Esercizi sui limiti di successioni

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1 AM0 - AA 03/4 ALFONSO SORRENTINO Esercizi sui iti di successioi Esercizio svolto a) Usado la defiizioe di ite, dimostare che: + 3 si π cos e ) e b) 0 Soluzioe Comiciamo da a) Vogliamo dimostrare che: ε > 0 N ε N tale che N ε si ha Osserviamo che: Quidi: ) < ε < ε > 3 4ε 3 Basta scegliere u itero positivo N ε > 3 4ε 3 Dimostriamo ora b) Vogliamo dimostrare che: ε > 0 N ε N tale che N ε si ha Osserviamo che: Quidi: si e π cos ) > ε si e si e π cos ) si e Basta scegliere u itero positivo N ε > ε π cos ) π cos ) < ε < ε Esercizio svolto Verificare i segueti iti usado la defiizioe: a) ; b) + ) 0; c) + si 3 +cos 3 ;

2 ALFONSO SORRENTINO d) + si ) + Soluzioe a) Vogliamo dimostrare che per ogi ε > 0 esiste u N 0 N 0 ε) tale che per ogi N 0 : < ε Ifatti , { quidi basterà scegliere N 0 > max 5 ε 6, 0 } b) Vogliamo dimostrare che per ogi ε > 0 esiste u N 0 N 0 ε) tale che per ogi N 0 : < ε Osserviamo che + <, quidi sarà sufficiete scegliere N 0 > ε c) Vogliamo dimostrare che per ogi ε > 0 esiste u N 0 N 0 ε) tale che per ogi N 0 : si 3 + cos 3 < ε Osserviamo che: si 3 + cos 3 si + cos cos 3 si + cos cos quidi basta scegliere N 0 > , ε + 3 ) d) Vogliamo dimostrare che per ogi M > 0 esiste u N 0 N 0 ε) tale che per ogi N 0 : si > M Osserviamo che si > ) > ), quidi basterà scegliere N 0 > + M Esercizio svolto 3 Siao {a } e {b } due successioi tali che:

3 AM0 - AA 03/4 3 a) a > 0 per ogi N e + a ; b) b < per ogi N Dimostrare o cofutare le segueti affermazioi: i) Esiste + a + b ) ii) Esiste N tale che a b > 0 per ogi > N iii) Esiste N tale che a + b > 0 per ogi > N iv) Esiste K tale che Ka + b > 0 per ogi N Soluzioe i) Falso Ad esempio, basta cosiderare a e b ) La successioe a + b o ha ite i quato vale 0 per gli dispari e per gli pari ii) Vero Dal mometo che + a, possiamo dedurre che esiste N > 0 tale che < a < 3 > N Quidi, usado che b <, possiamo dedurre che: a b > 0 > N iii) Falso Basta scegliere a e b + Chiaramete queste due successioi soddisfao le ipotesi a) e b) I particolare: a + b + < 0 N iv) Procededo come i ii) possiamo dedurre che esiste N tale che se K > : Ka + b > 0 > N Rimae da cosiderare cosa succede per i primi N termii della successioe Se i,, N si ha useremo il fatto che a > 0 per ogi ): Ka i + b i > 0 K > b i a i { Quidi, basterà scegliere K > max, b a,, b a } Esercizio svolto 4 Sia {a } ua successioe di umeri reali diversi da zero) tali che + a 0 Dimostrare che: si a cos a e + a + a Soluzioe Iazitutto, osservare che se 0 < x < π, allora: vedere figura qui sotto) Di cosegueza: x si x cos x si x x ta x cos x si x x 0 < x < π

4 4 ALFONSO SORRENTINO Osserviamo che cos x e si x x soo etrambi fuzioi pari, quidi la disuguagliaza di sopra si può estedere ai valori di x π, 0) Riassumedo: cos x si x x π < x < π, x 0 Sia ora {a } ua successioe di umeri reali che tede a 0; quidi, esiste N 0 tale che a < π per > N 0 Di cosegueza: cos a si a > N 0 a Usado il teorema del cofroto possiamo cocludere che si a + a Per dimostrare il secodo ite, basta osservare che: + cos a a + cos a a + cos a + cos a cos a + a + cos a si a + a si a + a + cos a ) + + cos a Esercizio svolto 5 Calcolare i segueti iti: ) + e ) ) ) + 4) + log ) 5) + 4 3!

5 AM0 - AA 03/4 5 6) +!+ +)! 7) + A + B, co A, B > 0 8) ) 9) + π log 0) + 3 si + ) ) arcta π ) + siπ ) 3) + arcta +arcta ) 6 cos 4) + ta/)+ 5) + arcta + 6) + log ) 7) + 3 si 3 + ) 8) + arcta ) 9) + log 3 +) log 5 8) 0) + ) + ) + α cos )) per ogi α R ) + α e ) per ogi α R 3) + si 3 ) 3 + 4) + log+ α ) log ) α per ogi α R per ogi α R 5) + log+e ) α per ogi α R 6) α per ogi α R 7) + siα ) α per ogi α > 0 8) + α ) per ogi α R Soluzioe ) + ) 0 3) 4) +

6 6 ALFONSO SORRENTINO 5) 0 6) 0 7) max{a, B} 8) 9) π 0) + 3 ) π ) 0 3) 0 4) / 5) π 6) + 7) / 8) 9) 3/5 0) ) 0 per ogi α R ) se α < e + se α 3) 0 se α < 3, 3 se α 3 e + se α > 3 4) 0 se α 0 e α se α > 0 5) + se α <, se α e 0 se α > 6) se α <, / se α e 0 se α > 7) 0 se α e si) se α 8) + se α > 3/5, /5 se α 3/5 e 0 se α < 3/5 Esercizio svolto 6 Si cosideri la seguete successioe: { a0 a + + a for 0 Dimostrare che + a esiste e calcolarlo Soluzioe Comiciamo col dimostrare che la successioe è mootoa crescete, ie a + a per ogi N Dimostriamolo per iduzioe; la base dell iduzioe è verificata: a a 0 Suppoiamo che sia vero per e dimostriamolo per + : a + + a + + a a + Dimostriamo ora che la successioe è itata dall alto, ad esempio: a per ogi Dimostriamolo per iduzioe Per 0 è vero; suppoiamo che sia vero per e dimostriamolo per + : a + + a 3 < Quidi, la successioe {a } ammette ite fiito; sia l + a I particolare: a + + a for 0 l + l Ne segue che: l + l l l 0 l ± 5 Dal mometo che la successioe è positiva, possiamo dedurre che l + 5 e quidi a + 5 +

7 AM0 - AA 03/4 7 Esercizio svolto 7 Si cosiderio due successioi di umeri reali {a } e {b } tali che: a > b > 0, a + a+b b + ab, a +b Dimostrare che + a e + b esistoo e calcolarli Soluzioe Comiciamo col dimostrare alcue proprietà di queste successioi a) a > b > 0 per ogi Iazitutto, si verifica facilmete per iduzioe) che a e b soo sempre positivi Dimostriamo per iduzioe che a > b per ogi La base dell iduzioe ) è vera per ipotesi Suppoiamo che tale proprietà sia vera per e dimostriamolo per + : a + > b + a + b > a b a + b a + b ) > 4a b a + b + a b > 4a b a + b a b > 0 a b ) > 0 dove l ultima disuguagliaza è vera per ipotesi iduttiva b) a è mootoa decrescete Usado il fatto che b < a per ogi, otteiamo ifatti: a + a + b < a a c) I maiera simile si dimostra che b è mootoa crescete Usado il fatto che b < a per ogi, ifatti, otteiamo: b + a b > a b b a + b a + a Riassumedo, abbiamo dimostrato che per ogi : Possiamo cocludere che: a > a + > b + > b > 0 Esiste + a : α R Ifatti a è mootoa decrescete e itata dal basso da - per esempio - b Esiste + b : β R Ifatti b è mootoa crescete e itata dall alto da - per esempio - a I particolare: a + a + b α α + β α β, quidi i due iti coicidoo Cosiderado l altra relazioe ed usado che α β) o otteiamo purtroppo maggiori iformazioi: b + a b β αβ a + b α + β β β Vediamo com è possibile otteere maggiori iformazioi sul valore del ite Osserviamo ifatti che per ogi si ha: a + b + a + b a b a + b a b ;

8 8 ALFONSO SORRENTINO quidi il prodotto è costate e di cosegueza a b a b per ogi Possiamo quidi dedurre che: Cocludedo: α + a b a b α a b a b a b + + Esercizio aggiutivo Si cosideri la seguete successioe: { a α + for α 0 a + a ) + + for Calcolare + a Esercizio svolto 8 Teoremi di Cesaro) Sia {a } ua successioe di umeri reali i) Dimostrare che se + a L R {± }, allora + a k L ii) Dimostrare che se + a + a ) L R {± }, allora a L + iii) Se a > 0 per ogi N e + a L R {+ }, dimostrare che: a a L + a iv) Se a > 0 per ogi N e + + a L R {+ }, dimostrare che: a L + Soluzioe Dimostremo tutte le proprietà el caso L R L estesioe al caso L ± è lasciata come semplice) esercizio i) Per ipotesi + a L; fissato ε > 0, esisterà N ε tale che: Quidi per > N ε si ha: N ε a k + N ε L ε) Osserviamo che L ε if L ε a L + ε > N ε a k N ε Nε a k + N ε L + ε) a k 0, quidi: a k sup a k L + ε Questa disuguagliaza vale per ogi ε > 0, quidi si può cocludere che a k L + ii) Cosiderare la successioe b : a + a ed applicare il puto i)

9 AM0 - AA 03/4 9 iii) Cosiderare la successioe b : log a log L co la covezioe che log 0 ) Usado i) si ottiee: log L b k log a k log a k e di cosegueza: + a k L iv) Cosiderare la successioe b : a+ a ed applicare il puto iii) Esercizio svolto 9 Calcolare i segueti iti: + i) / +3 /3 ++ / + ii) +! iii) +! iv) + log! Soluzioe i) Applicare Esercizio 4 i) co a / Poiché +, si ottiee: + / + 3 /3 + + / + ii) Applicare Esercizio 4 iii) co a Poiché + +, si ottiee:! + iii) Osservare che: + +! +! Applicare Esercizio 4 iv) co a! Ifatti: a + + ) +! + a + + )! + ) + + e, + ) e di cosegueza esercizio 4 iv)) possiamo cocludere che: e! iv) Osservare che: + log! log! log k Applicado Esercizio 4 i)) co a log possiamo cocludere che: log! + +

10 0 ALFONSO SORRENTINO Esercizio svolto 0 Sia {a } ua successioe di umeri reali Verificare che a l a l e a + l Soluzioe [ ] Segue dalla defiizioe di ite che: I particolare: ε > 0 N ε N tale che a l < ε per ogi > N ε ε > 0 a l < ε per ogi > N ε ed i maiera simile ε > 0 a + l < ε per ogi > N ε a l + a + l + [ ] Segue dalla defiizioe di ite che: ε > 0 N ε N tale che a l < ε per ogi > N ε e ε > 0 M ε N tale che a + l < ε per ogi > M ε Scegliamo K ε : max{n ε, M ε + } Si verifica facilmete che: e di cosegueza: ε > 0 a l < ε per ogi > K ε a l + Esercizio aggiutivo Sia {a } ua successioe di umeri reali a) Se a è mootoa e + a l, allora + a l b) Se a e a + soo etrambe mootoe e + a + a ) 0, allora + a esiste a c) Se a e a + soo etrambe mootoe e + + a, allora + a esiste