SOLUZIONE DI ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA IV ANNO 2015/16, FOGLIO 2. se x [n, 3n]

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1 SOLUZIONE DI ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA IV ANNO 05/6, FOGLIO Sia f : R R defiita da f x { se x [, 3] 0 altrimeti Studiare la covergeza putuale, uiforme e uiforme sui compatti della successioe f e della serie f. Soluzioe: Fissato x R esiste N 0 N tale che x < N 0. Allora per ogi > N 0 si ha f x 0 e quidi f x 0. Quidi f 0 putualmete. Si vede i modo aalogo che f 0 uiformemete sui compatti. Ifatti sia K sottoisieme compatto o vuoto di R. Allora K ha u massimo M. Esisterà N 0 N tale che M < N 0. Allora > N 0 si ha x M < N 0 < e quidi f x 0 per ogi x K. Quidi sup x K f x 0 0 per ogi > N 0, quidi sup x K f x 0 Ivece la. 0. covergeza o è uiforme su R dato che sup x R f x 0 e quidi NON vale sup x R f x 0 0. Per quato riguarda la serie si ha che f coverge putualmete, dato che fissato x R, come visto i precedeza si ha f x 0 defiitivamete e quidi la serie coverge. Si vede pure che f x f coverge uiformemete sui compatti. U modo per vedere ciò è che, fissato u compatto K e posto c,a sup x A f x per ogi A R, si ha c,k 0 defiitivamete, quidi la serie c,k coverge. Quidi la serie coverge totalmete, e quidi uiformemete su K. Ivece la serie f f o coverge uiformemete su R dato che come visto, la successioe f o tede a 0 uiformemete su R. Si può dire la stessa cosa i altri termii, ossia c,r per ogi e quidi c,r o tede a 0 per. Fare lo stesso se f è defiita da f x { x a se x [, 3] 0 altrimeti al variare di a > 0. Soluzioe: si procede i modo simile per la covergeza putuale e per quella uiforme sui compatti. Per quella uiforme, bisoga otare che sup x R f x sup x [,3] x a a, quidi la successioe f o coverge uiformemete su R, e,

2 di cosegueza ache la serie covergerebbe a 0 uiformemete. f o coverge uiformemete su R, altrimeti f 3 Fare lo stesso se f è defiita da f x { x + a se x [, + 3], 0 altrimeti al variare di a R. Soluzioe: è simile al precedete, e i risultati soo gli stessi. L uica cosa da osservare è che se a > 0 allora sup f x sup x R x [,+3] x + a a + poiché la fuzioe x x a è crescete su ]0, [, metre se a < 0 allora sup f x sup x R x [,+3] x + a a poiché la fuzioe x x a è decrescete su ]0, [; ifie se a 0 si ha a sup f x sup x +. x R x [,+3] x lx + Dire se la serie di fuzioi si può derivare termie a termie i R. Soluzioe: Si può derivare termie a termie. Usiamo il teorema che dice che questo è verificato se la serie di fuzioi coverge putualmete basterebbe sapere che coverge i almeo u puto la serie delle derivate coverge uiformemete. Per provare scriviamo quidi x lx + x l + x l + l + x x x l + l + x l x lx + l x,

3 quidi, per x 0 la serie stesso carattere della serie x lx + per il criterio del cofroto asitotico ha lo l, che coverge per esempio per il criterio del rapporto. Se x 0 la serie iiziale coverge baalmete. Ora vorremmo provare. I realtà, o proviamo, ma come si fa spesso i questi casi proveremo che la serie delle derivate coverge uiformemete i ogi itervallo ]a, b[ co a, b R, a < b e questo basterà a cocludere. Ifatti, restrigedo le fuzioi ad ]a, b[ proveremo i tal modo i base al teorema, che la serie si può derivare termie a termie i ]a, b[, ma dato che ogi x R appartiee ad u itervallo del tipo ]a, b[, allora la derivazioe termie a termie vale i tutto R. Nota che abbiamo cosiderato gli itervalli aperti, dato che la derivata di ua fuzioe e della sua restrizioe ad u itervallo aperto coicidoo i tutti i puti dell itervallo stesso, metre se l itervallo fosse chiuso questo o sarebbe vero ua fuzioe potrebbe o essere derivabile i u estremo dell itervallo chiuso, ache se la sua restrizioe lo è, ad esempio fx x su [0, ]; i tal caso la restrizioe di f a [0, ] ha derivata, ma f o è derivabile i 0. La serie delle derivate è data da x 3 lx + + x x x +. Sia ora x ]a, b[, sia c max{ a, b }, sia > c, e prediamo. Allora si ha x 3 lx + + x x x + c 3 l + c 5 : d, e, dato che la serie d coverge, come si verifica facilmete, allora la ostra serie delle derivate coverge totalmete, e quidi uiformemete, su ]a, b[. x + 5 a Trovare l isieme di covergeza putuale della serie di fuzioi + precisado i quali isiemi tale serie coverge uiformemete. b Dire se ell itervallo di covergeza putuale tale serie si può derivare termie a termie. Soluzioe: a Usado, per esempio il criterio della radice, si ha che la serie coverge quado ma lim x + + < lim x + + lim x + + x + lim + x +. 3

4 Quidi la serie coverge quado x + <, ossia x ], [, quado x + la serie va cotrollata a parte, metre quado x + > o coverge. Noto che quado x +, ossia x, il termie geerale della serie o tede a 0, e quidi la serie o coverge. I coclusioe la serie coverge i ], [. Vediamo ora i quali isiemi la covergeza è uiforme. Dalla teoria geerale delle serie di poteze potremmo dedurre che la covergeza è uiforme i tutti gli isiemi della forma [c, d] co < c < d <, e quidi ache i tutti i sottoisiemi di tali isiemi. Però, dato che questa o è ua serie di poteze i x bisogerebbe fare qualche passaggio. Ivece facciamo vedere questo direttamete. Se esistoo c, d co < c < d < tali che A [c, d], allora sup x A Poiché la serie x : M <, quidi sup x + M + + : d. + x A d coverge per vedere questo basta sostituire M al posto di x el ragioameto sulla covergeza putuale, la ostra serie coverge totalmete, e quidi uiformemete, i A. Proviamo che viceversa, se A è u isieme ove la serie coverge uiformemete, allora esistoo c, d co < c < d < tali che A [c, d]. Ifatti A ], [ poiché questo è l isieme di covergeza putuale. Siao c if A, d sup A. Poiché chiaramete A [c, d], basta provare c >, d <. Se per assurdo fosse per esempio d, allora si avrebbe che apparterrebbe alla chiusura di A; allora per u risultato visto, dato che le fuzioi di cui facciamo la serie soo cotiue, la serie covergerebbe ache i, ma abbiamo visto che questo o è vero, quidi d <. Aalogamete si prova c >. b Proviamo che effettivamete si può derivare termie a termie. Lo facciamo i due modi. Primo modo: facciamo vedere che la serie delle derivate coverge uiformemete i ogi itervallo ]c, d[ co < c < d < : questo basta a cocludere ragioado come ell esercizio precedete. Sia duque x ]c, d[. La serie delle derivate è data da xx +. Posto A : max{ c, d }, per ogi x ]c, d[, si ha + xx + AA e, dato che la serie AA + + coverge, per esempio per il criterio della radice, la ostra serie delle derivate coverge totalmete, e quidi uiformemete i ]c, d[ x + y Secodo modo: Sia fx e sia gy +. Si vede subito che + il raggio di covergeza della serie di poteze che esprime g è. Quidi, dalla teoria geerale delle serie di poteze, possiamo derivarla termie a termie i ], [, otteedo

5 per ogi y ], [, g y y +. Ora, la fuzioe x x + mappa ], [ i ], [. Quidi, dato che fx gx +, possiamo applicare la regola di derivazioe delle fuzioi composte, otteedo, f x xg x + x che è proprio la serie delle derivate. x + + xx Trovare la serie di Taylor, cetrata i 0 delle fuzioi f e f defiite da f x x 7 l + 3x x, f x ex per x 0 e prolugata i 0 per cotiuità. Soluzioe: Per f ricordiamo che l + y x f x x 7 l + 3x x 7 + 3x + y. Si avrà allora + 3 x +7. Tale serie ossia + 3 x +7 è ua serie di poteze uguale a f, e quidi è la sua serie di Taylor. Ifatti sappiamo dalla teoria che se ua fuzioe f si esprime i serie di poteze, tale serie di poteze è la serie di Taylor di f. Vediamo f. Itato otiamo che f x, per esempio usado al formula di Taylor, e x 0 quidi, effettivamete, si può prolugare f i 0 per cotiuità, poedo f 0. Dato che come oto, e y y, per ogi x 0 si ha! f x ex x x x! x x x x! x! x +!. x Notiamo ache che la serie +! coicide co f x ache per x 0. Per lo stesso motivo visto per f, la serie di poteze otteuta è la serie di Taylor di f. 7 Calcolare la somma delle segueti serie di fuzioi: x +!, x! 5 x x +, x, x +5!,

6 Vediamo ua per ua. Per x, otiamo che e precisamete viee Vediamo la terza. Si ha: x x + x + x x x + x x + x +. assomiglia alla serie di l + x, ossia + x,, ossia l x. Alla fie si avrà x l x x + x + x3. 3 x +5! Vediamo la quarta. Si ha, per x 0, x 5 x! x 5 e x. Vediamo la quita. Si ha x +! x x + +! six x. x! x! + x ex + e x! che, possiamo otare, vale coshx. La formula data si potrebbe trovare cooscedo lo sviluppo di Taylor di cosh. six 8 Calcolare la somma della serie precisado i quali isiemi tale serie coverge uiformemete. Soluzioe: si vede facilmete che la serie coverge totalmete e quidi uiformemete su R e quidi su tutti i sottoisiemi di R. Per calcolare la somma, facciamo cosí: quidi six I six e ix I e ix I 6 e ix eix I eix A eix

7 cosx + i six cosx + i six I cosx i six cosx + i six six cosx + si x. Occorre dare qualche spiegazioe. Prima ho usato la formula di De Moivre e la formula della somma della serie geometrica. Bisoga precisare che i A ho dato per scotato due fatti. Il primo è che se z soo umeri complessi tali che la serie z coverge, allora I z Iz. Ho usato B ella prima uguagliaza i A. Ioltre bisoga provare che la formula della serie geometrica vale ache i campo complesso cosa che ho usato ella secoda uguagliaza i A. Prima di tutto dobbiamo dare ua defiizioe di z. Procediamo cosí: defiiamo il limite di successioi i campo complesso come i campo reale, ossia se z e z soo umeri complessi diciamo che z z se per ogi ε > 0 esiste u idice N tale che z z < ε per ogi > N, ove questa volta ovviamete il modulo è iteso el seso dei umeri complessi. Ioltre defiiamo la somma di ua serie di umeri complessi come il limite delle somme parziali. Proviamo ache i campo complesso che z z se e solo se Rz Rz e Iz Iz se z z, z z, allora z + z 3 Se z <, allora z 0, ove e 3 si provao come per le successioi reali. z + z e z z zz. Ora da segue facilmete B. Ioltre, mettedo isieme tutte queste cose, dimostriamo come i campo reale la formula sulla somma della serie geometrica; el ostro caso partiamo da e abbiamo z B z z per ogi umero complesso z tale che z <. Co questi ragioameti, applicati a z eix che ha modulo uguale a, possiamo giustificare tutti i passaggi fatti prima. x 3 9 a Sia fx 3!. Calcolare f x. b Trovare il valore di fx, ossia calcolare la somma della serie defiete f. Soluzioe: dato che la serie di poteze ha raggio di covergeza ifiito, come si verifica facilmete, si può derivare termie a termie i tutto R, e piú volte. Si ha f x 33 3 x 3 3 3! x 3 x 3 3! 3! fx. 7 x !

8 Per trovare il valore di f osserviamo che, dato che abbiamo appea visto che f soddisfa l equazioe differeziale y y E usiamo la teoria delle equazioi differeziali. Sappiamo che le soluzioi di E si trovao i base alle radici del poliomio caratteristico P, i questo caso P λ λ 3, che ha come radici, + i 3, i 3. Quidi le soluzioi di E soo date da c e t + c e t cos 3 t + c 3 e t si 3 t F. Per trovare c, c e c 3 basta teere coto che f è della forma F e ioltre grazie al fatto che f0, f 0 0, f 0 0, si determiao facilmete le costati c, c, c 3. 8