemete del calcolo ifiitesimale, disciplia matematica che affoda le sue radici ella Grecia del III secolo a.c. Euclide, Archimede), ha u grade sviluppo a partire dal Seiceto, parallelamete al ascere della scieza modera, i particolare ad opera di Newto e Leibiz, tra il 1670 e il 1710 circa; viee quidi sottoposta a revisioe critica e fodata rigorosamete ell Ottoceto, prima da Cauchy, el ,poi da Weierstrass e da vari altri matematici Heie, Cator, Méray,... ) itoro al Le idee e le teciche di calcolo proprie di questa disciplia fao oggi parte del bagaglio esseziale co cui scieza e tecologia si esprimoo e procedoo. Il fodameto cocettuale del calcolo ifiitesimale sta ella ozioe di limite D Alembert 1765, Cauchy 1821), che quidi può a buo diritto cosiderarsi ua pietra miliare ella storia del pesiero scietifico. Noi itrodurremo questo cocetto gradualmete, prima el caso discreto par. 1) e poi i quello cotiuo, i cui storicamete è ato par. 2). Nel cotesto discreto, il limite si può vedere come u operazioe che, a differeza delle operazioi algebriche elemetari somma, prodotto), viee eseguita o su ua coppia di umeri ma su ua successioe di ifiiti umeri. Per prima cosa itrodurremo quidi il cocetto di successioe. Questo argometo, oltre a servirci immediatamete per itrodurre il cocetto di limite di fuzioe, sarà ripreso el capitolo 5 parlado di serie umeriche, e el capitolo 7 discutedo i modelli diamici discreti. 1 SUCCESSIONI 1.1 Defiizioe di successioe. Defiizioe di limite Cosideriamo l isieme N degli iteri o egativi ordiato secodo l ordie aturale N :0, 1, 2, 3,...,,... 1 Corso di Aalisi per l Ecole Polytechique di Parigi.

2 88 Capitolo 3. Limiti e cotiuità c Questo è l esempio caoico di successioe. Stabiliamo ora ua legge che associa, a ogi elemeto di N o da u certo itero i poi) u umero reale): a Chiameremo successioe ua tale corrispodeza. Ua successioe può duque vedersi come ua fuzioe f : N R f : a o evetualmete, f : { N : 0 } R, per u certo 0 fissato). Il fatto che il domiio della fuzioe f sia l isieme dei aturali, rede possibile visualizzare la successioe eumerado i suoi valori, ell ordie i cui essi si succedoo al crescere di : 2 a 0,a 1,a 2,...,a,... Esempio , 1, 4, 9, 16, ) 1, 1, 1, 1, 1, 1, / 2, 2, 3 2, 4 2, , 1 2, 1 3, 1 4, , 2, 5 3, 6 4, 7 5, , 4, 4... successioe costate) Possiamo rappresetare graficamete questa corrispodeza co i puti del piao cartesiao di coordiate, a ) fig.3.1). Sottolieiamo che la successioe è ota quado è ota la legge che, dato l itero, determia il umero a associato a quell itero. Per idicare ua successioe useremo i simboli a oppure {a } precisado l isieme i cui varia l idice tutto N odaucerto itero i poi). Ua successioe {a } si dirà limitata iferiormete se esiste u umero m tale che a m limitata superiormete se esiste u umero M tale che a M limitata se esistoo due umeri m e M tali che m a M 2 I putii di sospesioe... scritti ella formula seguete dopo a soo fodametali: sigificao che o stiamo cosiderado soltato i primi termii della successioe cioè u isieme fiito di umeri), ma l itera successioe di ifiiti termii i cui gioca il ruolo di idice muto).

3 c Successioi a) : 2 b) : 1) Figura 3.1. Per esempio, la successioe { 1) } è limitata; { 2 } è limitata solo iferiormete; la successioe { 2) } o è limitata é iferiormete, é superiormete). L operazioe che vogliamo defiire il limite) cosete di rispodere i forma rigorosa alla domada: come si comportao i umeri {a } quado diveta sempre più grade? Comiciamo co l itrodurre u modo di dire molto utile. Defiizioe 3.1 Diciamo che ua successioe {a } possiede o acquista) defiitivamete ua certa proprietà seesiste u N N tale che a soddisfa quella proprietà per ogi itero N. Esempio 1.2 La successioe { 10 } è defiitivamete positiva; la successioe { 1 } = 1, 2,...)è defiitivamete miore di Successioi covergeti Defiizioe 3.2 Ua successioe {a } si dice covergete se esiste u umero l R co questa proprietà: qualuque sia ε>0 risulta defiitivamete 1.1) a l <ε. I altre parole: per ogi ε > 0 si può trovare u itero N che aturalmete dipederà i geerale da questo ε) tale che a l <ε per ogi N Se la successioe {a } è covergete, ad essa è associato perciò ilumero l. Siosservi che tale umero è uico, poiché, se ve e fossero due, l 1 e l 2, associati alla medesi-

4 90 Capitolo 3. Limiti e cotiuità c ma successioe, risulterebbe defiitivamete applicado la disuguagliaza triagolare 4.4), cap. 1) l 1 l 2 = l 1 a + a l 2 l 1 a + a l 2 < 2ε ma tale disuguagliaza, potedo oi scegliere ε come vogliamo, può sussistere solo se l 1 = l 2. Defiizioe 3.3 Il umero l che compare ella 1.1) si chiama limite della successioe {a }, esiscrive lim a = l oppure a l per + + si legge, rispettivamete: il limite, per tedete all ifiito, di a è l, oppure: a tede a l per tedete a ifiito). Si oti che la disuguagliaza 1.1) corrispode, più esplicitamete, alle segueti due: 1.2) l ε<a <l+ ε Rappresetado graficamete i puti della successioe a l + ε l l ε Figura 3.2. la codizioe di covergeza sigifica che, fissata ua striscia orizzotale [l ε, l + ε] comuque stretta, da u certo idice i poi i puti della successioe o escoo più da questa striscia v. fig. 3.2). Da questa osservazioe risulta chiaramete che: ogi successioe covergete è limitata. Esempi Mostriamo che lim =1cosa che si può facilmete sospettare osservado 1 l adameto della successioe). Delle due disuguagliaze 1 ε< +1 1 < 1+ε quella di siistra è sempre soddisfatta, metre quella di destra èsoddisfatta per > 2+ε ε Fissato ε>0, basterà scegliere N =2+ε)/ε o uguale al primo itero > 2 + ε)/ε) per soddisfare la codizioe richiesta dalla defiizioe di limite.

5 c Successioi Per mostrare che 2 1/ 1per,sistudiao le disuguagliaze 1 ε<2 1/ < 1+ε Quella di siistra è sempre soddisfatta; quella di destra, prededo il logaritmo i base 2) di ambo i membri, si scrive 1 < log 21 + ε) ed èsoddisfatta se >1/ log ε). Si sceglie perciò N =... No risultao covergeti ivece le prime due successioi dell esempio 1.1. Esse soo però molto diverse tra loro e coviee itrodurre defiizioi che e mettao i risalto la differeza. Successioi divergeti. Successioi irregolari Defiizioe 3.4 Quado, al crescere di, ua successioe supera defiitivamete qualuque umero M>0fissato, diremo che diverge a + ; seivece scede al di sotto di M,diremo che diverge a. Il simbolo si legge ifiito ). Diremo ei due casi, rispettivamete, che + e soo i limiti della successioe e scriveremo, rispettivamete,: lim a =+ oppure lim a =. + + Questi simboli, + e, o soo umeri. Se rappresetiamo i umeri reali sulla retta euclidea, ogi umero corrispode a u puto e ogi puto a u umero. Co i simboli + e coveiamo di idicare due puti, uo + ) sta alla destra di ogi puto di R e l altro ) alla siistra; a questi due puti o corrispode però alcu umero i altre parole, o possiamo defiire sui simboli + e le operazioi di somma e prodotto co le proprietà idicate i R 1 e R 2, ache se, come vedremo, potremo fare parzialmete queste operazioi). L isieme dei umeri reali R co l aggiuta dei due elemeti {+ } e { } sarà idicato co R R = R { } {+ } Possiamo rappresetare visivamete l isieme R mettedo i corrispodeza biuivoca fig. 3.3) i puti della retta co quelli di ua semicircofereza, proiettado questi ultimi dal cetro C sulla retta R: Ai puti A e B o corrispode su R alcu puto; diremo che { } èilcorrispodete del puto A e {+ } il corrispodete di B. L operazioe di limite risulta completamete sigificativa se ambietata i R ivece che i R; cioè illimite di ua successioe può essere u umero reale l oppure + oppure ; lesuccessioi il cui limite èuumero reale si dicoo covergeti, quelle il cui limite è + oppure si dicoo divergeti. Lasuccessioe caoica {} degli iteri aturali evidetemete diverge a + ; così pure la successioe {2 }. Ifie osserviamo che ci soo successioi che o ricadoo i essua delle categorie { precedeti, } cioè o soo covergeti é divergeti; per esempio la successioe 1) oppure { 2) } si oti che la prima è limitata e la secoda o). Tali successioi si dirao irregolari o idetermiate. Per esse l operazioe di limite o è defiita, ovvero il loro limite o esiste.

6 92 Capitolo 3. Limiti e cotiuità c A C B... + P Q P O Q IR Figura 3.3. Isiemi o limitati È comodo adottare la covezioe itrodotta per i limiti ache per il sup e per l if, estededo la defiizioe di queste quatità el modo seguete: Defiizioe 3.5 Se l isieme E R o è limitato superiormete iferiormete) diremo che sup E =+ if E = ). I questo modo la proprietà R 4 dei umeri reali può essere euciata così: ogi isieme E R o vuoto è dotato di estremo superiore e iferiore; sup E if E) è u umero se E è limitato superiormete iferiormete), altrimeti è+ ). Ifiitesimi e ifiiti Ua successioe a tedete a zero si dice ifiitesima. Adesempio, soo ifiitesime le successioi { 1 }, { 1 2 },... Il cocetto di ifiitesimo gioca u ruolo cetrale ed è fodametale ache per avere u immagie ituitiva corretta ed efficace dei cocetti del calcolo ifiitesimale. Vedremo el par. 2 che il cocetto di ifiitesimo el cotiuo cioè parlado di fuzioi) sarà perfettamete aalogo. L idea chiave a cui prestare attezioe è la seguete: ifiitesimo o è u umero ifiitamete piccolo cocetto privo di seso, se o si vuole che deoti semplicemete il umero 0) ma ua quatità variabile successioe o, come vedremo, fuzioe), che diviee idefiitamete piccola. Aalogamete, ua successioe a tedete a ± si dice ifiita. Adesempio, { 2}, {!} soo ifiiti. Talvolta è possibile precisare se ua successioe covergete si avvicia al suo limite per eccesso o per difetto. Questo cocetto è precisato dalla prossima

7 c Successioi 93 Defiizioe 3.6 difetto), e si scrive Si dice che la successioe {a } tede a l R per eccesso per lim + a = l + oppure a l + per + rispettivamete: lim a = l oppure a l per + ) + se per ogi ε>0sihache 0 a l<εdefiitivamete rispettivamete: 0 l a <εdefiitivamete). I sostaza, dire che a l + sigifica affermare che a l e ioltre a l defiitivamete; duque a si avvicia ad l da sopra, ossia approssima l per eccesso. Si rifletta sui prossimi esempi: Esempi lim + =0+ ; 1.6 lim + +1 =1 ; 1.7 1) lim =0, + ma i questo caso o si può affermare é chea 0 + échea Successioi mootoe Defiizioe 3.7 Ua successioe {a } si dirà: mootoa crescete se a a +1 ; strettamete crescete se a <a +1 ; mootoa decrescete se a a +1 ; strettamete decrescete se a >a +1. Per esempio, la successioe { 2 } è mootoa strettamete crescete, la successioe { 1 } è mootoa strettamete decrescete, la successioe { 1) } o è mootoa; ogi successioe costate è mootoa crescete o decrescete, o strettamete). Riguardo all operazioe di limite, queste successioi hao ua importaza particolare; ifatti esse o soo mai irregolari, ma soo covergeti oppure divergeti a secoda che siao limitate oppure o. Il risultato fodametale è il seguete: Teorema 3.1 di mootoia) Sia {a } ua successioe mootoa crescete e superiormete limitata. Allora {a } ècovergete, e il suo limite è uguale a sup {a : N}. Aalogamete, se {a } ua successioe mootoa decrescete e iferiormete limitata, allora {a } ècovergete, e il suo limite è uguale a if {a : N}.

8 94 Capitolo 3. Limiti e cotiuità c Ricordiamo che il simbolo sup {a : N} deota l estremo superiore dell isieme dei valori a assuti dalla successioe. Dimostrazioe. Cosideriamo l isieme dei valori assuti dalla successioe, {a : N}. Poiché lasuccessioe è limitata superiormete, questo isieme è limitato superiormete, quidi per la proprietà dell estremo superiore di cui gode R) esiste il suo estremo superiore, Λ=sup {a : N}, Λ R. Proviamo ora che lim a =Λ. Occorre mostrare che per ogi ε>0siha Λ ε<a < Λ+ε defiitivamete. La secoda disuguagliaza èovvia: per ogi è a Λequidi a < Λ+ε), perché Λè l estremo superiore degli a, quidi i particolare èumaggiorate dell isieme dei valori a.per provare la prima disuguagliaza, cosideriamo il umero Λ ε. Ricordiamo che per defiizioe di estremo superiore, Λ èilmiimo dei maggiorati dell isieme {a : N}. Perciò, essedo Λ ε <Λ, certamete Λ ε o èumaggiorate dell isieme {a : N}. Questo sigifica che esiste u 0 per cui a 0 > Λ ε. D altro cato la successioe è mootoa crescete, perciò per ogi 0 risulta a a 0. Abbiamo quidi provato che a a 0 > Λ ε per ogi 0, ossia defiitivamete. Quidi lim a =Λfig 3.4). Λ Λ ε a 0 Figura 3.4. Per esprimere ache simbolicamete che il limite è il sup o l if) di ua successioe crescete o decrescete) si usa la otazioe di evidete sigificato): a l oppure a l. Questo i particolare implica che a l rispettivamete, l + ), ma cotiee ua ulteriore iformazioe: la mootoia della successioe. Questo teorema è ua cosegueza dell assioma di cotiuità R 4 dei umeri reali v. cap. 1, par. 5) e pertato vale se l ambiete che cosideriamo è R. Adesempio, o

9 c Successioi 95 è vero che ua successioe crescete e limitata di umeri razioali ammette sempre limite razioale, cioè i Q. Esempio 1.8 Sia {a } la successioe così defiita: a 0 =0 a 1 =0, 1... a 2 =0, 1011 a 3 =0, a 4 =0, e così via. Al passo si aggiuge al umero decimale otteuto al passo precedete ua cifra zero seguita da cifre uguali a 1). La successioe {a } è evidetemete crescete, e superiormete limitata ad esempio, a 1). I R, la successioe coverge al umero sup {a : N}, che dopo la virgola preseta u allieameto decimale illimitato e o periodico di cifre ua cifra 1, ua cifra 0, due cifre 1, ua cifra 0, tre cifre 1, ua cifra 0, e così via all ifiito). Quidi il limite della successioe èuumero irrazioale. Quest esempio mostra che ell isieme Q il teorema di mootoia è falso. Vedremo i seguito che il teorema di mootoia sarà utilizzato per dimostrare importati proprietà delle fuzioi cotiue. Questo teorema quidi costituisce ua delle motivazioi per cui è utile studiare l aalisi matematica ell ambiete dei umeri reali, aziché i quello dei umeri razioali. Il teorema di mootoia si può completare co il prossimo euciato, che cosidera successioi limitate o illimitate: Corollario 3.2 Sia {a } ua successioe mootoa crescete. Allora esiste lim a = sup {a : N}. Esplicitamete: se {a } è superiormete limitata, allora coverge e il suo limite è uguale all estremo superiore dei suoi valori, che i questo caso è u umero reale); se ivece {a } è superiormete illimitata, allora a tede a + che i questo caso è pari all estremo superiore dei suoi valori). Si può ache dire, siteticamete: ua successioe mootoa, coverge o diverge o può essere irregolare). Dimostrazioe. Se {a } è superiormete limitata, l euciato è coteuto el teorema di mootoia. Se ivece {a } è superiormete illimitata, questo sigifica che per ogi K>0 esiste u 0 tale che a 0 >K.D altro cato la successioe è crescete, perciò per ogi 0 si ha a a 0 >K.Abbiamo quidi provato che per ogi K>0è a >Kdefiitivamete. Questo sigifica che a +.

10 96 Capitolo 3. Limiti e cotiuità c Esempio 1.9 Successioe geometrica) Sicosideri la progressioe geometrica di ragioe q, {q } cfr. cap. 1, paragrafo 2): 1,q,q 2,q 3,...,q,... Se q>1lasuccessioe è mootoa crescete, illimitata superiormete. Se q =1la successioe è costate. Se 0 <q<1, la successioe è mootoa decrescete; è facile mostrare che tede a zero. Se q è egativo la successioe o èpiùmootoa. Lo studete verifichi le segueti affermazioi: + se q>1 lim + q = 1 se q =1 0 se q < 1 o esiste se q Il calcolo dei limiti I questo paragrafo passeremo i rassega i teoremi basilari sul calcolo dei limiti. Le dimostrazioi si basao sulla defiizioe di limite, sull uso di disuguagliaze, e sull uso di proprietà defiitivamete vere. I particolare, questi teoremi illustrao la relazioe tra l operazioe di limite e le strutture algebriche e d ordie preseti i R. Comiciamo ad esamiare le proprietà dell operazioe di limite rispetto alle operazioi algebriche. Quado il limite esiste fiito, si dimostra u risultato semplice e aturale: l operazioe di limite commuta co queste operazioi, cioè: Teorema 3.3 Algebra dei limiti) Se a a e b b allora a ± b a ± b a b ab a b a b b,b 0) a b a b a,a>0) Dimostrazioe. Proviamo ad esempio che: Fissiamo ε>0 e cosideriamo: a a, b b a + b a + b. a + b ) a + b) = a a)+b b) a a + b b per la disuguagliaza triagolare, cap.1, par. 4.3). Poiché per ipotesi a a e b b, si ha che a a <εe b b <εdefiitivamete,

11 c Successioi 97 perciò cocludiamo che a + b ) a + b) < 2ε defiitivamete, quidi a + b a + b. Proviamo ora: a a, b b a b ab Fissiamo ε>0. Usado acora la disuguagliaza triagolare si ha: a b ab = a b b)+b a a) a b b) + b a a) = a b b + b a a a b b + b a a. Poiché a a, a a <εdefiitivamete; ioltre a < a + ε defiitivamete; poiché b b, b b <εdefiitivamete. Quidi: a b ab < a + ε) ε + b ε<ε cost. defiitivamete. Per l arbitrarietà di ε segue la tesi. Tralasciamo le dimostrazioi degli altri due casi. L operazioe di limite matiee ioltre l ordiameto cioè: Teorema 3.4 di permaeza del sego, 1 a forma) Se a a e a>0 a < 0) allora a > 0 defiitivamete a < 0 defiitivamete). Dimostrazioe. Fissato ε>0, per defiizioe di limite abbiamo che che riscriviamo ella forma: a a <εdefiitivamete, a ε<a <a+ ε defiitivamete. Poiché a > 0, possiamo scegliere ε > 0 i modo che sia ache a ε > 0, allora la disuguagliaza a ε<a mostra che a > 0 defiitivamete. I modo aalogo si dimostra il caso a<0. Teorema 3.5 di permaeza del sego, 2 a forma) Se a a R, ea 0 defiitivamete, allora risulta a 0. Più i geerale: se a a, b b e a b defiitivamete, allora a b. Dimostrazioe. Segue dal teorema precedete. Ifatti, se per assurdo fosse a<0, dal teorema precedete si avrebbe a < 0 defiitivamete, il che è icompatibile co l ipotesi che sia a 0 defiitivamete. Questo dimostra la prima affermazioe del teorema. Applicado ora questa proprietà alla differeza a b si ottiee ache la secoda affermazioe. Ifatti: a b defiitivamete = a b 0 defiitivamete, epoiché a b a b teorema sull algebra dei limiti), si coclude a b 0, ovvero a b.

12 98 Capitolo 3. Limiti e cotiuità c L ultima relazioe sigifica che i ua disuguagliaza tra due successioi si può passare al limite ad ambo i membri, mateedo il sego. Sioti che i geerale, ivece, el passaggio al limite o si coserva il sego di disuguagliaza stretta: ad esempio, ache se gli a soo strettamete positivi, il loro limite a èpositivo o ullo, come mostra il semplice esempio di 1 0. È utile ache la seguete proposizioe: Teorema 3.6 del cofroto) Se a b c defiitivamete e allora ache b l. a l, c l R, Dimostrazioe. Fissiamo ε>0. Allora defiitivamete si ha l ε<a <l+ ε; l ε<c <l+ ε da cui segue defiitivamete) l ε<a b c <l+ ε e quidi, defiitivamete, l ε<b <l+ ε Duque b l. Casi particolari di questo teorema che si usao frequetemete soo espressi dal prossimo corollario, molto utile quado si studia il prodotto tra ua successioe oscillate ma limitata) e ua che tede a zero: Corollario Se b c defiitivamete e c 0, allora ache b Se c 0 e b è limitata ma o ecessariamete covergete), allora c b 0. Detto a parole: il prodotto di ua successioe ifiitesima e ua limitata è ifiitesimo. Dimostrazioe. 1. Sappiamo che defiitivamete è c b c ; d altro cato se c 0 ache c 0, quidi per il teorema precedete co a = c e l =0)sihacheb Se b è limitata, ossia b K per ucerto K>0eper ogi, possiamo scrivere b c K c. Poiché c 0, ache K c 0, eper il puto 1 si coclude che b c 0. Esempi 1.10 Applicado la defiizioe si dimostri che + se α>0 α 1 se α =0 0 se α<0 Ifatti, se α>0, fissato M>0 risulta α >M per >M 1/α ;perciò α + ; seα<0, scrivedo α =1/ α,siosserva che 1/ α <εper α > 1/ε ossia per >1/ε 1/ α, cioè defiitivamete.

13 c Successioi Limiti che si presetao ella forma di rapporto di due espressioi, ogua costituita dalla somma di poteze di : 5/ Si mette i evideza a umeratore come a deomiatore la poteza maggiore...= 5/ / /2 ) /2 3 ) = / / /2 3 Ora per il teorema sull algebra dei limiti e sapedo che poteze egative di tedoo a zero possiamo affermare che: ; 1 + 3/2 5/2 3 5/2 1. Pertato la successioe tra paretesi tede a 1; d altro cato 1 0, perciò lasuccessioe di parteza tede a zero. si La successioe èilprodotto di 1 covergete) e si irregolare); quidi il teorema sull algebra dei limiti o è applicabile. Tuttavia è applicabile l ultimo corollario: la successioe 1 si è ifiitesima metre si 1, perciò 0. Fi qui abbiamo visto teoremi che operao su coppie di successioi etrambe covergeti o comuque limitate. Cosideriamo ora il caso i cui i limiti soo + o. Suppoiamo, per esempio, che a a e b + ; allora è facile e ituitivo) vedere che a + b +. Abbrevieremo questa scrittura così: a + =+. Ragioado i maiera aaloga possiamo compediare le regole per il limite della somma o differeza) di due successioi delle quali ua o etrambe soo divergeti co le scritture segueti: a + =+ a = + + =+ = Aalogamete per il prodotto o il rapporto) abbiamo le regole segueti; il sego di va determiato co la usuale regola dei segi: a = a 0) a = 0 a 0) a =0 Esplicitamete, la secoda regola scritta sigifica ad esempio quato segue: se a a>0eb 0 +, allora a b +..

14 100 Capitolo 3. Limiti e cotiuità c I modo aalogo si procede, i base alla regola dei segi, se a<0ob 0 ;è comuque ecessario, per applicare questo teorema, sapere che b tede a zero per eccesso o per difetto. Le precedeti regole predoo il ome di aritmetizzazioe parziale del simbolo di ifiito. Dimostrazioe. Proviamo ad esempio che: a +,b b R b 0. a Fissiamo ε>0. Poiché a +, defiitivamete si ha Poiché b b, defiitivamete si ha Ne segue che defiitivamete b a Per l arbitrarietà di ε, segue la tesi. a > 1 ε b < b + ε <ε b + ε) <ε cost. Lo studete oterà che macao le regole relative a quattro operazioi, e cioè 0 +, 0, 0, Queste espressioi si chiamao forme di idecisioe, poiché essua regola può essere stabilita a priori per determiare il risultato, come vedremo egli esempi sotto illustrati. Le regole sopra elecate e la macaza di regole per le forme di idecisioe) cofermao la atura particolare dei puti + e, che o possoo essere cosiderati umeri poiché o rispettao le proprietà R 1 e R 2 del capitolo 1 paragrafo 3. Esempio : forma di idecisioe del tipo +. Moltiplicado e dividedo per +1+ 1sitrova ) ) = = Limiti di successioi che si presetao ella forma a b si trattao più facilmete cosiderado la successioe dei logaritmi per fissare le idee, i base 10) log 10 a b = b log 10 a Si mostra che cfr. ache più avati, al capitolo 4 paragrafo 3.3) se questa successioe coverge a l, diverge a +,, oè idetermiata, la successioe a b, rispettivamete, coverge a 10 l,+, 0,è idetermiata. Si può così osservare che le espressioi 1 ± ) 0 soo altrettate forme di idecisioe, corrispodeti passado al logaritmo) alla forma di idecisioe 0.

15 c Successioi Il umero e Itrodurremo ora u umero molto importate per l Aalisi, che sarà defiito come limite di ua particolare successioe. Comiciamo a dimostrare il seguete risultato: Teorema 3.8 La successioe a = 1+ 1 ) ècovergete. Si osservi che questa successioe preseta ua forma di idecisioe 1. Dimostrazioe. Si proverà che la successioe è mootoa crescete a +1 >a e limitata: 2 a < 4 eperciò è covergete, per il Teorema di mootoia par. 1.2). Per provare che a è mootoa crescete, studiamo, per 2, il rapporto: ) a ) = ) a 1 = ) 1 = ) ) = ) 1 = ) = = ) =1, 2 1 dove ell ultima disuguagliaza scritta si è applicata la disuguagliaza di Beroulli v. cap.1, par. 7) 1 + x) 1+x a a 1 co x = 1. Questo mostra che 1, ossia a 2 a 1, elasuccessioe è mootoa crescete. I particolare, essedo a 1 =2,segue a 2 1. Cosideriamo ora la successioe b = 1+ 1 ) +1. Si oti che b = a 1+ 1 ), perciò b >a. Co calcoli simili a quelli appea svolti lasciamo i dettagli al lettore), si mostra che che b b 1. Poiché b 1 =4,risulta quidi e a è limitata. a <b b 1 =4, 1,

16 102 Capitolo 3. Limiti e cotiuità c Il limite della successioe a appea studiata èuumero irrazioale) molto importate i matematica, per varie ragioi che vedremo; esso viee idicato co la lettera e umero di Nepero) e la sua rappresetazioe decimale iizia così: 2, Duque, per defiizioe, e = lim ) Questo umero viee molto spesso usato come base dei logaritmi, i quali, quado si usa questa base, vegoo detti aturali o eperiai dal ome del matematico Joh Napier) e idicati semplicemete col simbolo log oppure l) seza idicazioe della base. Il umero di Nepero e u problema... fiaziario Suppoiamo di possedere u capitale per esempio, 1 milioe di euro) e di ivestirlo al tasso di iteresse auale t cioè co ua redita di t milioi all ao). Se l iteresse viee pagato aualmete, dopo u ao il capitale posseduto sarà 1 + t. Sel iteresse viee calcolato mesilmete avremo: dopo il primo mese u capitale pari a 1+ t t ; dopo il secodo mese, pari a dopo il terzo mese, pari a 1+ t ) 2 t t t 1+ t ) = 1+ t ) 2; ) 3; alla fie dell ao ) 2 = 1+ t 12 avremo u capitale pari a 1+ t ) Se l iteresse viee calcolato ogi -esimo di ao, avremo alla fie u capitale pari a 1+ t ) Per t = 1redita del 100%!) otteiamo esattamete la successioe che defiisce e. Far tedere a sigifica calcolare l iteresse dopo frazioi di ao sempre più piccole fio ad arrivare a calcolarlo co cotiuità. Il capitale che si ottiee alla fie dell ao i quest ultimo caso è esattamete pari a e. Ua volta defiito il umero e come e = si può dimostrare che risulta ache: lim 1+ 1, + ) 1.3) e = lim ) Ioltre, a partire dalle due relazioi precedeti, si può provare il seguete

17 c Successioi 103 Teorema 3.9 Sia {a } ua qualsiasi successioe divergete a + o ). Allora esiste lim 1+ 1 ) a = e. + a Ua traccia per la dimostrazioe della 7.14) e di questo teorema sarà forita ei Complemeti alla fie del par. 1). Quest ultimo teorema si rivela estremamete utile el calcolo di limiti che coivolgoo la forma di idetermiazioe [1 ]. Esempio 1.14 Calcoliamo ) 5 lim Si tratta di ua forma di idetermiazioe [1 ]. Scriviamo: ) 5+1 = ) 5+1 = [ ) ] 35+1) 3 1 [ ) a ] b 1+ 1 a co a =.Per il teorema precedete, la successioe etro paretesi quadre tede ad e, 3 metre l espoete 35 +1) b = 15 perciò illimte cercato è1/e 15. Altre situazioi di questo tipo sarao illustrate egli esercizi alla fie del par Cofroti e stime asitotiche Abbiamo visto che ua successioe che tede a 0 è u ifiitesimo; ua successioe che diverge a +, a ) si dice ifiito. Quado due successioi soo etrambe ifiitesimi o etrambe ifiiti, è utile poter stabilire u cofroto tra di esse, per capire quale delle due teda più rapidamete a 0 o all ifiito. Esempi di ifiiti soo le successioi segueti: {log } { } { 2 } {2 } Esempi di ifiitesimi si ottegoo dalle successioi precedeti cosiderado gli elemeti reciproci. Siao {a } e {b } due ifiiti. Cosideriamo il limite del rapporto a /b ;sihao quattro possibilità: 0 i) a lim = b l fiito e 0 ii) ± iii) iesistete iv)

18 104 Capitolo 3. Limiti e cotiuità c Diciamo che: i) {a } èuifiito di ordie iferiore a {b } ii) {a } e {b } soo ifiiti dello stesso ordie iii) {a } èuifiito di ordie superiore a {b } iv) {a } e {b } o soo cofrotabili. Se {a } e {b } soo due ifiitesimi e b è defiitivamete 0), acora si cosidera il limite del rapporto a /b e, i corrispodeza delle 4 possibilità sopra elecate, diremo che: i) {a } èuifiitesimo di ordie superiore a {b } ii) {a } e {b } soo ifiitesimi dello stesso ordie iii) {a } èuifiitesimo di ordie iferiore a {b } iv) {a } e {b } o soo cofrotabili. Il caso a b 1è particolarmete importate: si usa dire, i tal caso, che le due successioi {a } e {b } soo asitotiche e, per idicare questa circostaza, si scrive a b si legge: a è asitotico a b ). Il simbolo di asitotico è molto utile el calcolo dei limiti per le segueti proprietà che si verificao i base alla defiizioe): Proposizioe Se a b,ledue successioi hao lo stesso comportameto: covergoo allo stesso limite, o divergoo etrambe a ±, o etrambe o hao limite. 2. Si possoo scrivere catee di relazioi asitotiche, cioè: se a b... c, allora a c 3. U espressioe composta da prodotto o quoziete di più fattori può essere stimata fattore per fattore: se a a,b b,c c, allora a b c a b c Dimostrazioe. 1. Dimostriamo la prima affermazioe: se a b,ledue successioi hao lo stesso comportameto. Sia a l R; poiché b = b a a e b a 1per defiizioe di asitotico), allora per il teorema sul limite del prodotto b 1 l = l. Lo stesso teorema el caso di limite ifiito) permette di cocludere che se a ± e b a, ache b ±. Osserviamo ora che la relazioe di asitotico è simmetrica, quidi quato appea provato mostra ache che se b coverge diverge), ache a coverge

19 c Successioi 105 diverge). Ne cocludiamo che se a è irregolare, ache b è irregolare, perché seper assurdo o lo fosse, per quato appea affermato ache a sarebbe covergete o divergete. 2. Proviamo la trasitività della relazioe di asitotico: se a b e b c allora a c. Le ostre ipotesi sigificao che a 1e b 1. b c Allora per il teorema sul limite del prodotto, a c Aalogamete si prova la terza proprietà. = a b b c 1. Attezioe: lo stesso o vale per lesomme o per l espoeziale. U tipico modo per mostrare che a b cosiste ello scrivere a = b c co c 1. Ad esempio: = ) perché ) 1. OSSERVAZIONE Il fatto che la relazioe di asitotico soddisfi le 3 proprietà: 1. riflessiva: a a ; 2. simmetrica: se a b allora b a ; 3. trasitiva: se a b e b c allora a c si esprime dicedo che asitotico è ua relazioe di equivaleza. Si oti che le prime due proprietà soo immediate, metre la terza è stata dimostrata sopra). Più i geerale, i matematica si chiama relazioe d equivaleza ua relazioe che soddisfa i 3 assiomi ora euciati. Mostriamo ora il seguete: Teorema 3.10 Gerarchia degli ifiiti) per ogi a>1,α>0. log lim a + lim + α =0 α a =0 Questi limiti descrivoo la velocità co cui i logaritmi co base > 1), le poteze, gli espoeziali co base > 1) vao all : i logaritmi vao più letamete di qualsiasi poteza, le poteze più letamete di qualsiasi espoeziale a base > 1.

20 106 Capitolo 3. Limiti e cotiuità c Dimostrazioe. Per dimostrare la prima relazioe, iiziamo a stabilire u utile disuguagliaza tra u qualsiasi umero reale positivo e il suo logaritmo. Per x R,x > 0, sia k la parte itera di x v. cap. 2, par. 3.6), ossia l itero k 0percui è k x<k+1. Si ha: 2 x 2 k =1+1) k 1+k>x dove: la prima disuguagliaza segue dalla mootoia della fuzioe espoeziale, la secoda dallo sviluppo del biomio di Newto o dalla disuguagliaza di Beroulli). Passado ai logaritmi i base a, otteiamo log a x<xlog a 2 per ogi x>0. Applichiamo ora questa disuguagliaza al umero x = α/2 e abbiamo: α 2 log a <α/2 log a 2 e quidi log a α/2 < 2 α log a 2 log a α = log a α/2 1 α/2 2 α log a 2 1 α/2. Per ilteorema del cofroto, log a 0, elaprima relazioe è dimostrata. α Applichiamo ora questo risultato sostituedo all itero l itero 2. Avremo: log 0= lim a 2 ) log 2 ) α = lim a 2 2 α ). Se ora a>1è fissato, scegliedo α>0imodoche sia 2 α = a otteiamo che 0, che a èlasecoda relazioe el caso particolare i cui è elevato ad espoete 1. Il caso geerale segue dall idetità: α ) ) α α a = = a /α a α ). Ifatti per il risultato precedete 0 la base a α è acora u umero > 1), quidi ) a α ) α ache a α ) 0. Altri cofroti tra ifiiti si possoo risolvere grazie al seguete criterio: Teorema 3.11 Criterio del rapporto) Sia a ua successioe positiva cioè a > 0 per ogi ). Se esiste a +1 lim = l a e l<1, allora a 0; se l>1 ed evetualmete l =+ ), allora a +. Il teorema precedete ricoduce lo studio del carattere di ua successioe positiva, a,alcalcolo del limite di u altra successioe, la successioe dei rapporti), a+1 a. I certi casi quest ultima èpiùsemplice da studiare di quella di parteza, come vedremo egli esempi. Si osservi che el caso l =1il teorema o permette di cocludere ulla. Dimostrazioe. Suppoiamo che a +1 l<1. a

21 c Successioi 107 Fissato ε>0, defiitivamete, ossia per ogi 0 co 0 opportuo) si ha a +1 a <l+ ε. Scegliamo ε abbastaza piccolo perché si abbia l + ε < 1. Possiamo scrivere la catea di disuguagliaze: a 0 +1 < l + ε) a 0 ; a 0 +2 < l + ε) a 0 +1 < l + ε) 2 a 0... a 0 +k < l + ε) k a 0. Poiché l + ε) < 1, si ha l + ε) k 0perk. D altro cato a 0 è fissato; duque per k abbastaza grade il secodo membro e quidi il primo) è piccolo quato si vuole, il che dimostra che a 0. Suppoiamo ora che a +1 a l>1. Fissato ε>0, defiitivamete si ha a +1 a >l ε. Scegliamo ε abbastaza piccolo perché siabbia l ε > 1. Aalogamete a prima, possiamo otteere la disuguagliaza: a 0 +k > l ε) k a 0 per ucerto 0 fissato e qualsiasi k. Poiché l ε) > 1equidi l ε) k +, si coclude che a +. Esempi 1.15 Dimostriamo che b lim =0per ogi b>0.! Applichiamo il criterio del rapporto alla successioe a = b.siha:! a +1 = b+1 a + 1)!! b = b Per ilcrietrio del rapporto allora, b 0. Abbiamo quidi otteuto u uovo caso ella! gerarchia degli ifiiti Si provi a calcolare log lim col criterio del rapporto, osservado che il metodo fallisce. Ecco alcui esempi di come si applicao tutte le osservazioi precedeti per risolvere alcue forme di idetermiazioe. Quado avremo studiato u certo umero di limiti otevoli par. 3.3) potremo risolvere mediate stime asitotiche situazioi più complesse di queste. Esempi [ ] lim = ) 3 Cosiderado solo le poteze di grado massimo a umeratore e deomiatore, possiamo scrivere: ) = epertato la successioe tede a 2/5.

22 108 Capitolo 3. Limiti e cotiuità c [ ] lim = èuifiito di ordie superiore rispetto ad ; possiamo scrivere quidi: 2 + =2 1+ ) 2 2 perché 2 0, e quidi 1+ 2 ) 1. Pertato eillimite è = lim [ = 0 ] + Scriviamo Usado il cofroto di ifiiti, log = 1/ = e log 1/ = e log. 0, e quidi si deduce lim = e 0 = ! [ ] lim =. Applicado il criterio del rapporto, cosideriamo: a +1 a = + 1)! +1 +1)! = +1) +1) +1) = ) = ) 1 e < 1, dove ell ultimo passaggio si è usata la defiizioe di e; perciò a 0. Abbiamo quidi provato che! èuifiito di ordie iferiore rispetto a. Esercizi.1 Dare esempi di ifiiti di ordie iferiore a {log } ediordie superiore a {2 }..2 Provare che log +1) log.3 Calcolare a +1 lim + a per lesegueti successioi: a = a =! a =2 a = 2.4 Dare ua stima asitotica delle segueti successioi, mediate ua successioe più semplice, e calcolare quidi il limite: si + log 2 log + log 3! 1)! + 2)!

23 c Successioi Lo studete, utilizzado ua ormale calcolatrice tascabile o u PC, calcoli Troverà, per esempio 1+1/) Cerchi di spiegare la ragioe..6 U altro esempio: il limite ). lim 2 +1 ) + si preseta sotto la forma di idecisioe. Moltiplicado e dividedo l espressioe per tale limite prede la forma lim = 1 2 Se si usa ua calcolatrice per il calcolo del limite si ottiee per esempio) 2 +1 ) / 2 +1+) Spiegare la ragioe del diverso risultato..7 Calcolare i limiti, per +, delle successioi segueti: ) log +1) log ) 1+ 1 ) 1+ 1 ) COMPLEMENTI 1 Dimostrare il teorema sul limite del quoziete: se a a, b b, allora a b purché b,b 0. Suggerimeto: per maggiorare a b a b fare deomiatore comue; ora il umeratore si maggiora i modo simile a quello visto ella dimostrazioe del teorema sul limite del prodotto; per ildeomiatore occorre ivece dimostrare che, ad esempio, b b /2 defiitivamete, epoi... ) a b

24 110 Capitolo 3. Limiti e cotiuità c Dimostrare le relazioi che abbiamo chiamato aritmetizzazioe parziale di ifiito, ei casi che o soo stati dimostrati. 3 Dimostrare che i valori assuti dalla successioe si soo tutti diversi tra loro, ossia che, m N, m implica si si m. 4 Provare che lim 1 1 ) = e + Suggerimeto: ) ) 1 1 = 1 =...; ricodursi al limite che defiisce e). 5 Provare il Teorema 3.9 euciato el par. 1.4, ad esempio el caso a +. Suggerimeto: detta [a ]laparte itera di a, provare azitutto le disuguagliaze: ) [a] ) a 1+ 1 ) [a]+1. [a ]+1 a [a ] Quidi ) sfruttado opportuamete il fatto che [a ]èitero, ricodursi al limite già oto di Dimostrare la proprietà 3 del simbolo di euciata el paragrafo 1.5 Proposizioe 3.1), usado la defiizioe di asitotico e di limite. 7 Si faccia u esempio di due successioi a,b tedeti a +, per cui si ha: a b ma e a o asitotico a e b. Duque il simbolo di asitotico o si può usare co gli espoeziali come si userebbe ei prodotti o quozieti. Suggerimeto: scegliere come a la somma di due ifiiti di tipo diverso). 2 LIMITI DI FUNZIONI, CONTINUITÀ, ASINTOTI L operazioe di limite si può estedere dalle successioi alle fuzioi. Potremo così precisare il comportameto di ua fuzioe quado la variabile idipedete si muove vicio a u determiato puto oppure diveta molto grade i valore assoluto). I questo paragrafo itrodurremo i cocetti fodametali riguardati i limiti e la cotiuità di fuzioi; el prossimo paragrafo 3 svilupperemo i teoremi e gli strumeti che permetterao il calcolo effettivo dei limiti; ifie, el paragrafo 4 approfodiremo lo studio delle proprietà delle fuzioi cotiue, icotrado alcui dei più sigificativi teoremi dell aalisi delle fuzioi di ua variabile. Nei capitoli successivi, mediate l operazioe di limite itrodurremo i cocetti di derivata, di differeziale e di itegrale per ua fuzioe reale di variabile reale. Cosideriamo come caso tipico u itervallo I, uputo c I e ua fuzioe f avalori reali, defiita i I, salvo al più el puto c. L itervallo I può essere limitato o illimitato, chiuso o aperto; il puto c può essere itero all itervallo oppure uo dei suoi estremi evetualmete + o ). Prediamo ora ua qualuque successioe di puti x =1, 2,...), ell itervallo I e diversi da c, che teda a c, per +.