L ultimo Teorema di Fermat

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1 L ultimo Teorema di Fermat L ultimo teorema di Fermat afferma che l equazioe x + y = z o può avere soluzioi itere di x + y = z co x, y, z > 2 e > 2 itero. La dimostrazioe di questa cogettura è stata sviluppata co successo da Wiles Adrew (docete alla Priceto Uiversity) el 1995 otteedo il prestigioso premio Wolf. Il docete o è riuscito a vicere la medeglia Fields solo perché el 1993 quado ha proposto la prima versioe a 40 ai c era u errore e solo due ai più tardi è stato i grado di mostrare la dimostrazioe corretta defiitiva. I questa sede vogliamo proporre ua possibile dimostrazioe alterativa o comuque u approccio diverso, più semplice alla dimostrazioe del teorema. Dato u qualuque umero itero positivo z è sempre possibile trovare altri due umeri iteri positivi x, y tali che z = x + y co x, y, z > 2 e iteri. Suppoiamo dapprima per semplicità di cosiderare il caso = 3 z 3 = (x + y) 3 = x 3 + y 3 + 3x 2 y + 3xy 2 da cui si deduce che z 3 = x 3 + y 3 se e solo se 3x 2 y + 3xy 2 = 0, ovvero sse 3xy(x + y) = 0 ovvero sse x = 0 o y = 0 o x + y = 0 ovvero tutte codizioi che abbiamo escluso a priori perché ci portebbero a casi baali o a casi di ullità. Se = 4 abbiamo che z 4 = (x + y) 4 = x 4 + y 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 quidi deduco che z 4 = x 4 + y 4 se e solo se +4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 = 0 ovvero 2xy(2x 2 + 3xy + 2y 2 ) = 0 che o ha soluzioi itere x, y o baalio ulle. Si potrebbe cotiuare per altri casi e ragioare i modo aalogo come pure possiamo cosiderare i casi del tutto equivaleti a z = x + y ovvero quado z = ax + by dove a, b iteri

2 positivi, cz = ax + by dove a, b, c iteri positivi: il procedimeto o cambierbbe di molto perché basterebbe sostituire a Z = cz, Y = by, X = ax ove x, y, z, a, b, c soo tutti umeri iteri positivi. Per dimostrare il caso più geerale dobbiamo ricorrere alla formula dello sviluppo del biomio ovvero ricordare che (x + y) = k=0 k xk y k e teere a mete che per cercare le soluzioi itere di u poliomio di grado dobbiamo trovare quali soo i divisori del termie oto (termie di grado zero) del poliomio che dividoo il termie di grado più elevato (termie direttore). Ad esempio per 2x 2 2x + 6 = 0, se esistoo, vao cercate tra i divisori di 6 che soo divisori ache di 2. Per lo sviluppo di (x + y) possiamo aiutarci co il triagolo di Tartaglia per il calcolo dei coefficieti del poliomio risultate (coefficieti biomiali). I defiitiva proviamo direttamete e/o per iduzioe su che R = (x + y) x y = k=0 o ha soluzioi itere. k xk y k x y = 0 x, y, > 2 U altro possibile approccio è quello di usare il pricipio di iduzioe su ovvero suppoimo che il teorema sia vero per u certo (la verità del passo iiziale è baale) vogliamo provare l affermazioe al passo + 1. Quidi u esistoo soluzioi itere +1 dell equazioe x + y = z per > 2. Usado (x + y) = x ovvero k=0 k k y +1 k (x + y) = k=0 si prova facilmete che emmeo k xk y k x +1 + y +1 = z +1 può avere soluzioi itere.

3 8OWLPR7HRUHPDGL)HUPDW TEOREMA (ultimo teorema di Fermat) L equazioe x + y = z o ammette soluzioi itere positive di x, y, z per > 2. Dimostrazioe Cosideriamo la famosa tera pitagorica di cui coosciamo le caratteristiche delle soluzioi itere x 2 + y 2 = z 2 z = x 2 + y 2 co x, y, z iteri positivi Vogliamo provare che o esistoo soluzioi itere positive all equazioe x 3 + y 3 = x 2 + y 2 3. All uopo eleviamo etrambi i memmbri al quadrato e sviluppiamo il biomio alla siistra: (x 3 + y 3 ) 2 = x 2 + y 2 3 2, x 6 + y 6 + 2x 3 y 3 = (x 2 + y 2 ) 3, x 6 + y 6 + 2x 3 y 3 = x 6 + y 6 + 3x 4 y 2 + 3x 2 y 4 2x 3 y 3 = 3x 4 y 2 + 3x 2 y 4 2x 3 y 3 = 3x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2xy = 3(x 2 + y 2 ) 3x 2 2xy + 3y 2 = 0 Quest utlima equazioe o può avere soluzioi itere elle variabili x, y perchè:

4 y Basta fissare x o y e risolvere l equazioe i y (ovvero i y) si ha che il delta < 0 quidi o ci soo soluzioi reali duque l equazioe è impossibile y Basta porre y = a + x e risolvere l equazioe i x per arrivare alle stesso coclusioi del puto precedete y Osservare come vedremo dopo che il MCD(x,y) deve essere MCD(x,y) =1 se vogliamo che sia verificata l equazioe di Fermat. Nota: Nell equazioe x + y = z, > 2 devoo valere le segueti relazioi MCD(x, y, z ) = MCD(x, y ) = MCD(y, z ) = MCD(x, y) = MCD(x, z) = MCD(z, y) = 1 se vogliamo che sia soddisfatta per valori iteri l equazioe di Fermat. Provarlo è facile facedo vedere se se il MCD o fosse l uità ci si ricoduce tramite ua divisioe ad ua uova equazioe di Fermat ella stessa forma. Ovvero se MCD(x, y, z) = d z = da, x = db, y = dc, MCD(a, b, c) = 1quidi sostituedo e dividedo per d ho che a = b + c. Ovvio poi che se MCD(x, y, z) = 1 ache MCD(x, y, z ) = 1. Questi fatti potrebbero farci pesare che essedo x = (z y ) = (z y)(z 1 + z 2 y + z 3 y y 1 ) x o può dividere é il primo é il secodo fattore della decomposizioe. Provato il teorema al passo = 3 proviamo a geeralizzare e per questo ci serviamo dell iduzioe su. Da x + y = z moltiplichiamo etrambi i membri per x x +1 + xy = xz, quidi moltiplichiamo emtrambi i membri per yx +1 + xy +1 = xyz, quidi moltiplichiamo etrambi i membri per y z

5 yzx +1 + zxy +1 = xyz +1 ma questa equazioe coicide co x +1 + y +1 = z +1, > 2 (passo +1) per valori iteri elle icogite x, y, z sse yz = 1, zx = 1, xy = 1 ovvero per valori o iteri di x, y, z. Quidi per il pricipio di iduzioe il Teorema è vero per ogi itero > 2. c.v.d. / XOWLPR7HRUHPDGL)HUPDW L equazioe x + y = z o ammette soluzioi itere positive di x, y, z per ogi > 2. Dimostrazioe Sappiamo che x 2 + y 2 = z 2 ammette soluzioi itere positive i x, y, z che possiamo be classificare (le famose tere pitagoriche). Sia data duque l equazioe x + y = z eleviamo etrambi i membri al quadrato otteedo x 2 + y 2 + 2x y = z 2 dalla quale risula che x 2 + y 2 > z 2 perché 2x y > 0, x, y, z iteri positivi ed > 1(2 > 2). I particolare per pari è vero x, y, per dispari abbiamo ella relazioe di Fermat il sego < se xy < 0, il sego > el caso xy > 0. I ogi caso per avere l uguagliaza dovremmo avere x = 0 oppure y = 0. Aalogamete elevedo l equazioe di Fermat al cubo avremo x 3 + y 3 + 3x 2 y + 3x y 2 = z 3 ma ache qui x 3 + y 3 > z 3 dal mometo che 3x 2 y + 3x y 2 = 3x y (x + y ) > 0 per x, y, z iteri positivi e ache i questo caso per avere l uguagliaza dovremmo avere avere x = 0 oppure y = 0. Possiamo così cotiuare ricordado la formula del biomio (a + b) m = k=0...m m k a k b m k. I geerale

6 arriveremo a dire che x m + y m z m, > 1, m P 2 e questo poiché se k = m arriviamo a provare che x k + y k > z k, k, x, y F N = Z + oppure estededo il ragioameto x k + y k < z k x, y, z F Z k dispari metre x k + y k > z k x, y, z F Z k pari.