Risoluzione del compito n. 3 (Febbraio 2018/2)

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1 Risoluzioe del compito. 3 (Febbraio 08/ PROBLEMA a Determiate le soluzioi τ C dell equazioe τ iτ +=0. { αβ =4 b Determiate le soluzioi (α, β, co α, β C,delsistema α + β =i. c Determiate tutte le soluzioi (z, w, co z, w C, delsistema { z w +4=5zw z + w =i. È ua ormale equazioe di secodo grado, le cui soluzioi soo date da τ = i ± = { ( + i ( i. I umeri α e β hao somma i e prodotto 4, quidi soo le soluzioi dell equazioe τ iτ +4=0 τ =(+ 5i o τ =( 5i e pertato le soluzioi del sistema soo (α, β = ( ( + 5, ( 5 e (α, β = ( ( 5, ( + 5. A questo puto la prima equazioe del sistema (c si scrive (zw 5(zw+4=0 e poedo τ = zw risolviamo, come prima, il sistema (c è duque equivalete a τ 5τ +4=0 τ =4 o τ = : { zw =4 z + w =i o { zw = z + w =i. Si tratta di due sistemi del tipo (b, per cui z e w soo el primo caso le soluzioi di τ iτ +4=0 τ = i ± 4=(± 5i e el secodo caso le soluzioi di τ iτ +=0 τ = i ± =(± i. Le soluzioi del sistema soo duque z =(+ 5i, w =( 5i z =( 5i, w =(+ 5i, z =(+ i, w =( i z =( i, w =(+ i. Risoluzioe del compito. 3 7

2 PROBLEMA Cosiderate la fuzioe { x f(x =mi{ x, x se x x +3x + +3x+} = x +3x + se x x +3x +. a Disegate le parabole di equazioi y = x e y = x +3x +, limitadovi alle caratteristiche esseziali (itersezioi co gli assi, sego, vertice. b Determiate il domiio di f eilimitiagliestremideldomiio. c Determiate la derivata di f,glievetualiputidioderivabilità(cal- colado i tal caso le derivate siistra e destra, gli itervalli di mootoia eiputidimassimoomiimolocale(precisadosesitrattadimassimi omiimiassoluti. d Determiate il sego di f etracciateeilgrafico. e Determiate al variare di k R il umero di soluzioi dell equazioe f(x +x = k. Le due fuzioi g(x = x e h(x =x +3x + hao come grafici delle parabole, la prima co la cocavità verso il basso e la secoda verso l alto; g si aulla i ± edè positiva all itero; il suo vertice è i (0, ; h si aulla i e / ed è egativa all itero, il suo vertice è i ( 3/4, /8. Qui sotto, a siistra le due parabole e a destra f co alcue delle rette di equazioi y = x + k Ora potremmo disegare immediatamete la fuzioe f = mi{g, h}, e rispodere rapidamete a tutte le domade (facedo comuque parecchi dei calcoli riportati sotto. Se o ci si ricorda come disegare il miimo fra due fuzioi, ecco come si può eseguire lo studio. Le fuzioi g ed h soo defiite (e derivabili ovuque, i ogi puto ua delle due sarà maggiore o uguale all altra, quidi f è defiita su tutto R. Abbiamo poi x x +3x + 3x +3x 0 x 0, pertato { x se x osex 0 f(x = x +3x + se x 0. 8 Risoluzioe del compito. 3

3 Dato che sia i u itoro di + che i uo di abbiamo f(x x, ricaviamo subito per il teorema di località del limite lim f(x = lim ( x =. La x ± x ± fuzioe f è il miimo fra due fuzioi cotiue e duque è cotiua, dato che mi{g, h} = g + h g h risulta essere composizioe di fuzioi cotiue (se o ci se lo ricorda, o c è problema: per x 0 diverso da e da 0, i u itoro di x 0 la fuzioe f coicide o co g o co h, ed è duque cotiua e derivabile; ivece i x 0 = 0 abbiamo per quato provato prima lim x 0 f(x = lim h(x =h(0 = f(0 = g(0 = lim g(x = lim f(x x 0 x 0 + x 0 + e aalogamete i x 0 =. Abbiamo già detto che certamete f è derivabile per x diverso da e 0, e che per tali valori di x { g f (x se x< osex>0 (x = h (x se <x<0 { x se x< osex>0 = 4x +3 se <x<0. Ora studiamo che accade vicio ai due puti rimasti: per u corollario del Teorema di de l Hôpital, dato che f è cotiua per trovare le derivate siistre e destre possiamo (provare a calcolare i limiti siistro e destro di f, e abbiamo lim f (x = lim x ( x ( ( x =, lim f (x = lim x ( + x ( +(4x +3=, lim f (x = lim x 0 x ( (4x +3=3, lim perciò si tratta di due puti agolosi co f (x = lim x 0 + x 0 +( x =0, f ( =, f +( =, f (0 = 3, f +(0 = 0. Per studiare il sego di f x> 3/4, per cui osserviamo che g (x > 0 x<0 e che h (x > 0 f (x > 0 [x < o 3/4 <x<0], f (x > 0 [ <x< 3/4 o x>0] ed f (x si aulla solo per x = 3/4. Dato che f è cotiua, abbiamo che f è crescete i ], ] e i [ 3/4, 0], f è decrescete i [, 3/4] e i [0, + [ : duque abbiamo u miimo locale per x = 3/4 (dove f vale f( 3/4 = h( 3/4 = /8, che o sarà certo globale visti i limiti all ifiito, e due massimi locali per x = e x = 0 : uo di essi sarà il puto di massimo globale. Dato che f( = 0 e f(0 =, il massimo assoluto di f è. P e r x< la fuzioe f è egativa; d altra Risoluzioe del compito. 3 9

4 parte i [0, + [ abbiamo f(x x, che è positiva i [0, [ e egativa i ], +, e ifie se x 0 abbiamo f(x x +3x +,ma x +3x +=0 x = o x = /, quidi f è egativa ache i ], /[ e positiva ache i ] /, ], e i coclusioe f(x > 0 / <x< f(x =0 x = o x = / o x = f(x < 0 x< o <x< / o x>. Per studiare l equazioe f(x + x = k, poiamo δ(x = f(x + x e comiciamo a osservare che la fuzioe δ è cotiua e ha derivata i tutti i puti trae due (dove o è derivabile: ifatti per x 0 e x abbiamo { x se x< eperx>0 δ (x = 4x +4=4(x + se <x<0. Allora δ (x è positiva per x<, per <x<0 e per 0 <x</, egativa poi: duque δ è strettamete crescete per x / e strettamete decrescete per x /. Visto che δ(/ = 5/4 e che δ(x per x ±, la fuzioe δ assume esattamete due volte ciascu valore k<5/4, ed ua sola il valore 5/4, quidi l equazioe f(x =k ha due soluzioi se k<5/4 ua soluzioe se k = 5/4 essua soluzioe se k>5/4. 0 Risoluzioe del compito. 3

5 PROBLEMA 3 a Calcolate ordie e parte pricipale per x 0 dell ifiitesimo f(x =log(+x se x e x +. log( + αx se x e x + b Calcolate lim al variare di α R. x 0 + x 4 +3x 5 Dato che x e se x soo dispari, il loro prodotto è pari, quidi ache f risulta pari (e el suo sviluppo di Taylor comparirao solo le poteze pari. Osserviamo che x se x = x +o(x, quidi log(+αx se x =αx +o(x,eche e x = x +o(x,duque per α il termie di ordie ello sviluppo di Taylor di f o si aulla, e per la prima parte dell esercizio basta fermarsi al termie di ordie : da log( + t =t + o(t, se t = t + o(t ed e t =+t + o(t ricaviamo f(x = log ( +x + o(x ( x + o(x +=x + o(x, quidi f è u ifiitesimo di ordie co parte pricipale x. Per la secoda parte dell esercizio poiamo f α (x = log( + αx se x e x +, e osserviamo che il deomiatore x 4 +3x 5 ha ordie 4, duque ci basterà fermarci ache per il umeratore all ordie 4 : da se t = t (t 3 /6 + o(t 3 ricaviamo αx se x = αx α 6 x4 + o(x 4 e quidi per mateere u o(x 4 ello sviluppo fiale ci basta fermarci, ello sviluppo del logaritmo, al secodo ordie: da log( + t =t t + o(t ricaviamo ( log( + αx se x = log +αx α 6 x4 + o(x 4 = αx α 6 x4 + o(x 4 (αx = αx + D altro cato e x = x +(x 4 / + o(x 4 per cui f α (x =(+αx ( + α 6 + α x 4 + o(x 4. ( α 6 α x 4 + o(x 4. Allora per α la fuzioe f α ha ordie e il deomiatore ha ordie 4, duque il limite sarà ± a secoda del sego del coefficiete ( + α dix ; ivece per α = è f α (x =f (x = 5x 4 /6+o(x 4, per cui f α (x + se α> lim x 0 x 4 +3x 5 = 5/6 se α = se α<. Risoluzioe del compito. 3

6 PROBLEMA 4 Determiate i valori di α R per i quali coverge + 0 arcta x 3+α dx. x α + x+α Itato osserviamo che, essedo 3 + α > 0, la fuzioe x 3+α tede a zero per x 0 ea + per x +,duqueessedo arctat = t + o(t arcta x 3+α x 3+α per x 0, arcta x 3+α π/ per x +. Allora per x + abbiamo arcta x 3+α x α + x +α x α + x +α e l itegrale (all ifiito ha lo stesso carattere di quello della secoda frazioe. Dato che domia l espoete maggiore, per avere covergeza occorre che questo sia maggiore di, ma dire che il maggiore fra due umeri è maggiore di è equivalete a dire che almeo uo fra i due umeri è maggiore di, pertato l itegrale coverge (vicio a + see solo se [ α> o +α>] [α <0 o α> /] ma questo è vero per qualuque α. Vicio a x = 0 abbiamo arcta x 3+α x α + x +α x 3+α x α + x +α = x α α + x +α α e per avere covergeza vogliamo che l espoete che domia (i questo caso il più piccolo sia miore di. Ma dire che il più piccolo fra due umeri è miore di è equivalete a dire che almeo uo dei due è miore di, pertato vi è covergeza vicio a zero se e solo se [ α α < o +α α < ] [α +α+3 > 0 o α α+ > 0] e, dato che etrambe le disuguagliaze soo sempre vere, si ha covergeza ache vicio a zero per qualuque α. Duque l itegrale coverge sempre. Risoluzioe del compito. 3

7 ( x 9 Esercizio. Sia A il domiio della fuzioe f(x = log x + segueti affermazioi è vera?. Quale tra le (A ]4, 5[ A. (B A è superiormete limitato. (C A è u itervallo. (D ] 4, 3[ A. Il logaritmo è defiito dove il suo argometo è positivo, pertato A = { x : } { } x 9 x + > 0 = x : x 9 x + > 0. Il umeratore è positivo per x < 3 e per x > 3, il deomiatore è positivo per x>, e la frazioe è positiva quado questi soo cocordi, ossia per 3 <x< e per x>3: duque A =] 3, [ ]3, + [ cotiee ]4, 5[. Esercizio. Quado x la fuzioe f(x =x 0 3 x x ha limite (A +. (B 0. (C 3/. (D e 3/. Il termie x 0 =(x 5,cheèuapoteza,tedea 0 +, ma il resto si scrive 3 3 x x = ( 3 x 3 che tede a + dato che la base 3/ è maggiore di (e l espoete tede a + visto che x. Tra la poteza e l espoeziale sappiamo che domia il secodo, perciò il limite vale +. Esercizio 3. Se z = 3+i, allora z 3 z 5 vale: (A 8( i 3. (B 56( i 3. (C z 8. (D 8( + i 3. Il umero z = ( 3 3+i = + i ha modulo e argometo π/6, perciò z ha modulo e argometo π/6 : allora z 3 z 5 ha modulo z 8 = 8 =56 eargometo 3 (π/6 + 5 ( π/6 = π/3. Risoluzioe del compito. 3 3

8 Allora ( 3 z 3 z 5 =56 i =8( i 3. Esercizio 4. Sia S l isieme dei parametri α R per i quali risulta covergete la serie [ 9α + α se(/]. Allora: (A / S. (B S è u itervallo chiuso e limitato. (C ]/3, 3/3[ S. (D S =. Comiciamo osservado che i due addedi soo positivi, quidi la serie coverge se e solo se covergoo etrambe le serie 9α e α se. La prima è ua serie geometrica e coverge se e solo se 9α <, ossia se vale a dire < 9α < 3 < 9α < 9 <α < 3 3 <α< 3 oppure 3 <α< 3. Passiamo all altro termie e osserviamo che se(/ =(/ + o(/ quidi per il criterio del cofroto asitotico α se(/ α = α che coverge se e solo se α> ovvero α<0, altrimeti diverge positivamete. I defiitiva ] S =, [ 3 3 o è vuoto é chiuso, o cotiee valori positivi e ivece cotiee /. Esercizio 5. Determiate quale tra le segueti fuzioi è ua primitiva di (A (B ( x 3 arcta 3 ( x 3 arcta 3.. (C (D log(9 + x4. 6(3 x 4 (9 + x 4. x 9+x 4. Abbiamo x 9+x 4 dx = x =t 9+t dt 4 Risoluzioe del compito. 3

9 per cui l uico cadidato plausibile è 3 arcta(x /3 : i effetti, o facedoe la derivata o proseguedo i calcoli dell itegrale si coferma che è vero. Esercizio 6. Se idichiamo co C 8,3 il umero di combiazioi di 8 oggetti presi a 3 per volta, co D 7,4 il umero di disposizioi di 7 oggetti presi a 4 per volta e co P 4 il umero di permutazioi di 4 oggetti allora D 7,4 + P 4 C 8,3 è uguale a (A 808. (B 90. (C 90. (D 63. Abbiamo C 8,3 = 8! 3! 5! = =56, D 7,4 = 7! 6 3! = =840, P 4 =4!=4 quidi D + P C = = 808. Esercizio 7. Ua fuzioe ha per x = 0 u puto di massimo locale; quale di queste può essere? (A 7 + 5x 4 3x + o(x 5. (B 7 5x 4 +x 3 + o(x 4. (C ta( 6πx. (D [se(5x ] 8. Sappiamo che ta t = t+o(t quidi ta( 6πx = 6πx+o(x ha derivata 6π 0 per x = 0, quidi 0 o è di massimo locale. Aalogamete se f(x = 7 5x 4 +x 3 +o(x 4 la prima derivata o ulla di f i x = 0 è la derivata terza (che è dispari quidi questa fuzioe o ha é massimo é miimo locale i x =0. Poi set = t + o(t quidi [se(5x ] 8 = ( 5x + o(x 8 =5 8 x 96 + o(x 96, la prima derivata o ulla i x =0 è la 96-esima (che è pari ed è positiva, quidi i x = 0 c è u puto di miimo locale stretto. Ifia se f(x =7+5x 4 3x + o(x 5 abbiamo f (0 = 0 e f (0 < 0 quidi x = 0 è u puto di massimo locale stretto. Risoluzioe del compito. 3 5