LA RADICE QUADRATA NELLA SCUOLA MEDIA E.BARONE

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1 LA RADICE QUADRATA NELLA SCUOLA MEDIA E.BARONE 1. Itroduzioe. La radice quadrata di solito e' itrodotta gia'ella.scuola media iferiore, quado i! cocetto di umero reale o e' stato acora dato e solitamete si liquida i! problema dicedo: "la radice quadrata di u umero itero che o sia quadrato perfetto c'u umero decimale. Alcui Autori, gia' piu' avveduti, preferiscoo dire: "'poichc' u umero o quadrato perfetto c' sempre compreso tra quadrati di due ume iteri cosecutivi, la sua radice quadrata saca' compresa tra le radici quadrate di questi due umeri. Ad esempio, essedo 45 compreso tra 36 e 49, risulta 6 < < 7." Si puo' quidi correttamete parlare di approssimazioe per difetto c per eccesso della radice quadrata. Autori passao a descrivere l'algoritmo radice quadrata, seza alcua giustificazioe Le cose o cambiao egli am successivi Dopo cio' tutti gli di'" estrazioe'" della di tale algoritmo. edahime' SI puo' arrivare a scoprire che la maggior parte degli isegati, sia di scuola media iceriore, che di scuola media superiore, Do solo o sa spiegare il predetto algoritmo, ma o si e' mai eache posto il problema. Vediamo allora di dare ua spiegazioe di tale famoso algoritmo, che persoalmete bo sempre avuto difficolta' a memorizzare e che ho dovuto ripassare, quado la prima delle mie figlie me e ha chiesto ragioe. I u secodo mometo vedremo di dire qualcosa sulla opportuita' di tale algoritmo e sulla sua evetuale sostituzioe. 16

2 Z. L'algoritmo della radice quadrata. Dato u umero aturale Y, di cui si vuole calcolare la radice quadrata X ( o meglio la sua MIGLIORE APPROSSIMAZIONE PER DIFEITO, se il umero o e' u quadrato perfetto), esiste u uico umero aturale per il quale risulta 102(-I)", y < 102. Poiche' si ha < lo, possiamo affermare che X sara' formato da cifre. Ad esempio se y , allora poiche' < < _ e' - 4 e quidi sara' X formato da 4 cifre, cioe' compreso fra IO 000 e U metodo pratico per trovare, dato Y. e' quello di dividere Y i blocchi di due cifre a partire da destra. Nell'esempio sopra cosiderato, si ha Y = , cioe' quattro biotchi. Se deotiamo rispettivamete co Yl' Y2'.., Y il primo, il secodo, '" l'-mo blocco, partedo da siistra, di 17

3 Y ( ogm blocco essedo formato da due cifre, co l'evetuale sola eccezioe del primo, che puo' essere formato da ua sola cifra), risulta y Se mvece deotiamo siistra, avremo la l-ma cifra di X, a partire da.. + x ed X dovra' essere IL PW' GRANDE INTERO per il quale (l) 2 X,; Y Quato precede spiega la prima regola dell'algoritmo e getta le basi per capire tutte le regole successive. Suppoiamo iizialmete, per semplicita', che Y sia formato da due soli gruppetti. cioe' sia La (1) diveta allora ( xl' lo + ovvero (2) risulta 2 x l <100 Osservato + ( 2 xl' lo + x 2 ) x 2,; yl" Y2. che se x c' il piu' grade itero < lo. per il quale SI ba ache 18

4 (il Lettore e' ivitato a spiegare questo passaggio) xl sara' la prima cifra a siistra della radice cercata e la secoda regola dewalgoritmo e' spiegata. Trovato xl ' dalla (2) risulta (3) Si deve quidi cercare il piu' grade itero x 2 < lo, che verificala (3). Per semplificare tale ricerca, osserviamo che 2 x "IO x e' miore 1 2 del prtmo membro della (3) e quidi possiamo, I pr11l1.a approssimazioe, semplice sostituire alla (3) la disuguagliaza piu' 2x 1 x 2 IO s ( Y 1 -X:),100 + Y 2 ovvero (4) Per fissare le idee, cosideriamo ad esempio Y = Risulta Y =2, y = 18, X = 1 e, come e' oto, SI ha la seguete scbematizzazioe / Ora la (4) esprime la be ota regola: da 118 SI stacca l'ultima cifra, otteedo Il e SI divide tale umero 19

5 per 2 (-2x ). Si atterra' il umero 5 che puo' essere l'x l 2 cercato. Occorre pero'verificare che effettivamete valga la (3). Si ha ivece questo sigifica che deve essere x 2 < 5 e quidi c' sesato provare co 4. Facedo i coti si trova che 24'4-96 < 118 c quidi effettivamete x -4. Si ha quidi j Ora risulta 14 e = 196 metre 15 =225, quidi /218' c' compreso fra Se ora suppoiamo che Y sia formato da tre gruppetti, come el caso del mero , la (I) diveta ovvero La disuguagliaza precedete si puo' ache scrivere (5) 2 x 2 ) [2(x l 10+x 2 ) IO +x 3 ] x 3 '" '" (yl" 100 +Y2) Y3.

6 La (5) mostra che la ricerca della radice di u umero {armato da tre gruppetti ( cioe' compreso lo 000 e ), cosiste el trovare prima xl ed x 2 massimi, che verifichio y y 1 2 e quidi el trovare la radice quadrata di Y 100 l + Y2 ' e poi el trovare la terza cifra x i modo che valga la (5). 3 Osservato che la (5) e' dello slesso tipo della (2), e' chiaro che il procedimeto puo' essere iterato. A questo puto dovrebbe essere abbastaza chiaro come si procede i preseza di piu' di tre gruppetti e el caso i cui si hao cio SI voglioo cifre decimali. Per quest' ultimo caso, ad esempio, basta osservare che ,898 -( ) e quidi! 21837, IO. A be guardare tutto il discorso precedete potrebbe essere sitetizzato dicedo che la spiegazioe dell'algoritmo della radice quadrata sta' ella formula (a+b)-a+b+2ab, ma potrebbe essere uo scherzo di cattivo gusto. Viee spotaeo chiedersi vista la difficolta' di giustificare tale algoritmo,e' proprio il caso di isegarlo? No ci soo algoritmi piu' facilmete giustificabili? A parere del sottoscritto l'algoritmo di Eroe potrebbe traquillamete sostituire l'algoritmo precedete, almeo percio' che riguarda la giustificabilita. :zt

7 Diamo u ceo di tale algoritmo. 3. L'algoritmo di Eroe. Osserviamo iazitutto che se X e' ua approssimazioe per difetto della radice di Y, cioe' risulta si ha e poi quidi Y/x c'ua approssimazioe per eccesso della radice di Y. Del tutto aalogamete si prova che. se ivece X e' UDa ap prossimazioe per eccesso. allora Y/X e' ua approssimazioe per difetto. Ora l'idea dell'algoritmo e' molto semplice: se abbiamo due approssimazioi, ua per difetto e l'altra per eccesso, possiamo ragioevolmete sperare che la loro media sia ua approssimazioe migliore. Pertato se probabilmete e' ua approssimazioe della radice di Y, sara' ua approssimazioe migliore. Vediamo di provarlo. Itato osserviamo che 22

8 Quidi idipedetemete dal tipo di approssimazioe X ' O sicuramete Xl sara' ua approssimazioe per eccesso della radice di Y. Per quato detto sopra, Y/X sara' ua approssimazioe per I difetto. Questa situazioe puo' essere illustrata suwasse reale, come seguc _ _.. -- _ _ dove Osserviamo che, se defiiamo, al passo + l, (6) x +l ( X + Y/X )! 2 otteiamo UDa successioe X di approssimazioi per eccesso ed ua Y/X di approssimazioi per difetto che verificao le segueti disuguagliaze., per costruzioe, (7) YlX '".; Y X Osserviamo ioltre che = (X - Y/X )/2 -.; Y = (X -.; Y )12. ",X/2+';Y/2-';Y = Questo sigifica che ad ogm passo l'crrore che si commette approssimado,; Y co X (o co Y/x ), si dimezza e quidi il metodo e' "molto rapido. Dalla (8) si ricavao ache le disuguagliazc (9) x-i Y"'(X-/ l

9 che legao l'errore al passo, alla approssimazioe iiziale e permettoo di valutare il umero di passi ecessario per otteere il desiderato umero di cifre decimali esatte dopo la virgola. Se ad esempio si desiderao 5 cifre decimali, occorrera' scegliere i modo tale che risuti I pratica l'esame c' molto piu' semplice osservare, ad ogi passo, le cifre che si ripetoo., 10 quato basta Diamo uo ESEMPIO. Vogliamo la radice di 2 co cmque cifre decimali esatte dopo la virgola. Partiamo co X " O 1. Avremo YfX - O 2 e X - I 3/2 - l,s. Usado la (6) si ba la seguete tabella: X ,5 1, , , , ,41421 Si deduce ovviamete che o ha seso cotiuare. Si puo' osservare che, i geerale, co tre passi si ottegoo be cique cifre decimali, pur di partire co ua approssimazioe iiziale decete. Pcr fiire osserviamo che questo metodo, che si presta ad essere programmato co estrema facilita', e' solo u caso particolare del piu' geerale metodo di NEWTON o DELLE TANGENTI per la ricerca della soluzioe dell'equazioe (11) f (x) = O,

10 quado f e' ua fuzioe derivabile, co derivata r cotiua, covessa i [ a,b ]. Se risulta ad esempio f(a) < O, f(b) > O e r > O allora si prova che la successioe (12) x O - b, x +1- x - f(x )/f'(x ) coverge all'uica.soluzioe della (11). Ifatti il problema di trovare la radice quadrata di Y equivale a risolvere l'equazioe (11) co Poiche' f'(x)- 2x la (12) diveta - ( Y ) 1 2x e quidi si riottice la (6). La (12) puo' essere utijizzata, per esempio per estrarre la radice m-ma di u umero Y. I tal caso la m m-l f(x) - x - Y. f'(x) - m x ed il metodo diveta (14) x + 1 = ( (m-i)x + m. Quidi isegado il metodo di Eroe S1 gettao le basi per qualcosa di molto piu' geerale. Lecce 25/10/89. Rivisto: 5/10/90 Z5