Scritto di Analisi Matematica IV per Matematica Anno Accademico 2016/17 15/02/2018

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1 o ccademico 2016/17 15/02/2018 COG 1) a) Sia f (x) = x + si(x), e sia g a, (x) = f (x), a > 0. Dire, al variare di a > 0 se a la successioe g,a coverge putualmete per +, e se il limite è uiforme. b) Dire se la successioe di fuzioi α defiita da α (x) = [x] coverge putualmete su R e se coverge uiformemete su R. c) Sia (f ) ua successioe di fuzioi da R i R tale che vale la seguete proprietà: ε > 0 K > 0 : f (x) ε x / [ K, K] = 1, 2, 3,... Provare che se la successioe f coverge uiformemete sui compatti, allora la successioe f coverge uiformemete su tutto R. 2) a) Sia α(x) = x 2 se x 0 x 3. Risolvere, al variare di k R, il problema di Cauchy se x < 0 y (t) = α ( y(t) ). b) Siao P e Q poliomi o costati co coefficiete direttivo 1 e tali che P 1 e Q 1 (ove idica il grado del poliomio). Suppoiamo ioltre che Q o si aulli mai i R. Provare che il problema di Cauchy y (t) = P ( y(t) ) Q ( y(t) ) ha soluzioe globale su R per ogi k R se P Q. c) Nella situazioe di b) si può trarre la stessa coclusioe se P = Q + 1? 3) a) Sia = (x, y) R 2 : (x 3) 2 + y 2 2, y 0 }. Determiare, se esistoo, max v, mi v, ove v(x, y) = (x 3)(5y 1). b) Dire per quali c > 0, posto D c = (x, y) R 2 : y cx 5 }, D c è u sottoisieme proprio ma o vuoto di.

2 o ccademico 2016/17 18/09/2017 COG 2 5 se x ] 1) a) Sia f : R R defiita da f (x) = 2+1, [ x + 1. Determiare altrimeti. l isieme di covergeza putuale della successioe di fuzioi f e dire i quali itervalli [a, b] co a, b R, a < b la covergeza di f è uiforme. b) Provare che se α è ua fuzioe da R i R di classe C 1, allora la serie di fuzioi α ( ) x si può derivare termie a termie i R. + 1 =1 c) Provare che se f, = 1, 2, 3,... soo fuzioi cotiue da R i R e vale x y 1 2 f (x) f (y) 1 4 e se ioltre la serie di fuzioi + =1 f coverge putualmete i R, allora la fuzioe s defiita da s(x) = + =1 f (x) è cotiua. 2) a) Determiare tutte le soluzioi dell equazioe differeziale y (t) 6y (t) + by(t) = e 2t al variare di b R. b) Sia dato il problema di Cauchy y (t) = 3( y 2 (t) + 1 ) γ ty(t) 1 co γ > 0. Dire per quali k R tale problema di Cauchy ha u uica soluzioe i u opportuo itoro di 0, e per tali k dire se tale soluzioe è mootoa el suo itervallo massimale. c) Provare che per ogi γ > 0 e per ogi k il problema di Cauchy i b) o ha soluzioi globali positive. 3) a) Sia = (x, y) R 2 : x 2 y 10 (x 2) 2}. Determiare, se esistoo max u e mi u, ove u(x, y) = (y 3)(x 2). b) Dire se per ogi fuzioe cotiua v : R esiste ua costate H reale tale che la fuzioe v + H sia positiva su. c) Sia C = (x, y) R 2 : x 2 10 (x 2) 2, (5x 11) x 2 y (5x 11) ( 10 (x 2) 2} Calcolare l area della superficie B. B = (x, y, z) R 3 : (x, y) C, z = 5x + 3y 2 }.

3 o ccademico 2016/17 24/07/2017 COG 1) a) Sia f : [0.1] R defiita da f (x) = x 2 se x [0, 1 0 altrimeti. se la serie di fuzioi =1 b) Sia data ua serie di poteze a ]. Dire, al variare di a > 0, f coverge su R putualmete, totalmete, uiformemete. =0 a x co raggio di covergeza fiito ma strettamete positivo. Provare che esistoo x R e ε > 0 tale che la serie data coverge ell itervallo [x, x + ε], ma o coverge i x + 2ε. c) Sia g : R R ua successioe di fuzioi tale che esiste x R per cui g (x + k! ) = 0 per ogi itero k, e ioltre g soo Lipschitziae di costate 1. Provare che la serie g coverge uiformemete su R. d) Sia g : R R ua successioe di fuzioi tale che esiste x R per cui g (x + k! ) = 0 per ogi itero k, e ioltre g soo Lipschitziae di costate 1 ell itervallo [ x + k! 1 20!, x + k! + ] !. Provare che la serie g coverge i almeo u puto. =1 2) a) Risolvere il problema di Cauchy ( y (t) ) 2 + y(t)y (t) = t y(0) = 2 y (0) = k al variare di k R. b) Determiare le soluzioi costati dell equazioe differeziale y (t) = si ( e y(t)). c) Provare che se k > 100 la soluzioe y dell equazioe i b) soddisfacete è globale. 3) a) Sia = (x, y) R 2 : 0 y 1, 0 x 20 y 2}. Determiare, se esistoo max u e mi u, ove u(x, y) = (y 1)x2. b) Dire se, data la fuzioe σ : R 3 defiita da σ(u, v) = (u + v, u 2 + v 2, 7uv) σ : R 3 rappreseta ua superficie regolare. =1

4 o ccademico 2016/17 24/07/2017 COG 1) a) Sia f : [0.1] R defiita da f (x) = x 2 1 se x [0, 0 altrimeti. 0, se la serie di fuzioi =1 b) Sia data ua serie di poteze 5a ]. Dire, al variare di a > f coverge su R putualmete, totalmete, uiformemete. =0 a x co raggio di covergeza fiito ma strettamete positivo. Provare che esistoo x R e ε > 0 tale che la serie data coverge ell itervallo [x, x + ε], ma o coverge i x + 2ε. c) Sia g : R R ua successioe di fuzioi tale che esiste x R per cui g (x + k! ) = 0 per ogi itero k, e ioltre g soo Lipschitziae di costate 1. Provare che la serie g coverge uiformemete su R. d) Sia g : R R ua successioe di fuzioi tale che esiste x R per cui g (x + k! ) = 0 per ogi itero k, e ioltre g soo Lipschitziae di costate 1 ell itervallo [ x + k! 1 20!, x + k! + ] !. Provare che la serie g coverge i almeo u puto. =1 2) a) Risolvere il problema di Cauchy ( y (t) ) 2 + y(t)y (t) = t y(0) = 6 y (0) = k al variare di k R. b) Determiare le soluzioi costati dell equazioe differeziale y (t) = si ( e y(t)). c) Provare che se k > 100 la soluzioe y dell equazioe i b) soddisfacete è globale. 3) a) Sia = (x, y) R 2 : 0 y 1, 0 x 18 y 2}. Determiare, se esistoo max u e mi u, ove u(x, y) = (y 1)x2. b) Dire se, data la fuzioe σ : R 3 defiita da σ(u, v) = (u + v, u 2 + v 2, 7uv) σ : R 3 rappreseta ua superficie regolare. =1

5 o ccademico 2016/17 28/06/2017 COG Chi accetta di mettere i rete il risultato di questo esoero firmi la riga seguete utorizzo a mettere i rete il risultato di questo esoero 1) a) Sia f : [0.1] R defiita da f (x) = a se x = 1. Determiare, al variare di x 3 altrimeti. a > 0, l isieme di covergeza putuale della successioe f e dire se i tale isieme la covergeza è uiforme. b) Provare che se f è ua successioe di fuzioi da [0, 1] i R e esistoo x, y [0, 1] tali che x y < 1 e f (x ) f (y ) = 1, allora la serie di fuzioi f o coverge uiformemete su [0, 1]. c) Provare che se f è ua successioe di fuzioi da [0, 1] i R e esistoo x, y [0, 1] tali che x y < 1 e f (x ) f (y ) = 1, allora la successioe f o può tedere uiformemete su [0.1] a ua fuzioe cotiua. 2) a) Sia dato il problema di Cauchy y (t) = (5ey(t) 3) 2 e y(t) y(1) = k Dire per quali k R tale problema ha soluzioe i u opportuo itoro di 1, e per tali k trovare tale soluzioe. b) Provare che il problema di Cauchy y (t) = e y(t)2 6 ha soluzioe globale y(1) = 0 c) Determiare gli itervalli di covessità della soluzioe del problema i b). 3) a) Sia = (x, y) R 2 : 0 y 2(1 x 1 ) }. Determiare, se esistoo max u e mi u, ove u(x, y) = (7x 1)(4y 1). b) Sia v(x, y) = u(x, y) ( e x2 y 2 arcta(x 7 + xy + y 4 ) ), e sia B = (x, y) R 2 : x = 7} 1. Provare che v ha massimo e miimo su B. 4) Sia S = (x, y, z) R 3 : x [0, 2], (2x 2)(6e x 10) y (x 1)e 2x, z = x 2 + 6y }. Scrivere, i forma di itegrale doppio (come itegrali semplici iterati) l area di S. =1

6 o ccademico 2016/17 28/06/2017 COG Chi accetta di mettere i rete il risultato di questo esoero firmi la riga seguete utorizzo a mettere i rete il risultato di questo esoero 1) a) Sia f : [0.1] R defiita da f (x) = 2a se x = 1 3. Determiare, al variare di x 3 altrimeti. a > 0, l isieme di covergeza putuale della successioe f e dire se i tale isieme la covergeza è uiforme. b) Provare che se f è ua successioe di fuzioi da [0, 1] i R e esistoo x, y [0, 1] tali che x y < 1 e f (x ) f (y ) = 1, allora la serie di fuzioi f o coverge uiformemete su [0, 1]. c) Provare che se f è ua successioe di fuzioi da [0, 1] i R e esistoo x, y [0, 1] tali che x y < 1 e f (x ) f (y ) = 1, allora la successioe f o può tedere uiformemete su [0.1] a ua fuzioe cotiua. 2) a) Sia dato il problema di Cauchy y (t) = (3ey(t) 1) 2 e y(t) y(2) = k Dire per quali k R tale problema ha soluzioe i u opportuo itoro di 2, e per tali k trovare tale soluzioe. b) Provare che il problema di Cauchy y (t) = e y(t)8 6 ha soluzioe globale y(2) = 0 c) Determiare gli itervalli di covessità della soluzioe del problema i b). 3) a) Sia = (x, y) R 2 : 0 y 2(1 x 1 ) }. Determiare, se esistoo max u e mi u, ove u(x, y) = (7x 1)(4y 1). b) Sia v(x, y) = u(x, y) ( e x2 y 2 arcta(x 5 + 3xy + y 8 ) ), e sia B = (x, y) R 2 : x = 7} 1. Provare che v ha massimo e miimo su B. 4) Sia S = (x, y, z) R 3 : x [0, 2], (2x 2)(6e x 10) y (x 1)e 2x, z = xy + y }. Scrivere, i forma di itegrale doppio (come itegrali semplici iterati) l area di S. =1

7 Secodo Esoero di alisi Matematica IV per Matematica o ccademico 2016/17 09/06/2017 COG È obbligatorio cosegare il presete testo del compito co segati ome e cogome (IN STMPTELLO). Chi accetta di mettere i rete il risultato di questo esoero firmi la riga seguete utorizzo a mettere i rete il risultato di questo esoero 1) Sia u(x, y) = xy 3y. a) Determiare, se esistoo, max u e mi u ove = (x, y) R2 : 1 x 2 + y 2 5}. b) Provare che se B è u sottoisieme di R 2 coteete (x, y) R 2 : y = x }, allora u o ha é massimo é miimo su B. c) Provare che se C è u sottoisieme o vuoto di R 2 tale che u ha miimo su C, allora esiste D coteete u aperto che cotiee C tale che u ha miimo su D. 2) Sia S = } (x, y, z) R 3 : x [2, 4], (x 1)(4x 12) y (x 3)(x 2 2x + 1), z = xy + 8. a) Scrivere, i forma di itegrale doppio (come itegrali semplici iterati) l itegrale superficiale x 2 z dσ. S b) Provare che ogi soluzioe del sistema differeziale x (t) = 0, y (t) = 0, z (t) = f ( t, z(t) ) ove f è ua fuzioe di classe C 1 da R 2 i R co f(t, y) > 0 per ogi (t, y) R 2, iterseca S i al massimo u puto. 3) Dire se, data ua successioe di fuzioi f : R R che coverge putualmete ad f per +, e o è vero che f è crescete, si può dedurre il seguete fatto: x 1, x 2 R co x 1 < x 2, ν N : f (x 1 ) > f (x 2 ) > ν. Ricordo che ua fuzioe α : R R è crescete se c, d R, c < d α(c) α(d).

8 Secodo Esoero di alisi Matematica IV per Matematica o ccademico 2016/17 09/06/2017 COG È obbligatorio cosegare il presete testo del compito co segati ome e cogome (IN STMPTELLO). Chi accetta di mettere i rete il risultato di questo esoero firmi la riga seguete utorizzo a mettere i rete il risultato di questo esoero 1) Sia u(x, y) = 6y 2xy. a) Determiare, se esistoo, max u e mi u ove = (x, y) R2 : 1 x 2 + y 2 6}. b) Provare che se B è u sottoisieme di R 2 coteete (x, y) R 2 : y = x }, allora u o ha é massimo é miimo su B. c) Provare che se C è u sottoisieme o vuoto di R 2 tale che u ha massimo su C, allora esiste D coteete u aperto che cotiee C tale che u ha massimo su D. 2) Sia S = } (x, y, z) R 3 : x [2, 4], (x 1)(4x 12) y (x 3)(x 2 2x + 1), z = x 2 + 2y. a) Scrivere, i forma di itegrale doppio (come itegrali semplici iterati) l itegrale superficiale x 2 z dσ. S b) Provare che ogi soluzioe del sistema differeziale x (t) = 0, y (t) = 0, z (t) = f ( t, z(t) ) ove f è ua fuzioe di classe C 1 da R 2 i R co f(t, y) < 0 per ogi (t, y) R 2, iterseca S i al massimo u puto. 3) Dire se, data ua successioe di fuzioi f : R R che coverge putualmete ad f per +, e o è vero che f è crescete, si può dedurre il seguete fatto: x 1, x 2 R co x 1 < x 2, ν N : f (x 1 ) > f (x 2 ) > ν. Ricordo che ua fuzioe α : R R è crescete se c, d R, c < d α(c) α(d).

9 Esoero di alisi Matematica IV per Matematica o ccademico 2016/17 03/05/2017 COG È obbligatorio cosegare il presete testo del compito co segati ome e cogome (IN STMPTELLO). 1) Sia data la successioe di fuzioi f (x) = a + 1 se x [, 3 1 ], ove a è u 0 altrimeti umero reale. a) l variare di a R, dire se la successioe f coverge putualmete su R, e el caso se la covergeza è uiforme su R. b) per a = 0, dire per quali x R la serie + f (x) coverge. =1 c) Suppoiamo data ua successioe g di fuzioi da [0, + [ i [0, + [ tale che la serie =1 g coverge uiformemete su [0, + [. Sia α ua fuzioe di classe C 1 su R che mada [0, + [ i [0, + [ tale che α(0) = 0. Provare che la serie di fuzioi + coverge uiformemete su [0, + [. d) Suppoiamo data ua successioe g di fuzioi da R i R tale che la serie + =1 α g g =1 coverge uiformemete su R. Sia α ua fuzioe di classe C 1 su R tale che α(0) = 0. È vero che la serie di fuzioi + α g coverge uiformemete su R? =1 2) a) Risolvere, per u umero reale a scelto a piacere, l equazioe differeziale y (iv) (t) + 6y (t) 7y(t) = e at. b) Sia dato il problema di Cauchy y (t) = u ( y(t) ) over u(x) = (x 1)(x 26 4)(x+3). Determiare, se esiste k R i modo che tale problema di Cauchy o abbia soluzioe globale. c) Determiare w : R R di classe C tale che w si aulla esattamete ei puti 1, 2, 6 e il problema di Cauchy y (t) = w ( y(t) ) ha soluzioi globali per ogi k R.

10 Esoero di alisi Matematica IV per Matematica o ccademico 2016/17 03/05/2017 COG È obbligatorio cosegare il presete testo del compito co segati ome e cogome (IN STMPTELLO). 1) Sia data la successioe di fuzioi f (x) = a + 1 se x [5 + 1, 8 + ], ove a è u 0 altrimeti umero reale. a) l variare di a R, dire se la successioe f coverge putualmete su R, e el caso se la covergeza è uiforme su R. b) per a = 0, dire per quali x R la serie + f (x) coverge. =1 c) Suppoiamo data ua successioe g di fuzioi da [0, + [ i [0, + [ tale che la serie =1 g coverge uiformemete su [0, + [. Sia α ua fuzioe di classe C 1 su R che mada [0, + [ i [0, + [ tale che α(0) = 0. Provare che la serie di fuzioi + coverge uiformemete su [0, + [. d) Suppoiamo data ua successioe g di fuzioi da R i R tale che la serie + =1 α g g =1 coverge uiformemete su R. Sia α ua fuzioe di classe C 1 su R tale che α(0) = 0. È vero che la serie di fuzioi + α g coverge uiformemete su R? =1 2) a) Risolvere, per u umero reale a scelto a piacere, l equazioe differeziale y (iv) (t) 1 2 y (t) 1 2 y(t) = eat. b) Sia dato il problema di Cauchy y (t) = u ( y(t) ) over u(x) = (x + 13)(x 38 24)(x 31). Determiare, se esiste k R i modo che tale problema di Cauchy o abbia soluzioe globale. c) Determiare w : R R di classe C tale che w si aulla esattamete ei puti 3, 4, 5 e il problema di Cauchy y (t) = w ( y(t) ) ha soluzioi globali per ogi k R.