I appello - 11 Dicembre 2006

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1 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 I appello - Dicembre 006 ) Calcolare il seguete ite: [ ( )] + cos. + ) Data la fuzioe f() = e +, < 0, 0, =, =,,..., log( + ), 0,, =,,..., studiare cotiuità e derivabilità. ) Date le fuzioi: f() = e si, g() = 4 8, si chiede di (a) forire lo sviluppo i serie di Mac Lauri fio all ordie 4, dopo avere determiato il campo di sviluppabilità; (b) determiare l ordie di ifiitesimo di f() rispetto a g(), per 0.

2 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 Svolgimeto ) Il calcolo diretto porta ad ua forma idetermiata. Tuttavia risulta: [ ( )] + cos = + [ ( )] = + + cos = + [ ( + ) + cos ( ) = + ( = + ( = + ) ) teedo preseti i iti otevoli 0 a = ] = ) = log, ( + + = log a e 0 cos =. ) La fuzioe data è di certo cotiua se < 0 oppure i tutti i puti > 0,, =,,..., essedo composizioe e somma di fuzioi cotiue. Osserviamo che f si puó riscrivere come f() = e (+),, e +, < 0, 0, =, =,,..., log( + ), 0,, =,,..., Studiamo ora i puti a =, =,,.... ( Fissato N risulta f() = log( + ) = log + ) ( ), metre f = 0; a a ( essedo log + ) > 0, per ogi N, i puti a soo puti di discotiuità di prima specie eiabile.

3 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 Per quato riguarda il puto = 0, osservado che 0 è puto d accumulazioe per { } A =, =,,..., si ha da cui f() = 0, metre 0 + f Ac() = log( + ) = 0, f A() = 0 f + ( ) = 0, ( f() = 0 e + ) = e, 0 e pertato 0 è u puto di discotiuità di prima specie o eiabile. Studiamo ora la derivabilità di f. Chiaramete f o è derivabile ei puti = 0 e =, =,,..., o essedo ivi cotiua. La fuzioe è ivece derivabile i tutti i puti > 0,, =,,... e ei puti < 0,, essedo composizioe e somma di fuzioi derivabili. Resta da studiare il puto =. Poiché si ha f() f( ) + f() f( ) + + = e (+) + f o è derivabile i =. I coclusioe: = + e + + e, <, f () = e +, < < 0, =, = e (+) ( + ) =,, > 0,, =,,..., + ) (a) Determiiamo lo sviluppo di Mac Lauri di f. Osserviamo che la fuzioe si è sviluppabile per ogi R e lo sviluppo fio all ordie 4 è si = ()! + o( 4 );

4 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 4 ache la fuzioe e è sviluppabile per ogi R e si ha Risulta pertato e = + +! +! + 4 4! + o(4 ). f() = si + (si ) + (si ) 6 + (si )4 4 + o((si ) 4 ) = o( 4 ) = o( 4 ), per ogi R. Per quato riguarda g, essa risulta sviluppabile se < 8 <, cioè se < < e si ha 4 8 = ( 8 ) 4 = + 4 ( 8 ) + o( 4 ) = + o( 4 ) da cui g() = 4 8 = + o( 4 ). (b) Teedo coto del puto (a) si ha 0 f() [ g() ] = o( 4 ) [ + o( 4 ) ] = 0 = e pertato l ordie di ifiitesimo di f rispetto a g è.

5 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 5 II appello - Geaio 007 ) Provare che la fuzioe f() = ( cos ) (ta ) + si( ) e + 5 è ifiitesima di ordie, per 0+. ) Studiare la seguete serie, al variare di R : + = ( + 4) ( ) 4 ( + ). ) Calcolare il seguete itegrale: + ta d. ta cos

6 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 6 Svolgimeto ) Il umeratore di f è somma di 4 ifiitesimi, per 0 +. L ordie di ( cos ) rispetto a è 6, i quato ( cos ) l ordie di (ta ) è 5, poiché metre l ordie di si( ) è. = 0 + (ta ) [ ] ( cos )( + cos ) = ; = 0 + ( ta ) =, Per quato riguarda il deomiatore, e è u ifiitesimo di ordie rispetto a, essedo e 0 + = 0 + e =. Pertato, applicado il pricipio di sostituzioe degli ifiitesimi risulta f() 0 + (ta ) = = 0 + (e ) 0 + ( ) ta = e, da cui si deduce che f ha ordie di ifiitesimo pari a, rispetto a, per 0+. ) Si tratta di ua serie a termii di sego qualuque, che può essere riscritta come + = ( + ) ( ) ( + ). Se = la serie diveta a termii ulli, duque è baalmete covergete. Se studiamo la covergeza assoluta co il criterio del rapporto. Poiché, posto ( + ) a = ( ), si ha ( + ) + a + = a ( + ) = + (( + ) + ) + + = +,

7 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 7 la serie coverge assolutamete, e quidi ache semplicemete, se 4 < < 0. + <, cioè se Se < 4 la serie diveta a termii di sego positivo, e pertato diverge, dal mometo che diverge assolutamete. Se > 0 la serie è a termii di sego altero. Poiché i tal caso risulta + a + >, a per defiizioe di ite esiste N tale che a + > a per ogi : ma allora la serie è i tal caso idetermiata, essedo ( a ) defiitivamete crescete. Restao da esamiare i casi = 0 e = 4. Se = 0 la serie diveta + = ( ) + : tale serie è covergete, per il criterio di Leibitz, i quato a = ( ) + 0 e la successioe è decrescete. + N Se = 4, ifie, la serie diveta + = +, che è ua serie a termii di sego positivo: poiché e la serie cofroto. + = + + = + <, per ogi N+, è covergete, la serie data i tal caso coverge, per il criterio del I coclusioe la serie è: - covergete se 4 0;

8 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/ divergete se < 4; - idetermiata se > 0. ) Effettuado la sostituzioe t = ta, da cui = arcta t e d = dt, teedo presete + t l idetità cos = ta +, l itegrale diveta: + ta I : = d = ta cos t t dt. Quest ultimo itegrale è del tipo m (a p + b) d, co m =, p =, =, a = e b = ; i questo caso si ha m + p risulta t = u, da cui t = u + e dt = ha ifie: = 0 Z, per cui ua sostituzioe possibile u du. Co questa sostituzioe si u + I = u + du = arcta u + C = arcta t + C = arcta ta + C, co C R.

9 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 9 III appello - Aprile 007 ) Calcolare il seguete ite: + e [arcta(e ) + cos(e ) cos(e )]. ) Data la fuzioe f : R R defiita da: e +, > 0, f() = +, 0, studiare la cotiuità e la derivabilità. ) Calcolare il seguete itegrale idefiito: e log( + e ) d.

10 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 0 Svolgimeto ) Risulta: + e [arcta(e ) + cos(e ) cos(e )] = [ arcta(e ) = + e e + cos(e ) e arcta(e ) = + + e + teedo preseti i iti otevoli 0 cos e + cos(e ) e e 4 ] e 4 cos(e ) e cos(e ) + e =, e + e 4 = e arcta 0 =. ) La fuzioe data è chiaramete cotiua i R \ {0}, essedo somma e composizioe di fuzioi cotiue. Ioltre, essedo f è cotiua ache i = 0. f() = = f(0), 0 + Per quato riguarda la derivabilità, f è di certo derivabile i R \ {0, }, essedo somma e composizioe di fuzioi derivabili. Studiamo ora il puto = 0. Risulta f() f(0) 0 + e + = 0 + = 0 + ( e + ) = +, e duque f o è derivabile i = 0. Osserviamo che esiste ivece la derivata siistra i = 0, poiché f s(0) =. Ifie eache i = f è derivabile, poiché f s( ) =, metre f d ( ) =. ) Co la sostituzioe e = t, da cui = log t e d = dt, l itegrale diveta t e log( + e ) d = log ( + t ) dt.

11 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 Utilizzado ora il procedimeto di itegrazioe per parti si ha: log ( + t ) dt = t log ( + t ) t log ( + t ) + 6 = t log ( + t ) ( + t ) = t log dt t + = t log + ( ) t arcta + C + arcta t ( 6t ) + dt t ( + t ) dt + ( ) t + ( t ) + C, co C R.

12 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 IV appello - 6 Giugo 007 ) Calcolare il seguete ite: { (e + ) } +. + ) Studiare la seguete serie, al variare di R : + = ( ) ( ) ta. 4 ) Calcolare il seguete itegrale: arccos( ) ( ) d.

13 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 Svolgimeto ) Il calcolo diretto porta ad ua forma idetermiata. Tuttavia risulta { L := (e + ) } ( + = ep log [ (e + ) + ]) + + ( ) ( = ep log(e + ) ep log( ) + ). + Utilizzado il ite otevole 0 log( + ) e + log(e + ) = e pertato risulta ifie L = e. + = si ha log(e + ) e = 0 e + log( + ) = log ( ) + + = ) Si tratta di ua serie a termii di sego qualuque. Se = 0 la serie è a termii ideticamete ulli, duque è baalmete covergete. Se 0 studiamo la covergeza assoluta co il criterio del rapporto. Posto a = ( ) ( ) ta si ha 4 0 a ta@ A + ( = ) A + ta ( ta ( + ) = + ( + ) ) ( + ) e duque la serie coverge assolutamete, e quidi ache semplicemete, se < 4, cioè per 4 < < 4. ta ( ) 4 = 4

14 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 4 Se > 4 la serie è a termii di sego positivo, duque diverge, dal mometo che è ivi divergete assolutamete. Se < 4 la serie è a termii di sego altero. Poiché per quato già visto risulta i a + tal caso >, per defiizioe di ite esiste N tale che a+ > a per a e duque la serie è idetermiata, per u criterio di idetermiatezza, essedo ( a ) defiitivamete crescete. Restao da studiare i puti = ±4. Se = 4, la serie diveta + = ( ) ta, che è ua serie a termii di sego positivo. Poiché + ta ( ) b =, e duque la serie coverge, per il criterio del cofroto asitotico. ( ) =, ta Se = 4, la serie diveta + ( ) ( ) ta, = ( ) che è a termii di sego altero. Poiché risulta a = ta = 0 e + + ( ) ( ) a = ta > ta = a ( + ) +, per ogi N, per il criterio di Leibitz la serie coverge. I coclusioe la serie è: - covergete se 4 4; - divergete se > 4; - idetermiata se < 4.

15 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 5 ) Operado la sostituzioe t =, da cui = (t + ) e d = (t + ) dt, e applicado successivamete il procedimeto di itegrazioe per parti, l itegrale diveta: L itegrale J := I : = arccos( ) ( ) d = = t arccos t + t t dt. t arccos t dt t dt è u differeziale biomio del tipo t t m (at p + b) dt, dove el ostro caso m + = Z. Ua sostituzioe possibile risulta pertato p t = u, da cui t = u u e dt =. Si ottiee duque u J = ( u ) du = u + u + C, e ifie co C R. I = t arccos t + 9 ( t ) t + C = ( ) arccos( ) + 9 ( ) + C,

16 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 6 V appello - 0 Settembre 007 ) Studiare la fuzioe f() = +, tracciadoe u grafico approssimativo (o è richiesto lo studio della derivata secoda). ) Data la fuzioe f : R R defiita da: f() = +, =, =,,..., cos( ), >, ( ), (R 0 Q) oppure 0 < < e, =,,...,, (R 0 \ Q), trovare i puti di cotiuità di f, classificadoe le evetuali discotiuità. ) Calcolare il seguete itegrale: + ( + ) 6 5 d.

17 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 7 Svolgimeto ) Per quato riguarda il domiio di f, deve essere + 0 e ±, per cui D = ], [ ], + ); ioltre f può essere riscritta come f() = ( ) +. Ovviamete, f() 0 per ogi D e f() > 0 se e solo se >, metre f() < 0 se ], [. f risulta ioltre cotiua su D, essedo composizioe di fuzioi cotiue. Poiché risulta ( ) + = e + ( ) + = +, la retta = è u asitoto verticale per f. Essedo poi + ( ) + =, ache = è u asitoto verticale per f. Ifie + ( ) + = 0, per cui l asse è u asitoto orizzotale per la fuzioe f. La fuzioe f è derivabile i D, essedo composizioe di fuzioi derivabili e risulta f + () =. ( ) ( + ) Pertato, f () = 0 se e solo se =, metre f () > 0 se < < e f () > 0 se ] < < oppure >. Si coclude duque che f è crescete i, [, decrescete i ] [, e i ], + [ e il puto = è u puto di massimo locale per f. Chiaramete f o ammette é massimi é miimi assoluti. Il grafico approssimativo di f è:

18 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 8 ) (i) Posto a = } {a, =,,... e A =, =,,..., i puti a soo puti di discotiuità di prima specie eiabile per f, poché metre f f() = a =, ( ) = +, per ogi N,. Il puto =, ivece, è di cotiuità per f i quato f() = = = f() cos( ) e f() = = + + ( ).

19 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 9 Studiamo ora il puto = 0. Poiché 0 A, bisoga cosiderare i iti 0 + f A () = f + f 0 + A c() = 0 + = 0, f 0 Q () = 0 = 0, 0 f R\Q () = 0 = 0, ( ) = + + = 0, pertato esiste 0 f() = 0 = f(0), da cui f è cotiua ache i 0. Per quato riguarda i puti < 0, essi soo di discotiuità di secoda specie: ifatti, posto < 0, la f segue ua legge di tipo Dirichlet, essedo f Q () =, metre f R\Q () =, e, per ogi < 0. Tutti gli altri puti soo ovviamete di cotiuità per f. ) Operado la sostituzioe t = 6, da cui = t 6 e d = 6t 5 dt, l itegrale diveta + + t ( + ) 6 d = 6 5 t + dt = 6 t = t + t + dt = t 6 = t 6 log(t dt + ) + 6 ( ) dt t + ( t + t t + t dt + t + = t 6 log(t + ) + 6 ( ) t arcta + C = 6 log( + ) + 6 ( 6 ) arcta + C, ) dt dt t + co C R.

20 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 0 VI appello - 0 Settembre 007 ) Calcolare il seguete ite: + ( ) ( ) cos + ta [( ) ]. + log ) Studiare, al variare di R, la seguete serie: + = ( ) ( ) log +. ) Calcolare il seguete itegrale: ta cos d.

21 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 Svolgimeto ) Il calcolo diretto coduce ad ua forma idetermiata. Risulta tuttavia ( ) ( ) ( ) ( ) cos + ta cos ta [( ) + ] = + + log log ( + ) + + log ( + ) ( ) ( ) cos ta = + log ( + ) + + log ( + ) =. ) Si tratta di ua serie a termii di sego qualuque. Se = 0 la serie diveta a termii ulli, duque è ovviamete covergete. Se 0 studiamo la covergeza assoluta co il criterio del rapporto. Posto a = ( ) ( ) log +, risulta + a + = a + log + log( + ) + =, e duque la serie coverge assolutamete, e pertato ache semplicemete, se <, cioè se < <. Se < la serie è a termii di sego positivo, e duque diverge, dal mometo che diverge assolutamete. Se > la serie è a termii di sego altero. Poiché, per quato visto prima, risulta a + i tal caso = >, per defiizioe di ite esiste N tale che a a + > a per ogi, ovvero la successioe ( a ) è defiitivamete crescete. Ciò implica, per u criterio di idetermiatezza, che la serie è i tal caso idetermiata. Restao da studiare i casi = ±.

22 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 Se =, la serie diveta + = log + ; poiché log, per ogi =,,..., si ha che divergete, dal criterio del cofroto ache Ifie, se = la serie diveta + = a = + + = log + > + +. Essedo + log + è divergete. = ( ), che è a termii di sego altero. Poiché log + + log + = 0 e a + = log( + ) + < log + = a, per ogi =,,..., la successioe ( a ) è decrescete e pertato, per il criterio di Leibitz, la serie coverge. I coclusioe la serie data è: - covergete se < ; - divergete se ; - idetermiata se >. ) Co la sostituzioe t = ta, da cui cos = dt e d =, l itegrale diveta + t + t ta I : = cos d = dt = t + t. t ( ) t dt = t dt

23 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 Per calcolare J := dt utilizziamo la formula di Hermite. Risulta t t = A + B, t + t se e solo se = (A B)t + (A + B), da cui A = B =, e duque si coclude che I = t + dt + dt = t + ( log + t + log ) t + C t + t = ta + + ta log + C, ta co C R.

24 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 4 VII appello - Dicembre 007 ) Calcolare il seguete ite: + + si( ). ) Studiare la seguete fuzioe, 4 f() =, tracciadoe u grafico approssimativo (o è richiesto lo studio della derivata secoda). ) Calcolare il seguete itegrale: π 0 cos ( si ) log( + si ) d.

25 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 5 Svolgimeto ) Il calcolo diretto porta ad ua forma idetermiata. Risulta tuttavia L := + = + = + + = si ( ) + ) utilizzado i iti otevoli 0 a si ( si ( ) si ( ) ( si ) + si ( ) si ( ( si ( ) )( + + ) ) = log, = log a, a > 0, e 0 si =. ) Il domiio di f è D = R \ {0} e si può scrivere 4, se < 0, oppure 0 <, f() = 4, se, oppure. Osserviamo che f è ua fuzioe pari, duque possiamo, per simmetria, itarci a studiarla per > 0. Per quato riguarda il sego, si ha che f() 0 per ogi D e f() = 0 se e solo se = ±. f è ioltre cotiua i D, essedo composizioe di fuzioi cotiue. Studiamo gli evetuali asitoti. Poiché f() = + + f. Ioltre f() = per f. 4 =, la retta y = è u asitoto orizzotale per 4 = +, per cui l asse y è u asitoto verticale

26 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 6 f è derivabile i D \ {±}, essedo composizioe di fuzioi derivabili e si ha 8 ( 4 f ), se 0 < <, () = 8 (, se > ; 4 ) risulta duque f () > 0 se >, metre f () < 0 se 0 < <, da cui f è crescete i ], + ), decrescete i ]0, [. Il puto = (e duque per simmetria ache = ) è di miimo assoluto. Ovviamete f o ha massimo assoluto. Osserviamo ifie che f o è derivabile i poiché f() f() 4 = + = = +, ( ) 4 f() f() 4 = = =. Il grafico approssimativo di f è il seguete: ) Operado la sostituzioe t = si, da cui dt = cos d, l itegrale diveta: I : = π 0 cos ( si ) log( + si ) d = 0 ( t) log( + t ) dt.

27 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Igegeria Civile A.A. 006/007 7 Utilizzado ora il procedimeto di itegrazioe per parti si ha I = [(t t ) log( + t )] 0 (t t t ) 0 + t dt = t t 0 + t dt ( = t t ) dt = [t t log( + t ) + arcta t] + t 0 0 = log + π.